基于四元數(shù)離散余弦變換和相移數(shù)字全息干涉的彩色圖像加密技術(shù)

李建忠，江玉珍，鐘　平

（1.韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東潮州　521041；2.韓山師范學(xué)院計算機與信息工程學(xué)院，廣東潮州　521041；3.韓山師范學(xué)院教育信息技術(shù)部，廣東潮州　521041）

基于四元數(shù)離散余弦變換和相移數(shù)字全息干涉的彩色圖像加密技術(shù)

李建忠1，江玉珍2，鐘平3

（1.韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東潮州521041；2.韓山師范學(xué)院計算機與信息工程學(xué)院，廣東潮州521041；3.韓山師范學(xué)院教育信息技術(shù)部，廣東潮州521041）

結(jié)合四元數(shù)離散余弦變換（QDCT）、Henon映射和兩步相移數(shù)字全息干涉術(shù)，提出一種彩色圖像加密新方法.所提加密技術(shù)首先應(yīng)用QDCT對彩色圖像進行整體式的處理，然后使用Fibonacci變換和基于分數(shù)傅里葉變換的雙隨機編碼技術(shù)進行加密，并采用兩步相移數(shù)字全息干涉術(shù)記錄加密結(jié)果.為避免傳輸隨機相位掩模（RPM）給解密方引起的安全風(fēng)險，利用Henon映射生成雙隨機編碼過程所需的RPMs加以解決.實驗表明所提加密系統(tǒng)具有高安全性和對選擇明文等攻擊具有魯棒性.

加密；四元數(shù)離散余弦變換；分數(shù)傅里葉變換；Henon映射；兩步相移干涉

基于光學(xué)理論的圖像加密技術(shù)是信息安全領(lǐng)域的一個重要的分支.自雙隨機相位編碼（DPRE）加密技術(shù)［1］提出以來，許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上采用菲涅爾變換［2］、分數(shù)傅立葉變換［3］、Gyrator變換［4］和相移數(shù)字全息干涉［5］等提出一系列的新技術(shù).然而，上述方法的保護對象均為灰度圖像，無法對彩色圖像進行有效加密處理.但隨著多媒體技術(shù)和圖像獲取設(shè)備技術(shù)的發(fā)展，彩色數(shù)字圖像產(chǎn)品越來越多，這使得彩色圖像安全保護技術(shù)的應(yīng)用研究變得更為迫切.為加密彩色圖像，文獻［6］基于RGB顏色模型將彩色圖像分解為R、G、B三個顏色分量，然后在三個通道中實現(xiàn)加密和傳輸；文獻［7，8］則分別提出采用基于波長復(fù)用的雙隨機相位加密方法和基于分數(shù)傅里葉變換的雙隨機相位加密方法對彩色圖像的三個R、G、B通道進行加密.但這些方法均是對彩色圖像的不同分量分別地進行操作，所以無法將其作為一個整體進行處理，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性和實現(xiàn)的難度.為實現(xiàn)將彩色圖像作為一個整體進行加密，文獻［9］提出基于四元數(shù)傅里葉變換和雙隨機相位編碼的彩色圖像加密技術(shù).在這種方法中，彩色圖像將采用四元數(shù)矩陣表示以實現(xiàn)整體式處理.然而，該方法的加密結(jié)果為復(fù)數(shù)形式，不便于存儲和傳輸.同時，上述方法均無法有效抵抗選擇明文［10］等攻擊.此外，大部分基于雙隨機相位編碼的圖像加密技術(shù)都需要傳送大量的解密密鑰如隨機相位掩膜（RPM）等給解密方，容易引起安全風(fēng)險［11］.

結(jié)合四元數(shù)離散余弦變換（QDCT）、基于分數(shù)傅里葉變換（FrT）的雙隨機相位編碼技術(shù)和兩步相移數(shù)字全息干涉術(shù)，本文提出一種安全的彩色圖像加密方法.為避免將整個RPM傳送給解密者，采用了Henon混沌系統(tǒng)生成RPM的方法.模擬實驗表明，所提方法不但具有良好的安全性和魯棒性，而且能有效降低系統(tǒng)的復(fù)雜性和提高存儲及傳輸效率.

1　相關(guān)工作原理

1.1彩色圖像的四元數(shù)表示及QDCT

1.1.1彩色圖像的四元數(shù)表示

四元數(shù)可視為復(fù)數(shù)的推廣，其定義如下［12］：

式中，a,b,c,d為實數(shù)，i，j，k為滿足下面規(guī)則的虛數(shù)單位：

當a=0時，q為純四元數(shù).

彩色圖像通常可用如RGB、HSI等色彩模型表示，本文以RGB色彩模型為例進行討論.令四元數(shù)的實部為0，而三個虛部分別代表彩色圖像 f（x,y）的R、G、B分量，則彩色圖像 f（x,y）可表示為

式中，f（Qx,y）是由四元數(shù)表示的彩色圖像，f（Rx，y）、f（Gx，y）和 f（Bx，y）分別為彩色圖像的R、G、B三個顏色分量.可見，四元數(shù)可以把在三色空間上的彩色圖像作為一個矢量進行整體式的處理.

1.1.2彩色圖像的QDCT

大小為M×N彩色圖像的QDCT定義如下［13］

對應(yīng)的逆離散四元數(shù)余弦變換（IQDCT）定義如下［13］

其中

（4）式和（5）式中， μQ是一個實部為0、模為1且滿足μQ2=-1的單位純四元數(shù).設(shè)μQ=ξi+ηj+γk（ξ，η和γ均為實數(shù)），將μQ和（3）式代入（4）式整理有

其中，

（9）式中，DCT（）表示離散余弦變換.對（8）式進行IQDCT變換，有

其中，

（11）式中， f0（x,y）=IDCT［C0（p,s）］,f1（x,y）=IDCT［C1（p,s）］,f2（x,y）=IDCT［C2（p,s）］和 f3（x,y）=IDCT［C3（p,s）］，IDCT（）表示逆離散余弦變換.對比（10）式和（3）式有 fre（x,y）=0.根據(jù)RGB模型組合（10）式中的 fR（x,y）、fG（x,y）和fB（x,y）可得重構(gòu)彩色圖像.

1.2Henon混沌映射

由于具有良好的偽隨機性、軌道不可預(yù)測性及對初始狀態(tài)和控制參數(shù)極端敏感等特性，近年來混沌系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用加密技術(shù).本文將采用Henon混沌系統(tǒng)生成RPM.Henon映射定義如下［14］

當g=1.4，h=0.3時，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象.

1.3兩步相移數(shù)字全息干涉術(shù)

因為兩步相移數(shù)字全息干涉術(shù)能很好地去除零級像和共軛像以及降低系統(tǒng)的運算和存儲量，所用研究將在所提加密算法中應(yīng)用其記錄加密的全息圖.其工作原理如下［15］：

假設(shè)在全息圖記錄平面上的物光波復(fù)振幅為I，參考光波是振幅為R的平面波，同時參考光分別引入0和π/2相位，則被記錄的兩個正交相移同軸全息圖的光強分布為

其中，H0表示零級光波或直流項.

當參考光強度滿足下列條件

H0可由下式計算得到

然后，根據(jù)（16）式可得沒有零級光波和共軛光波的全息圖

2　彩色圖像加密解密方法

對大小為M×N的待加密彩色圖像，可根據(jù)（3）式先將其表示為四元數(shù)矩陣的形式，并記為f（Qx，y）.加密步驟如下

1）對 f（Qx，y）進行QDCT得C（Qp,s）=C（0p,s）+C（1p,s）i+C（2p,s）j+C（0p,s）k；

2）構(gòu)造矩陣QC1=［C0,C1］和QC2=［C2,C3］，然后令EC=QC1+jQC2，則EC為待加密的復(fù)振幅. QC1、QC2和EC的大小均為M×2N；

3）為抵抗選擇明文等攻擊，對EC進行置亂次數(shù)為kp的Fibonacci變換［16］得PCM；

4）為避免將整個RPM作為密鑰進行存儲和傳輸，采用Henon映射生成2個大小為M×2N的RPM，過程如下

①首先隨機初始化X1和Y1；

②然后根據(jù)（12）式生成2個混沌序列Xi和Yi；

③計算Xi=10n|Xi|-fix（10n|Xi|），Yi=10n|Yi|-fix（10n|Yi|）.其中 fix（）為向下取整函數(shù)；

④接著分別將Xi和Yi轉(zhuǎn)換為大小為M×2N的二維矩陣φ及?，則φ及?可被認為是兩個在［0，1］之間隨機分布的白噪聲；

⑤最后下列公式獲得隨機相位掩膜PM1和PM2

5）假設(shè)DPRE系統(tǒng)的輸入平面、變換平面和記錄平面分別用（x0,y0）、（x1,y1）和（x2,y2）表示，則在記錄平面得到的復(fù)振幅為

其中，F(xiàn)rT（）是分數(shù)傅里葉變換操作，Px1、Px2和Py1、Py2分別為水平和豎直方向的分數(shù)階；

6）根據(jù)1.3小節(jié)描述的方法，對參考光引入相位，分別為0和π/2，則可得到兩幅加密的全息圖H1和H2.

上述方法中，參數(shù)X1、Y1、Px1、Py1、Px2、Py2和kp為所提加密系統(tǒng)的密鑰.

解密過程為加密方法的逆過程，步驟如下

1）首先根據(jù)式（15）計算得到I0，然后應(yīng)用式（16）得H；

2）利用密鑰X1、Y1作為初始參數(shù)，按照加密過程的步驟4）生成兩個隨機相位掩膜PM1和PM2；

3）根據(jù)式（19）用分數(shù)階P1和P2對H作兩次逆分數(shù)傅里葉變換得原輸入平面上的物光波復(fù)振幅

4）對上述復(fù)振幅PCM進行置亂次數(shù)為kp的逆Fibonacci變換得EC'?=QC1'?+jQC2'?；

5）根據(jù)下式構(gòu)造C'0、C'1、C'2和C'3

6）最后按照（11）和（10）式得重構(gòu)彩色圖像 fQ'（x，y）.

3　仿真實驗

為驗證所提加密方法的可行性，采用Matlab 2013進行計算機仿真實驗.實驗中，選取256×128 的24位真彩色圖像Giraffe作為待加密的原始圖像，如圖1（a）所示.系統(tǒng)參數(shù)分別為X1=0.287，Y1=0.163，Px1=0.43、Py1=0.78、Px2=0.56、Py2=0.92及kp=196.圖1（b）、圖1（c）分別為兩個加密的全息圖，圖1（d）是用所有正確密鑰得到的解密圖像.為評價解密圖像的質(zhì)量，用解密圖像與原圖像的均方誤差（MSE）［17］度量它們之間的差異.對比圖1（d）和圖1（a）可知，解密圖像與原始加密圖像在視覺上沒有任何差別，其MSE為4.85×10-29.

圖1　加密及解密結(jié)果

實驗首先驗證加密方法對混沌初始參數(shù)微小變化的敏感性.圖2（a）和2（b）分別是X1=0.287+10-15和Y1=0.163+ 10-15時的解密圖像，相應(yīng)的MSE分別為0.2036和0.1982.從圖2可以看出，只要任一混沌初始參數(shù)有極輕微的改變，都不能正確解密.可見，該方法對Henon混沌系統(tǒng)的初始參數(shù)極為敏感.

圖3（a）是解密彩色圖像的MSE與分數(shù)階Px1、Py1、Px2和Py2誤差之間的關(guān)系曲線，正方形曲線對應(yīng)Px1，圓點曲線對應(yīng)Py1，正三角曲線對應(yīng)Px2，倒三角曲線對應(yīng)Py2.由關(guān)系曲線可以看出，當分數(shù)階Px1、Py1、Px2和Py2的絕對誤差達0.01時，將無法從解密圖像中獲取有效信息，它們的MSE值均在0.12以上.圖3（b）、（c）、（d）和（e）是Px1、Py1、Px2和Py2的誤差為0.01時解密結(jié)果，它們的MSE分別為0.1954、0.125、0.211和0.1976.

圖2　混沌參數(shù)錯誤時的解密結(jié)果

圖3　混沌參數(shù)錯誤時的解密結(jié)果

圖4是kp=196+1時的解密圖像，其MSE=0.1801.從圖4可知，當置亂參數(shù)kp發(fā)生微小變化，將不能正確恢復(fù)出原始彩色圖像.

在上述安全性測試實驗中，只有一個密鑰是錯誤的，其它密鑰均全部正確.

大部分基于DPRE的圖像加密方法不能有效抵抗如唯密文、已知明文、選擇密文和選擇明文等特殊攻擊［10］.在上述攻擊中，選擇明文攻擊最為有效［10］.文獻［18］指出能置亂技術(shù)能使基于DPRE的加密方法有效抵抗上述攻擊.同時，研究表明，當一個加密系統(tǒng)能抵抗選擇明文攻擊，則該系統(tǒng)也能抵抗其余3種攻擊［10］.為驗證抵抗上述攻擊的魯棒性，實驗根據(jù)文獻［19］的方法，用圖5（a）作為偽明文對所提方法進行選擇明文攻擊并求解得隨機相位掩膜PM1'和PM2'?，然后用它們對圖1（b）和1（c）所示的密文進行解密，噪聲圖像圖5（b）是相應(yīng)解密結(jié)果，它的MSE是0.197 9.因此，所提加密系統(tǒng)能有效抵抗選擇明文攻擊.根據(jù)文獻［10］可知，本方法同樣能有效抵抗另外3種攻擊.

4　結(jié)束語

基于四元數(shù)離散余弦變換、雙隨機相位編碼、Henon混沌映射和兩步相移數(shù)字全息干涉，本文提出一種彩色圖像的加密技術(shù).在該方法中，由于彩色圖像用QDCT進行整體式的處理，同時加密結(jié)果僅需記錄兩幅實值全息圖，所以有效地降低了系統(tǒng)的復(fù)雜性.此外，采用Henon映射生成RPM可避免傳輸隨機相位掩模給解密方，使得本加密技術(shù)在密鑰的管理與發(fā)布方面具有很大優(yōu)勢.實驗表明，加密結(jié)果只有在所有密鑰都正確的情況下才能正確解密，一旦有任一密鑰錯誤，解密圖像將不能正確恢復(fù)，因此所提方法具有很高的安全性.另外，由魯棒性實驗結(jié)果可知，該加密系統(tǒng)能有效地抵抗選擇明文等攻擊.

圖4　置亂參數(shù)錯誤時的解密結(jié)果

圖5　選擇明文攻擊魯棒性實驗結(jié)果

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Color Image Encryption Scheme Based on Quaternion Discrete Cosine Transform and Phase-shifting Interferometry

LI Jian-zhong1，JIANG Yu-zhen2，ZHONG Ping3
（1.School of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041，2.School of Computer and Information Engineering，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041，3.Department of Information Technology Education，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

A color image encryption scheme based on the quaternion discrete cosine transform（QDCT），the Henon map and two-step phase-shifting interferometry（PSI）is presented.In the proposed method，the original color image is processed holistically in a vector manner using QDCT first，then the components of the QDCT-transformed original image are encoded by use of the Fibonacci transform and the fractional Fourier transform-based double random phase encoding（DRPE）technique.The resulting encrypted signal is recorded as two real-valued interferograms by employing two-step PSI.To avoid the security risks caused by sending the whole random phase masks（RPM）to the receiver side for decryption，the two RPMs used in DRPE is generated by utilizing Henon map.Experiments show that the proposed scheme has high security level and certain robustness against some attacks such as chosen plaintext attack.

encryption；Quaternion discrete cosine transform；fractional Fourier transform；Henon Map；two-step phase-shifting interferometry

TP 319

A

1007-6883（2016）03-0034-07

責(zé)任編輯朱本華

2016-03-28

廣東省自然科學(xué)基金項目（項目編號：2014A030310038）；廣東省教育廳科研項目（項目編號：2013KJCX0127；2015KTSCX089）；廣東省2013年高等教育教學(xué)改革項目.

李建忠（1975-），男，廣東廣州人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授.