圓錐曲線中又一定點問題的推廣
——兩道模擬試題結論的進一步拓展與證明

章海輝 陳永民 張奇鳳

1.福建省漳州市廈門大學附屬實驗中學(363123)

2.福建教育學院數學教育研究所(350025)

一、問題

題目1(成都市2020 級高中畢業班第三次診斷性檢測理科第20 題)已知斜率為的直線l與拋物線C:y2=4x相交于P,Q兩點.

(Ⅰ)求線段PQ中點縱坐標的值;

題目2(安徽省示范高中2021 年高三冬季聯賽理科第20 題)已知橢圓C:的離心率為過點A(-6,0)作橢圓C的兩條切線l1,l2互相垂直.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)若直線l:y=x+t與橢圓交于P,Q兩點,直線AP與橢圓交于點M,直線AQ與橢圓交于點N,試判斷直線MN是否過定點,并說明理由.

上述兩題的背景相同,均是過坐標軸上點A引兩條直線與圓錐曲線交于四點,若其中兩點連線斜率為定值時,另外兩點的連線過定點.文[1]從題目2 出發把點A推廣到x軸上任意一點時,得出直線MN過定點.我們通過研究發現,當點A的位置不再限定在坐標軸上時,直線MN仍然過定點,具體見下文定理1-3.

二、拓展

為了證明結論,先給出以下三個引理:

引理1已知橢圓C:上有兩點P(acosα1,bsinα1),Q(acosα2,bsinα2)(α1?=α2).若直線l經過P,Q兩點,則直線l的方程為bx(1-t1t2)+ay(t1+t2)-ab(1+t1t2)=0,其中

證明因為P(acosα1,bsinα1),Q(acosα2,bsinα2)(α1?=α2),所以直線l的方程為

整理得:

利用和差化積公式與兩角差公式得:

類似可證:

引理2已知雙曲線C:上有兩點若直線l經過P,Q兩點,則直線l的方程為bx(1+t1t2)-ay(t1+t2)-ab(1-t1t2)=0,其中

引理3已知拋物線C:y2=2px(p＞0) 上有兩點若直線l經過P,Q兩點,則直線l的方程為x-y(t1+t2)+2pt1t2=0.

下面我們給出本文主要結論的證明,對于橢圓背景下的定點問題,我們得到如下更一般性的結論:

定理1已知直線l:y=kx+t與橢圓C:1(a＞b＞0)交于P,Q兩點,點A(x0,y0)為不在橢圓上的任一點,直線AP,AQ分別與橢圓交于點M,N兩點(異于P,Q),則直線MN過定點(u,v),其中

證明設P,Q,M,N的坐標分別記為(acosαi,bsinαi),并記則有引理1 可知:直線PQ,PM,QN,MN的方程分別為

由直線PQ的斜率為k及,得即

由直線PM過點A(x0,y0)及,得bx0(1-t1t3)+ay0(t1+t3)-ab(1+t1t3)=0,即

由直線PM過點A(x0,y0)及,得bx0(1-t1t3)+ay0(t1+t3)-ab(1+t1t3)=0,即

把t1,t2的表達式代入,整理得

解得

即直線MN過定點(u,v),其中u,v分別為如上的x,y,故定理1 成立.

對雙曲線背景下定點問題,類似可證定理2,具體過程留給讀者.

定理2已知直線l:y=kx+t與雙曲線C:1 交于P,Q兩點,點A為不在雙曲線上的任一點,直線AP,AQ分別與雙曲線交于點M,N(異于P,Q).則直線MN過定點(u,v),其中

對拋物線下的定點問題,我們有:

定理3已知直線l:y=kx+t與拋物線C:y2=2px(p＞0)交于P,Q兩點,點A為不在拋物線上的任一點,直線AP,AQ分別與拋物線交于點M,N(異于P,Q).則直線MN過定點

證明設P,Q,M,N的坐標分別記為1,2,3,4),則有引理3 可知:直線PQ,PM,QN,MN的方程分別為

由直線PQ的斜率為k及,得即

由直線PM過點A(x0,y0)及,得(t1+t3)y0-x0=2pt1t3,即由直線QN過點A(x0,y0) 及,得(t2+t4)y0-x0=2pt2t4,即把t1,t2的表達式代入,整理得

定理3 成立.

三、結語

對于較為優質的模擬試題,我們應挖掘其本質特征,做到會一題,通一類.希望本文給出的相關性質及證明,能夠帶來一點啟發.