關于幾種數學證明方法的研究

杜君花，王立，王洪艷

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關于幾種數學證明方法的研究

杜君花1，王立2，王洪艷3

（1. 齊齊哈爾大學 理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2. 浙江省永嘉中學，浙江 溫州 325100；3. 永嘉縣羅浮中學，浙江 溫州 325100）

數學證明是數學教學與學習中的一項重要內容，數學證明中最關鍵的內容之一就是數學證明方法的研究與分析．研究了演繹法、歸謬法、構造法、反例法、逐步逼近法及計算性證明法，并對各種證明方法的概念、分類及應用進行了詳細介紹．

數學證明；演繹法；歸謬法

隨著數學教育改革與發展的不斷深入，數學證明在教師的教學和學生的學習中的重要性日趨凸現，人們已經越來越認識到數學證明方法的多樣性和復雜性．因此，數學證明方法的整理與研究是值得關注的問題．論證能力是學生數學水平高低的基本標準之一，不斷提高論證能力成為學習數學的基本目的之一，研究數學證明方法的根本目的就在于此．通過對各種數學證明方法的研究，將使我們思路開闊，在進行論證時，就能合理地選用證明方法．通過研究已有的證明方法，注意在使用已有的證明方法中作進一步改進，久而久之，就能創造出新的證明方法，日積月累就會產生飛躍，從而不斷提高論證能力．Ahmed E E，Stefan G T，Robert J B探討了幾種數學證明方法[1]；Jeremy Avigad給出了若干數學的方法和證明[2]；Maria A等研究了數學證明在教學與認識論觀點中的一些特殊問題[3]；Philippe B H等運用數學知識對Landau-Peierls公式的證明進行了研究[4]．數學證明是數學學習中非常重要的一部分，數學證明的方法是多樣的，而且用法也各不相同[5-9]．本文主要對幾種常用的數學證明方法：演繹法、歸謬法、構造法、反例法、逐步逼近法及計算性證明法進行了研究，對它們的定義、分類及應用作了具體的分析．

1　演繹法

演繹法又稱演繹推理，是指從一般原理推導出個別結論的一種思維方法，或者說從一般性前提出發推出其特殊情形的結論的推理方法．因此，演繹推理是一種必然性的推理．

演繹法是數學論證表述的基本方法，演繹法有多種形式，按因果求索關系可以把演繹法分為分析演繹法、綜合演繹法以及分析綜合演繹法．分析與綜合在演繹推理中具有特定的意義，是數學中2種最常用的推理論證方式．值得注意的是，它們與一般思維方法的分析法與綜合法是不同的．

1.1分析演繹法

所謂分析演繹法，又稱執果索因法，是指由結果追溯到產生這一結果的原因的邏輯推理方式．“要使結論成立，只要條件具備”這一形式為分析演繹的基本形式．分析演繹法的思維過程可以表現為從命題的結論或所求問題的解答出發，一步一步地探索使結論成立或問題獲解的充分條件，直到與題設的已知條件相一致．

分析演繹法的應用很多，在證明問題時要靠多觀察、深思考、會比較、多實踐、多探索，逐步逐層地找出決定一結論成立的主要因素．

1.2綜合演繹法

綜合演繹法，又稱執因導果法，是根據原理推出結果的邏輯推理方法．“因為條件成立，所以結論成立”是綜合演繹法的基本形式．綜合演繹法是指從已知條件出發，尋找其成立的必要條件和有關因素的內在聯系．由此逐步推演，最后推導出所要的結論的數學證明方法．

例1也可采用綜合演繹法證明．

2　歸謬法

歸謬法是一種間接的證明方法，它是從否定結論出發，進行正確的推理，最后等待矛盾的產生，于是對原來的命題做了間接證明，解決了直接證法不能或不易解決的問題．它先提出了一個與命題的結論相反的假設，然后從這個假設出發，通過進一步的正確推理，最后導致矛盾，從而否定反面假設，達到確定原命題的正確性的一種方法．

用歸謬法證明命題可以分為３個步驟：

Step1反設：假設要證命題的結論不成立；

Step2歸謬：把假設作為題設去證明，通過一系列正確的邏輯推理，最后推得與某些原條件的矛盾性；

Step3結論：由上述所得矛盾說明原命題成立．

3　構造法

構造法就是根據已知題設的特點，把所給條件中的元素作為“元件”，把所給的關系式作為“支架”，在思維中構造出一種新的數學形式，如構造圖形、方程和函數等，以找到一條新的途徑來繞過障礙，從而使要論證的問題得以解決的一種方法．構造法的核心是構造，是將形與數結合，將式與方程和函數建立聯系的方法，要在數學表達的幾種形式之間找到相互關系．

4 反例法

反例法是數學證明中較常使用的一種證明方法，反例法是一種特殊的數學構造法．通過反例法構造出來的數學形態，要與現存的某些數學結論構成相反的證明．數學中的反例，是指符合了某個命題的條件，卻不符合該命題結論的例子．數學中的反例，是指建立在數學已證實的理論和邏輯推理的基礎上的，而且具有一定否定作用的例子．舉反例作為一種特殊的證明方式，它證明了“某命題不成立”為真．從一般來看，對于一個假命題，它可以構造出許多不同的反例，但在實際應用中只構造出一個反例就可以了．舉反例是一種數學的構造方法，從反例的構造方法來說，反例的構造方法可分為特例選擇、性質分析和類比構造３種．

例4 人們習慣性認為，在微積分中討論連續與間斷時，連續是經常的現象，但間斷就像曲線的間斷點一樣是很少發生的．數學家狄利克雷分析了這種習慣思維的特性后，構造出了一個奇特的處處間斷的函數作為其中一個反例——狄利克雷函數．

例5從微積分發展來看，人們一直認為除個別點外連續函數總是處處可導，但是數學家魏爾斯特拉斯舉出了一個著名的反例．，其中：是奇整數；，并且，雖然函數在上連續，但卻處處無導數．

5 逐步逼近法

若在解決一個比較復雜的問題時，快速解決起來比較困難，此時可以把原問題轉化成若干個按順序串聯起來而且容易解決的問題，這些問題一個比一個更加逼近原來的問題，然后集中精力解決這些轉化得到的問題就可以，這些問題的解決過程，就是運用逐步逼近法解決問題的過程．逐步逼近法是指在解決具體數學問題時采用的一步步逐漸接近正確答案的方法．逐步逼近法在數學證明中的應用非常廣泛，如在圓面積、曲線弧長和無理數等方面的證明都會用到逐步逼近法．

分析可以先確定根的范圍，在不斷的縮小這個范圍，或者無限次縮小這個范圍，最終獲得根的精確解；也可以經過有限步后，得到具有一定精確度的近似解．這就是所謂的逐步逼近思想．

6　計算性證明法

計算性證明法是通過計算過程進行命題論證的方法．一般來說，在數學論證中推理與計算是都要涉及到的，計算性證明便是在論證中偏于計算的一種證明方法，是較常用的一種論證方法，如關于極限、導數和積分等的等式論證．越來越多的將邏輯推演歸結成各種層次的計算是現代數學的一種強烈趨勢．很多不易解決的文字論證可以通過計算而變得簡單，這其中用矩陣算法來證明代數命題和用矢量法來證明幾何問題便是最好的證據．值得注意的是，計算性證明法要以正確而且熟練的計算能力為基礎.

[1] Ahmed E E，StefanG T，Robert J B．A Rigorous Mathmatical Proof of the Area Method for Phase Stability[J]．Ind Eng Chem Res，1998（37）：1483-1489

[2] Jeremy Avigad．Mathematical Method and Proof[J]．Synthese，2006，153（1）：105-107

[3] Maria A M，Nicolas B．Introduction to the special issue on didactical and epistemological perspectives on mathematical proof[J]．ZDM，2008，40 （3）：341-344

[4] Philippe B H，Baptiste S．A Rigorous Proof of the Landau-Peierls Formula and much more[J]．Annales Henri Poincare， 2012，13（1）：1-40

[5] 李國友，扶煒．幾種常見的數學證明方法[J]．信陽農業高等專科學報，2003，13（4）：70-71

[6] 何念如．類比法在中學數學教學中的應用[J]．高等函授學報，2006，20（1）：13-15

[7] 李延明．反證法教學探析[J]．數學教學研究，2008，27（8）：62-65

[8] 朱愛玲．構造法在計算方法教學中的應用[J]．山東師范大學學報，2008，23（2）：125-126

[9] 齊蓮敏．“反證法”在高等數學教學中的應用[J]．湖北廣播電視大學學報，2010，30（1）：20-21

Researching on the some mathematical proof methods

DU Jun-hua1，WANG Li2，WANG Hong-yan3

（1. School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China；2. Yongjia High School，Wenzhou 325100，China；3. Yongjia Luofu Middle School，Wenzhou 325100，China.）

Mathematical proof is an important content of mathematics teaching and learning．One of the most critical content mathematical proof is to study and analysis mathematical proof methods．Studies the deductive method，reduction to absurdity，construction method，counter-example method，successive approximation method and calculation method of proof．And concepts and classification and application of proven methods are described in detail.

mathematical proof；deductive method；reduction to absurdity

1007-9831（2016）11-0059-04

O13∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.016

2016-09-18

齊齊哈爾大學教育科學研究項目（2015109）；黑龍江省教育廳科學技術研究項目（12511608）

杜君花（1975-），女，黑龍江齊齊哈爾人，副教授，碩士，從事基礎數學研究．.E-mail：dujunhua1975@126.com