一階微分方程圖解法教學要點分析*

王晶囡，李冬梅，趙輝，王劍飛，班立群

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一階微分方程圖解法教學要點分析*

王晶囡，李冬梅，趙輝，王劍飛，班立群

（哈爾濱理工大學 應用科學學院，黑龍江 哈爾濱 150080）

通過分析一階微分方程解曲線切線斜率取值的特點，找出了解曲線的幾何意義．根據解曲線的幾何意義，以一個具體的一階方程為例講解了畫出一階方程近似解的3步法，直觀地展示了一階微分方程的幾何意義．利用計算機數值模擬了具體的方程，得到了2類特殊的一階微分方程線素場的特點以及在通解中常數的幾何意義．

一階微分方程；圖解法；斜率場；等傾線；解曲線

在實際生活中，為了解決或刻畫實際問題，往往根據實際情況建立微分方程，求其解來尋找答案．主要有初等積分解法、數值解法和圖解法．最理想的是能夠得到微分方程的解析解，但有時建立的微分方程不能利用初等積分法求解，如黎卡提方程

方程（1）無法直接求出解析解，因此常常借助數值方法或圖解法來找尋近似解，從而推測方程解析解的具體情況．本文以一階微分方程為例，從幾何角度，利用圖解法求出近似解，并指出需要注意的問題．首先，應從一階微分方程及其解的基本概念出發，如果一個函數是方程

的解，那么將其代入方程（2），方程兩邊恒等，在此基礎上，如果解函數中含有任意常數且其個數與方程階恰好相等，則該解應為通解，不含任意常數的解為特解．如果還知道方程的初始（定解）條件，將其代入到通解中，就可以得到特解．然后，引導學生思考方程及其解在幾何平面上是如何表現的，從而自然過渡到從幾何角度重現方程及其解的幾何意義．

1　一階微分方程解的幾何意義

圖1　解曲線圖

2　圖解3步法及方程的幾何意義

引導學生逆向思維，如果在不知道方程解的解析表達式或其解無法求出時，那么根據一階微分方程解的幾何意義，是否能畫出解曲線的大致形狀．這要由一階微分方程右端二元函數值所確定出的小切線段的全體來決定．逐步引導學生按照這樣的思想，以一個簡單的一階微分方程為例題，找出答案．

解首先在方程右端二元函數所定義的區域內找一點（0，1），在這一點畫一條小切線段與方程在該點所畫出的解相切，它的斜率應是方程右端二元函數在這一點的函數值，即．所以在（0，1）這點畫出的小線段是水平的．如果想畫出通解則要在方程右端二元函數的定義域每一點都要畫出相應的小線段，但如果逐點畫，則會太慢，也太麻煩，所以要從斜率出發，找到解曲線上所有斜率都相等的點．根據分析，斜率應該等于該方程右端二元函數在這些點的函數值，為了研究方便，可以引導學生列表格（見表1）尋找這些點.

根據表１中的結果，斜率相等的點都是直線（如=0（不等于0），…），畫出這些點，然后在這些點上再畫出相應斜率為的小切線段（如斜率為0，…），最后畫出與這些小切線段相切又互不相交的曲線，這樣得到的曲線就是解曲線（見圖2）．由圖2可見，例1中方程的解曲線像一族圓，那該方程的通解是否為一族圓呢．再啟發學生利用變量分離積分法得到其通解，即可得到，從解的解析表達式可知方程的通解確實是一族圓，可見這種方法是可行的．從例1中還以看到每一個一階微分方程在平面上都與其右端二元函數所確定的線素場相對應，求解方程的過程，就轉換成了在平面上找出與這些小線段相切又不相交的曲線，所以得到一階微分方程的幾何意義．

表1　斜率取值表

圖2　解曲線圖

解該方程無法用初等解法求解，但卻可以將其通解畫出來，先求等傾線（見表2）．由表2可見，等傾線是圓，畫出等傾線和相應的小斜線段，及與小斜線段都相切且又互不相交的解曲線（見圖3）．

表2　斜率取值表

圖3　解曲線圖

3　思考與延伸

從畫圖的過程中可見，圖解法思想很簡單，但在尋找與小線段相切又互不相交的曲線時卻有困難．人們已利用圖解法的數學思想，借助計算機語言編寫出程序（m文件），有了這些程序（m文件）就可以很輕松地實現圖解法．只要把要畫的方程的解析式輸入到程序中，然后回車，就能看到方程的線素場，再點確定初值（初值），那么過該點的解曲線就會出現在屏幕上．

由圖４可見=0都是這3個方程過（0，0）點的解，但不同的是，當初值在（0，0）附近擾動時，解曲線變化的趨勢不同．方程的斜率場確定了積分曲線的形狀，而積分曲線的形狀又反映了方程解的穩定性，如方程（a）的初值受到擾動后，經過一段時間解曲線會最終趨向零解，即=0，說明方程（a）的零解是漸近穩定的；方程（b）的初值受到擾動后，經過一段時間解曲線會與零解保持一定的距離但不遠離零解，這說明方程（b）的零解是穩定的；方程（c）的初值受到擾動后，其解會遠離零解，這說明方程（c）的零解是不穩定的．實際上，穩定性的概念和原理可以解釋許多實際問題，如夜明珠、珍珠以及水晶球等球形珠寶底座形狀的設計，都是以穩定為前提，設計成凹形曲面，而不是水平面或拱形曲面．關于穩定性方面內容是學生以后要學習的內容之一，也是微分方程課程的重要理論核心內容之一．

圖4　解曲線圖

另外，利用計算機畫出相圖，可以直觀地展示出：如果方程（2）的右端只是自變量的一元函數（如），那么方程（2）的等傾線都為豎直直線，而且在這些豎直等傾線上的斜率標記均是平行的；如果方程（2）的右端只是變量的一元函數（如），那么方程（2）的等傾線都為水平直線，而且在這些水平直線上的斜率標記均是平行的．從中還可以歸納出通解中存在著任意一個常數，在通解的幾何表達形式也是有一定規律的，如例1中方程的通解為一族圓，而通解中的常數表示解曲線的圓半徑的平方；例3中通解中常數表示當=0時，初值與0的距離；還有的通解（=2+）中的常數還表示在縱軸的截矩，這說明不同方程通解中的常數的幾何意義各不相同．

4　結論

教學的目的是使學生真正對數學產生興趣，體會到數學的價值，讓學生主動找到適合自己的方法，學會學習，因此就要做好課程設計．本文以此為目的，將抽象的數學知識或表達式應用到實際問題中，或者將其直觀地用圖形表示，做到從點到線，用線連成面的知識整合．具體地討論了一階微分方程及其解的幾何意義的重要性質，給出了在不求解方程的解析解的前提下，畫出一階方程解曲線的圖解3步法．這種方法不但適合一階方程，而且適合二階方程和三階方程，是非常實用的一種方法，可以刻畫和預測一些實際問題．

[1] 毛鳴清．微分方程通解的幾何意義[J]．成都紡織高等專科學校學報，1994，11（3）：25-27

[2] 任永泰．方向場在等角軌線中的應用[J]．煙臺師范學院學報：自然科學版，1988，4（1）：69-73

[3] 吳丹桂．微分方程與數學建模[J]．景德鎮高專學報，2000，15（2）：6-14

[4] 王玉文，史俊平，侍述軍，等．常微分方程簡明教程[M]．北京：科學出版社，2010

Teaching key analysis of phase graphic solution method of first-order differential equations

WANG Jing-nan，LI Dong-mei，ZHAO Hui，WANG Jian-fei，Ban Li-qun

（School of Applied Science，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Through analyzing the value characteristics of the slope of of first order differential equations，find the geometric significance of solution curves．According to the geometric significance of solution curves，by taking a specific first order differential equation as an example，illustrated the three-step method of sketching the solution graphs，and intuitionally show the geometry significance of the first order differential equation．Finally，by using numerical simulation，obtain the slope field characteristics of two special first-order differential equations，and the geometry significance of the constantin the general solution．

first-order differential equations；phase graphic solution method；slope field；the curve of same slope line；solution graphs

1007-9831（2016）11-0055-04

O175∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.015

2016-09-07

哈爾濱理工大學教學改革項目（320150023；320150020；120150006；120140004；B201300026）

王晶囡（1978-），女，山東平度人，副教授，博士，從事微分方程研究．E-mail：wangjingnan@hrbust.edu.cn