卓越師資班線性代數課程矩陣乘法教學方法研究

馬中華

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卓越師資班線性代數課程矩陣乘法教學方法研究

馬中華

（天津職業技術師范大學 理學院，天津 300222）

結合卓越師資班的培養要求，探討線性代數課程矩陣乘法算法的結構分析教學方法．通過逐層分析探尋矩陣乘法的規則和實際意義，突出教學重點，突破教學難點，旨在開闊學生對矩陣乘法原理的理解，并為解決實際工科問題提供思路．

線性代數；矩陣乘法；卓越師資班

近年來，職業教育教師培養在國家政策支持下不斷地完善，職業教育教師培養質量得到顯著提高，但也存在著職業教育教師培養的適應性和針對性不強，部分課程教學內容和教學方法與應用型教師人才培養結合度不高等突出問題．如何在“十三五”發展期間持續提高職業教育教師培養質量，成為我國教師教育改革發展最核心、最緊迫的任務之一．

卓越職教師資培養實驗班（簡稱卓越師資班）是以培養專業基礎扎實、職業技能水平高、綜合施教能力強的職業院校專業教師為目標，采用個性化的職業教育培養方案和獨特的卓越師資管理方式，選拔具有職業教育教師潛質，樂于從教，適合從教的大學本科學生．卓越師資班實施單班教學，要求教學方式和教學方法更加豐富新穎，尤其注重師范技能與專業相結合的全方位實踐教學．對卓越師資班的日常教學，尤其是基礎數學課程教學，要打開學生思路，化抽象的概念和公式為形象的算法和流程，擺脫死記硬背．

在工科數學中，為了解決工程實際問題，線性代數課程要面向矩陣和向量應用，根據非數學專業學生的水平和需要組織課程內容，并為一些后續課程的學習及在各個學科領域中進行理論研究和實踐工作提供必要的保證[1]．矩陣理論是線性代數的核心內容之一，矩陣理論的學習是學生學好線性代數的關鍵[2-3]．矩陣乘法是矩陣理論的重要組成部分，但由于矩陣乘法的內涵具有較高的抽象性和多樣性，造成學生在理解時的困難[4]．通用教材中直接給出矩陣乘法計算公式，難免顯得突兀，同時學生也會疑惑，為何矩陣乘法公式不是對應矩陣元素的乘積的結果．為了加深學生對這一抽象算法的理解，在卓越師資班教學中嘗試應用了解析算法的結構分析教學法，學生普遍反應良好．

1代數幾何意義的解釋

國內外工科線性代數課程安排順序不盡相同，本課程借鑒國外優秀教材[5]，在線性代數矩陣理論教學過程中插入具有代數幾何意義的解釋．

首先，通過數形結合的方式給學生建立線性映射和線性變換等基本概念．其次，矩陣的定義[6]中指出行（列）矩陣又稱行（列）向量．因此，在講授矩陣計算之前，需向學生簡單說明什么是向量，所有向量所構成的集合表示為．向量是對矩陣的特殊解釋，向量與矩陣的運算規則一致．最后，將線性映射與線性方程組建立聯系．從到的線性變換也可以稱為線性映射，從2×1向量到3×1向量的線性映射可用一次線性方程組的形式來表示，即

式（1）所對應的向量方程可寫成

然而，線性方程組及向量方程的表達方式不利于學生從視覺效果聯想二維空間向量變換到三維空間向量的過程．若從幾何意義出發，則很容易理解向量經過一次線性映射后的結果是不同領域或空間的向量，而矩陣即是映射（見圖１）．圖1中，空間中的向量經線性映射成為空間中的向量．

圖1　線性空間中的向量及矩陣對應的映射

2矩陣乘法算法的結構分析

2.1基于矩陣和向量乘法的結構分析法

學生在學習新知識時，往往會以舊知識作為基礎，但新知識又有自己的特點．以線性方程組為中心講述矩陣乘法運算原理和方法，通過圖表展示矩陣乘法運算內部的結構[7]，學生會更有興趣，也能夠更深刻地理解運算規則的來龍去脈，分清概念，順利地完成新知識的學習，起到事半功倍的效果．

通過由一次線性方程組出發的線性映射結構（見圖２）及代數幾何意義的解釋，學生可觀察得到如下信息：

（1）矩陣與向量的乘積結果是向量．

（2）矩陣列數為輸入的向量維數，矩陣行數為輸出的向量維數．

（3）向量行數為輸入的向量維數，向量列數為輸出向量數．

圖2　線性映射結構示意圖

（3）將結果列向量組合．

圖3　線性映射的合成結構示意圖

圖4　矩陣乘積

2.2基于向量和向量乘法的結構分析法

（2）將這2個輸出向量做向量加法運算得到完整輸出向量，即

（2）將這3個輸出矩陣做矩陣加法運算得到完整輸出矩陣，即

綜上，在講授矩陣乘法運算結構的基礎上，學生自然會理解矩陣乘法運算中，為何不可隨意交換矩陣乘法順序，不可隨意消去非零矩陣，但是矩陣乘法的結合律和分配律等運算規則仍可保留沿用．

3結束語

線性代數課程是大學基礎教學的重要組成部分，特別是對于理工科專業的學生．從實際應用層面上來看，線性代數課程為非數學專業學生后續課程的學習、研究和實踐工作提供了必要的理論基礎．針對卓越師資班教學注重基礎、開闊思路、培養思考方法的要求，本文從矩陣與向量乘法的結構出發，給出具有較好物理和空間意義的矩陣乘法計算方法．

將學習回歸為應用，是優化卓越師資班人才培養機制的目標之一．希望通過一系列的教學方法改革，從細節處提升學生將實際工程問題轉化為代數問題的能力，激發學生進一步深入研究的興趣．

[1] 陳懷琛．線性代數要與科學計算結成好伙伴[J]．大學數學，2010（S1）：28-34

[2] 袁可紅，李艷曉．分形思想在線性代數教學中的應用[J]．高師理科學刊，2012，32（5）：97-99

[3] 王穎．將解析幾何融入線性代數教學中的思考[J]．高師理科學刊，2013，33（4）：62-64

[4] 林海波．比較法和反例在矩陣乘法教學中的應用[J]．中國科技信息，2011（17）：180

[5] Lay D C，Lay S R，McDonald J．Linear Algebra and Its Applications[M]．5th ed．New York：Pearson，2015

[6] 同濟大學數學系．線性代數[M]．6版．北京：高等教育出版社，2014

[7] 平岡和幸，堀玄．程序員的數學3：線性代數[M]．盧曉南，譯．北京：人民郵電出版社，2016

[8] Strang G．Linear Algebra and Its Applications[M]．4th ed．Belmont：Brooks/Cole/Cengage，2006

Study on teaching method of matrix multiplication in the linear algebra course of excellent teacher class

MA Zhong-hua

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Combined with the teaching requirements of excellent teacher class，mainly discusses the structure of the matrix multiplication algorithm of linear algebra course．In order to highlight the teaching focus，to break through the teaching difficulties，analyze the rule and the practical significance of matrix multiplication．The aim is to develop students′ understanding of the principle of matrix multiplication，and to provide ideas for solving practical engineering problems.

linear algebra；matrix multiplication；excellent teacher class

1007-9831（2016）07-0066-04

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.018

2016-05-18

馬中華（1983-），男，黑龍江克山人，講師，博士，從事高性能計算研究．E-mail：mazhonghua1983@aliyun.com