素養導向下對一道2023 年高考試題的溯源探究與推廣

福建省武夷山第一中學(354300)葛香珠

福建省南平市高級中學(353000)江智如 蔡珺

1 試題呈現

焦點三角形是圓錐曲線的重要性質,包含豐富的圓錐曲線背景知識,常作為情景載體出現在歷年的高考試題中,文[1]給出了此類題型的解題策略.2023 年全國高考新課標Ⅰ卷第16 題是以焦點三角形為載體,求解離心率的題型,解題思路多樣,方法巧妙,全方位反映雙曲線的幾何特征.

題目(2023 年高考新課標Ⅰ卷第16 題) 已知雙曲線C:的左、右焦點分別為F1,F2,點A在C上,點B在y軸上,則C的離心率為____.

2 試題溯源

筆者查閱相關資料,發現本試題與2020 年全國高中數學聯賽福建省預賽第5 題如出一轍,幾乎就是同一題型,試題如下:

溯源題目1(2020 年全國高中數學聯賽福建省預賽5)設F1,F2為雙曲線C:(a＞0,b＞0)的左、右焦點,過F2的直線l交雙曲線C的右支于A、B兩點,且則雙曲線C的離心率為____.

評析題目1 與高考試題的已知條件比較相似,區別在于:高考試題把題目1 中的點B換在y軸上,把題目1 中的焦點直角三角形更換為F1A與F1B的垂直關系.兩道試題考查的難點都是如何利用“垂直”與“向量”關系求解離心率.二者考查的目標與解題思路一致,都是考查雙曲線定義與幾何性質相關知識,考查考生數學閱讀能力、數形結合思想、推理論證能力和運算求解能力[4].

3 試題解析

思路1(從解三角形角度入手)如圖1,設|AF2|=2m,則|BF2|=3m.因為點O為F1F2的中點,且點B在y軸上,所以|BF1|=|BF2|=3m.又|AF1|-|AF2|=2a,故|AF1|=2a+2m.

圖1

在RtΔABF1中,F1A⊥F1B,故9m2+(2a+2m)2=25m2,化簡得(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),所以|AF1|=4a,|AF2|=2a.又|BF2|=|BF1|=3a,故|AB|=5a,從而cos ∠F1AF2=因此,在ΔAF1F2中,由余弦定理得,cos ∠F1AF2=整理得5c2=9a2,因此,C的離心率為

思路2(從坐標運算角度入手)由已知可設F1(-c,0),F2(c,0),A(x0,y0),B(0,t),則由即化簡得又0,化簡得t2=4c2.

又點A在雙曲線C上,則=1,去分母得,25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2c2-a2-16a2c2=9a2(c2-a2),化簡得25c4-50c2+9a4=0,于是(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,從而故又e＞1,所以

思路3(從三角形相似角度入手)如圖2,過點A作AC⊥x軸于點C,則ΔBF2O∽ΔAF2C,于是令AC=h,則又OF2=c,故從而因為∠BF1A=90°,得ΔAF1C∽ΔF1BO,所以化簡得從而在RtΔAF2C中,AF2=在RtΔAF1C中,AF1=故由雙曲線定義得,AF1-

圖2

評析本試題考查雙曲線的定義與幾何性質相關知識,背景知識是圓錐曲線的焦點三角形相關性質,考查范圍來源于教材,又高于教材.試題將平面向量與解析幾何等知識綜合應用做了較好的設計,通過問題的簡單情境,依據雙曲線的定義分析問題,探索解題思路.解答過程繁簡適度,體現思維的靈活性.試題提供多種思考角度,為不同能力的考生構建展示平臺.思路1 從解三角形角度入手,面向大部分考生,考生只須把“垂直”與“向量共線”關系轉化為a,c關系便可解決問題.思路2 從坐標運算角度入手,體現解析幾何的通性通法.思路3 從三角形相似關系入手,計算量小,方法巧妙,要求考生有扎實的數學功底.不同層次的考生可以根據自身的能力水平找到不同的解題思路與方法,對數學運算和邏輯推理等數學核心素養的考查有較好導向作用,體現試題的區分與選拔功能.

4 試題推廣

根據思路1,我們把試題已知條件中的向量系數一般化,將試題結論進行推廣,可以得到結論1:

結論1已知雙曲線C:的左、右焦點分別為F1,F2,點A在C上,點B在y軸上,則C的離心率

證明設|F2B|=t,則|F2A|=λt,從而|F1A|=λt+2a,|F1B|=t.因為F1A⊥F1B,所以在RtΔABF1中,|F1A|2+|F1B|2=|AB|2,即t2+(λt+2a)2=(λt+t)2,展開得2a2+2aλt=λt2.又在ΔAF1F2中,

而

故聯立得

即

因為

所以

于是

故

因此,結論1 是試題的推廣.此外,類比橢圓的定義與幾何性質,我們還可以將結論1 推廣到橢圓的情形,得到結論2,限于篇幅的限制,證明過程就留給讀者來完成.

結論2已知橢圓Γ:的左、右焦點分別為F1,F2,點A在Γ 上,點B在y軸上,則Γ 的離心率e=

5 高考鏈接

題目1 解析如圖3,設|AF2|=t,則依題意有|BF2|=2t,從而|AB|=3t|AF1|=t+2a,|BF1|=2a+2t.因為知AF1⊥AF2,所以

圖3

即

題目2(2016 年高考ⅠⅠ卷理科第11 題)已知F1,F2是雙曲線E:的左、右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,則E的離心率為()

解析如圖4,在Rt △MF1F2中,∠MF1F2=90°,因為所以cos ∠MF2F1=于是又點M的橫坐標為-c,且點M在雙曲線上,故可求點M的縱坐標為為從而

圖4

而e＞1,解得因此,選擇A.

評析本試題重點考查考生對雙曲線基本概念、性質以及雙曲線和直線位置關系的理解與掌握情況,并結合雙曲線定義與焦點三角形的度量關系,考查考生直觀想象的數學核心素養.需要考生有清晰的邏輯思維能力、良好的直觀想象能力、知識的綜合理解能力.此外,本試題也具有較好的選拔功能與良好的區分效果,凸顯數學課程標準的基本理念與要求[3],對教學實踐有導向作用.

結束語在高考評價體系指引下,高中圓錐曲線的教學應由傳統的“結果性教學”轉變為素養立意的“過程性教學”,這就要求學生不僅要知其然,更要知其所以然,同時引導學生探究問題的“本源”,學會舉一反三,夯實數學基礎.一方面,教師探尋幾何問題的本“源”,追溯數學思維發展的源泉,可以提升教師自身數學專業素養和專業化水平[4];另一方面,教師把握幾何問題的“流”,登高望遠,拓展視野,培養學生思維的深度和廣度,設置精致練習[5],摒棄“題海戰術”,提高數學學習的興趣,挖掘數學學習的潛能,提升學生數學綜合素養[6].