探究圓錐曲線中一類定點問題

四川省名山中學(625100) 高繼浩

一、試題呈現

題目(南通蘇北部分學校2022 屆高三四調) 已知為雙曲線C的焦點,點P(2,-1)在C上.

(1)求C的方程;

(2)點A,B在C上,直線PA,PB與y軸分別相交于M,N兩點,點Q在直線AB上,若證明:存在定點T,使得|QT|為定值.

解析易得試題第(1)問C的方程為= 1,下面解答第(2)問.設A(x1,y1),B(x2,y2),如圖1,由易知直線AB的斜率存在,設其方程為y=kx+t,與雙曲線方程聯立,消去y得(1-k2)x2-2tkx-t2-3=0,則直線PA的方程為(x-2)-1,令x=0 得同理得yN=因為= 0,所以yM+yN=0,即整理得(2k-t+1)(x1+x2)-(2k+1)x1x2+4t=0,故2tk(2k-t+1)+(t2+3)(2k+1)+4t(1-k2)=0,化簡整理得(t+3)(2k+t+1)=0.若t=-3,則直線AB過定點E(0,-3),由知PQ⊥EQ,令線段PE的中點為T(1,-2),則若t=-2k-1,則直線AB的程為y=k(x-2)-1,過定點P(2,-1),這不合題意.所以存在定點T(1,-2),使得

圖1

二、推廣探究

由試題解析可知直線AB過定點(0,-3),故該題的本質是定點問題,將雙曲線方程和點P的坐標一般化,探究得到:命題1設點P(x0,y0)(y0?=0),A,B在雙曲線= 1(a＞0,b＞0) 上,直線PA,PB與y軸分別相交于M,N兩點,若則直線AB過定點

證明由易知直線AB的斜率存在,設其方程為y=kx+t,與雙曲線方程聯立,消去y得(b2-a2k2)x2-2a2tkx-a2(b2+t2)= 0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則

直線PA的方程為令x=0得同理得因為=0,所以yM+yN=0,即

整理得

故

若t=y0-x0k,則直線AB的方程為y=k(x-x0)+y0,過定點P(x0,y0),這不合條件.若則直線AB過定點所以直線AB過定點.

類似可得:

命題2設點P(x0,y0)(y0?=0),A,B在雙曲線上,直線PA,PB與x軸分別相交于M,N兩點,若則直線AB過定點

三、類比探究

將命題1、命題2 類比到橢圓中,得到:

命題3設點P(x0,y0)(x0y0?=0),A,B在橢圓上,直線PA,PB與y軸分別相交于M,N兩點,若則直線AB過定點

命題4設點P(x0,y0)(x0y0?=0),A,B在橢圓= 1(a＞b＞0) 上,直線PA,PB與x軸分別相交于M,N兩點,若則直線AB過定點

命題2、命題3、命題4 的證明過程與命題1 類似,略.對拋物線進行探究,得到:

命題5設點P(x0,y0)(y0?=0),A,B在拋物線y2=2px(p＞0) 上,直線PA,PB與y軸分別相交于M,N兩點,若

證明如圖2,由則直線AB過定點易知直線AB的斜率存在,設其方程為y=kx+t,與拋物線方程聯立,消去y得k2x2+2(tk-p)x+t2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=x1x2=直線PA的方程為(x-x0)+y0,令x=0 得yM=同理得yN=因為所以yM+yN=0,即整理得

圖2

故

化簡得y0t2+(x0y0k-px0)t+px0(x0k-y0)=0,將px0=代入并分解因式得若t=y0-x0k,則直線AB的程為y=k(x-x0)+y0,過定點P(x0,y0),這不合條件.若則直線AB過定點所以直線AB過定點