一種設計近似完全重構非均勻余弦調制濾波器組的新算法

蔣俊正 江 慶 歐陽繕

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一種設計近似完全重構非均勻余弦調制濾波器組的新算法

蔣俊正*江 慶 歐陽繕

(桂林電子科技大學信息與通信學院 桂林 541004)

該文提出了一種設計近似完全重構非均勻余弦調制濾波器組的新算法。針對現有合并算法中非均勻濾波器組性能無法直接控制優化的缺點，新算法把非均勻濾波器組的設計問題歸納為一個關于原型濾波器的無約束優化問題，其中目標函數是非均勻濾波器組傳遞失真與原型濾波器阻帶能量的加權和，最后利用線性迭代算法求解該優化問題。理論分析和數值實驗表明，新算法獲得的非均勻余弦調制濾波器組比現有算法設計的濾波器組整體性能更佳。

非均勻濾波器組；余弦調制；近似完全重構；線性迭代算法；無約束優化

1 引言

多速率濾波器組在自適應濾波、語音圖像編碼和圖像處理等方面取得了廣泛的應用。設計一般的濾波器組需優化所有分析濾波器和綜合濾波器，而調制濾波器組只需優化設計原型濾波器，這大大降低了設計的復雜度。調制濾波器組目前主要有兩類，分別是余弦調制濾波器組[3,16]和離散傅里葉變換調制濾波器組[2,8,14,15,17]。兩種調制濾波器組相比較而言，余弦調制濾波器組是余弦調制而來，更適用于處理實值信號。

發展至今，余弦調制濾波器組的研究成果主要集中于設計均勻濾波器組。然而實際應用中需要具備非均勻頻率劃分特性的濾波器組，即非均勻濾波器組。比如在圖像去噪中需要對圖像頻譜進行非均勻的合理劃分從而更有效地實現噪聲去除[9]。文獻[10]首次提出通道非均勻正交鏡像濾波器組的概念與構造。文獻[11]創新性地提出通過合并均勻濾波器組來實現非均勻濾波器組的理論，這是非均勻濾波器組設計的一大進步。文獻[12]利用子帶合并的方式成功構建了近似完全重構的非均勻余弦調制濾波器組，然而他們的設計算法是先獲得均勻濾波器組后直接進行子帶合并，導致非均勻濾波器組的性能是由所給均勻濾波器組所完全決定。文獻[13]在文中利用凱瑟窗函數法獲得3 dB截止頻率為的原型濾波器后，同樣也是通過直接合并的方式獲得非均勻濾波器組。文獻[18]采用樹結構的方式構建非均勻濾波器組，但這種結構存在自身的缺陷：所獲得的非均勻濾波器組系統延遲較長。文獻[19]討論了一種基于直接合并的方法來構建完全重構的非均勻濾波器組的設計算法，但是該算法需要增加額外的調制模塊來消除因合并通道時產生的虛假頻率響應。

為了解決現有合并算法中非均勻濾波器組性能無法直接控制優化的不足，本文將非均勻濾波器組的設計問題歸納為一個關于原型濾波器的四次無約束優化問題，通過優化目標函數來直接控制非均勻濾波器組性能。眾所周知，直接求解一個關于原型濾波器四次的目標函數是比較困難的，因此本文采用線性迭代算法來求解該問題。通過先給定一個最初原型濾波器，將目標函數轉換為關于原型濾波器的凸二次函數后，迭代求解原型濾波器。對于多載波調制系統[17]，超高速數字傳輸系統[20]等應用而言，希望濾波器組系統的重構誤差盡可能的小。在系統實現中，普遍認為重構誤差應小于量化誤差，這樣系統的應用就不會受到自身重構特性的影響。例如，多載波調制系統[17]將重構誤差的上限設置為小于。通過仿真實驗可得，本文算法獲得的非均勻濾波器組比現有算法設計所得的濾波器組重構誤差更小，可達量級，能夠完全滿足應用要求。

2 非均勻余弦調制濾波器組的基本理論

圖1 K通道非均勻濾波器組的一般結構

(2)

根據文獻[12]所提出的等價原理，非均勻余弦調制濾波器組可以通過直接合并均勻余弦調制濾波器組的子帶獲得，合并公式為

(4)

(6)

下面建立非均勻余弦調制濾波器組的子帶濾波器與原型濾波器的函數關系。令為原型濾波器的系數，其頻率響應為，其中,為虛數單位。根據式(3)-式(6)，我們可以得出非均勻余弦調制濾波器組的分析濾波器和綜合濾波器與原型濾波器的關系式為

(8)

其中，

(10)

結合式(2)，式(7)和式(8)，我們可以得出非均勻余弦調制濾波器組傳遞函數與原型濾波器的關系式，即

(12)

一個完全重構的濾波器組必須滿足條件：濾波器組的傳遞函數為一個純延遲且混疊失真為零。當上述條件近似成立時，濾波器組是近似完全重構的。在實際應用中，近似完全重構的濾波器組比完全重構的濾波器組擁有更佳的性能[14]，且計算的復雜度更低，因此本文研究近似完全重構的非均勻余弦調制濾波器組的設計。

3 非均勻余弦調制濾波器組的設計

在調制濾波器組的設計中通常需要關注濾波器組的重構特性和原型濾波器的頻率特性。衡量濾波器組重構特性的指標是重構誤差，由傳遞失真和混疊失真聯合決定；衡量原型濾波器頻率特性的性能指標有原型濾波器的通帶平坦性和阻帶衰減[15]。

考慮到濾波器組的混疊失真是關于原型濾波器的復雜非線性函數，直接控制較為困難，一般用原型濾波器的阻帶能量來間接控制，阻帶能量的表達式為

小的傳遞失真和低的阻帶能量可以保證獲得整體性能較好的濾波器組。因此本文將非均勻濾波器組的設計問題歸納為一個無約束的優化問題，目標函數就是非均勻濾波器組傳遞失真和原型濾波器阻帶能量的加權和，表示為

(15)

(17)

(19)

第1步 初始化原型濾波器，即設計一個長度為的低通濾波器；

相比于文獻[12]算法采用直接合并的方法，本文算法增加了一個優化過程，計算量有所增加。本文中，通過迭代方法來設計一個整體性能良好的原型濾波器，單步迭代中原型濾波器有閉式解，計算復雜度來源于單步迭代中的計算量，包括矩陣求逆和矩陣-向量相乘，以及向量和矩陣的計算量。總體而言，所增加的計算復雜度較小。

另外，類似于文獻[15]中算法，本文采用的線性迭代算法是一種修正牛頓法。可以證明，本文算法是收斂的[15]。

4 仿真結果與分析

在這一小節將給出本文算法與現有算法的仿真對比，所有的仿真都在相同的運行環境下進行。

例1 設計一個非均勻余弦調制濾波器組：，分別采用文獻[12]算法和本文方法設計。在文獻[12]算法，通過子帶合并的方式將一個均勻濾波器組轉換成一個非均勻濾波器組。其中，均勻濾波器組采用文獻[16]中的算法設計，通道數為16，原型濾波器長度為256。在本文設計算法中，其相關參數為，采用直接優化的方式來設計該非均勻濾波器組。為了比較的公平性，本文算法迭代所用的初始濾波器，與文獻[12]算法用于合并的均勻濾波器組的原型濾波器相同。圖2和圖3分別給出了兩個非均勻余弦調制濾波器組的原型濾波器的幅度響應和分析濾波器組的幅度響應。從圖2可以看出本文算法與文獻[12]算法所得的原型濾波器都具有較好的頻率特性，具有高的阻帶衰減，小的通帶波動。圖3說明了非均勻余弦調制濾波器組的每個分析濾波器都保留了原型濾波器良好的頻率特性。圖4給出了本文算法的目標函數值隨迭代次數的變化曲線。從圖4我們可以發現目標函數值在經過幾次迭代之后就趨于不變，即驗證了本文優化算法的快速收斂性。表1分別陳列了兩個非均勻濾波器組的傳遞失真、混疊失真、重構誤差以及其原型濾波器的阻帶衰減。從表1可以看出，本文算法設計所得的非均勻濾波組比文獻[12]設計所得的濾波器組具有更好的整體性能，其重構誤差降低了一個數量級。

圖2 原型濾波器的幅度響應

圖3 非均勻分析濾波器組的幅度響應 圖4 目標函數隨迭代次數的變化曲線

表1本文算法與文獻[12]算法的性能對比

表2本文算法與現有算法的性能對比

5 結束語

本文圍繞非均勻余弦調制濾波器組的設計問題，提出了基于直接優化的設計算法。在該算法中，把非均勻濾波器組的設計問題歸結為一個關于原型濾波器的四次優化問題，其目標函數是非均勻濾波器組傳遞失真與原型濾波器阻帶能量的加權和，最后利用線性迭代方法求解。仿真結果表明，相比于現有設計算法，本文算法能夠設計得到整體性能更好的非均勻余弦調制濾波器組。

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Novel Method for Designing Near-perfect-reconstruction Nonuniform Cosine Modulated Filter Banks

JIANG Junzheng JIANG Qing OUYANG Shan

(School of Information and Communication, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

This paper proposes a new algorithm to design near-perfect-reconstruction nonuniform Cosine modulated filter banks. Due to the infeasibility of directly controlling the performance of Nonuniform Filter Banks (NUFBs) in the existing combined algorithms, the design problem boils down to an unconstrained optimization problem with respect to the Prototype Filter (PF), which minimizes a weighted sum of the transfer function distortion of the NUFBs and the stopband energy of the PF. The optimization problem can be efficiently solved by utilizing linearizing iterative approach. The theoretical analysis and numerical experiments are carried out to show that compared with the existing methods, the proposed method can lead to NUFBs with better overall performance.

Nonuniform filter banks; Cosine modulation; Near-perfect-reconstruction; Linearizing iterative approach; Unconstrained optimization

TN911.7

A

1009-5896(2016)09-2385-06

10.11999/JEIT151260

2015-11-25；

2016-04-27；

2016-07-19

國家自然科學基金(61261032, 61371186)，廣西自然科學基金(2013GXNSFBA019264)

The National Natural Science Foundation of China(61261032, 61371186), Guangxi Natural Science Foundation(2013GXNSFBA019264)

蔣俊正 jzjiang@guet.edu.cn

蔣俊正： 男，1983年生，副教授，碩士生導師，研究方向為多速率濾波器組理論與應用、通信信號處理.

江 慶： 男，1991年生，碩士生，研究方向為多速率濾波器組的設計及應用.

歐陽繕： 男，1960年生，教授，博士生導師，研究方向為自適應信號處理、通信信號處理.