圖像橢圓扁度不變性及其在仿射不變量構造中的應用

季　超，楊曉東，王　煒

(海軍潛艇學院，山東 青島 266199)

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圖像橢圓扁度不變性及其在仿射不變量構造中的應用

季超*，楊曉東，王煒

(海軍潛艇學院，山東 青島 266199)

針對傳統基于面積比不變的仿射不變量方法具有的特征點選取不穩定且有冗余以及區域面積誤差累積等特點，提出了一種基于圖像橢圓扁度劃分策略的仿射不變量構造方法。介紹了圖像仿射變換模型，得到了圖像仿射近似條件。結合圖像橢圓扁率定義，依據不變矩理論證明了仿射變換下圖像扁率的不變性。給出了圖像扁度的定義及其物理含義，并以此作為圖像同心圓劃分依據，選取三階以下仿射不變矩作為圖像特征量，通過計算各同心圓區域的仿射不變量描述圖像目標。將提出的方法應用于實際艦船圖像并結合離散系數對其穩定性進行了分析。結果表明：同一艦船目標各種仿射變換圖像計算所得扁度相同，所在劃分特征圓區域仿射不變量離散系數最大為1.55%。得到的結果顯示該方法對目標圖像的特征區域劃分具有唯一性，構造的仿射不變特征穩定性較好。

圖像橢圓扁度；仿射不變量；圖像特征；圖像識別

*Correspondingauthor,E-mail:jichao200611@163.com

1　引　言

仿射不變量不受形狀采集視點變化和相機內外參數的影響，與其它形狀特征量相比，在特征穩健性、區分度和適用范圍等方面具有很大優勢[1]。根據仿射幾何理論不變性質知，仿射變換前后兩對應封閉區域面積比為常數，此性質被廣泛應用于仿射不變量的構造。目前基于面積比不變的仿射不變量構造方法主要分為兩類：一是基于特征區域構造面積比不變量；二是基于特征點集構造面積比不變量。

文獻[2]通過對二值圖像在空間上進行劃分，以對象在每個環內的分布為特征，將前景對象面積與背景面積之比作為不變特征描述子，當待識別對象存在一定變形時，該描述符可較好地完成匹配，且具有一定的魯棒性。文獻[3]以物體質心為圓心，利用每個圓內質量(面積)與物體總質量(面積)之比構造特征量，該特征量具有平移、旋轉、尺度以及反射不變性。文獻[4]先計算圖像的協方差矩陣，通過計算該矩陣的特征值和特征向量構造出一組同心橢圓，再利用同心橢圓面積比構造一組仿射不變量。上述基于特征區域構造面積比不變量的方法都是通過選擇特殊區域如圓環、同心圓或者同心橢圓作為特征區域，構造閉合區域面積比的，本質上都是利用不變矩理論中的零階矩比值。

Yang提出了一種凸包仿射不變量構造方法，將相鄰點構造的三角形面積比作為仿射不變量[5]；Zhang等對圖像的紋理基元和仿射變換后圖像進行自適應分割，將封閉區域兩兩組合然后相除，構造面積比值的仿射不變量[6]；陳濤等提出了擴展質心概念和仿射區域劃分方法，通過一系列擴展質心點序列圍成的三角形面積比構造仿射不變量[7]。上述基于特征點集構造面積比不變量的方法存在特征點選取不穩定且有冗余、區域面積誤差累積等缺點，從而使得特征量不穩定。

在此基礎上，本文提出一種基于圖像橢圓扁度劃分策略的仿射不變量構造方法，文中從理論上證明了圖像橢圓扁率的不變性，給出了圖像橢圓扁度的定義及其物理含義，得到了基于圖像橢圓扁度的劃分策略。該方法對目標圖像的特征區域劃分具有唯一性，構造的仿射不變特征具有較好的穩定性。

2　仿射變換及其近似條件

相機的成像過程是目標從三維空間到二維平面投影變換的過程，通過對目標成像模型的研究表明[8]，當三維目標的深度變化相對于相機距離很小時，所獲取形狀之間滿足仿射變換關系。設圖像為f(x,y)，則其仿射變換定義為：

(1)

其中(x,y)為圖像上任意一點，(xT,yT)為其仿射變換后的對應點。仿射變換包括平移、旋轉、縮放及反射變換。

圖像經仿射變換后保持不變的量，稱為圖像的仿射不變量。在仿射幾何中，仿射變換前后對應兩封閉區域面積比為常數，此性質是仿射不變量構造方法的基礎。故尋求特征區域是仿射不變量構造的關鍵之一。

當用兩個不同的相機，從不同的角度和距離獲取空間中同一個點的圖像時，推導出兩幅圖像上像素坐標之間的關系。令M為空間中一點，在C1、C2平面的像點分別為m1，m2，如圖1所示。

圖1　不同視點下圖像成像模型Fig.1　Imaging model under different viewpoints

為簡化計算，假定世界坐標系與攝像機1的相機坐標系重合，則物點M與其像點m1在世界坐標系和圖像像素坐標系中的關系為：

(2)

物點M與其像點m2在世界坐標系和圖像像素坐標系中的關系為：

(3)

聯立公式(2)和(3)，消去世界坐標(Xw,Yw,Zw)T，可得兩個像點的像素坐標存在如下關系：

(4)

(5)

[α,β,u0,v0]是相機的內參數，只要相機選定，參數則固定不變，這組參數為絕對不變量。[R t]是相機的外參數，但只要兩臺相機拍攝的視角和位置固定，參數也固定不變，這組參數為相對不變量。

k1=α2r1+u02r7,k2=α2r2+u02r8,k3=α2r3+u02r9,k4=α2tx+u02tz,k5=β2r4+v02r7,k6=β2r2+v02r8,k7=β2r6+v02r9,k8=β2ty+v02tz。

寫成矩陣形式為：

(6)

(7)

(8)

由式(6)可知，空間中一點的兩個像點的圖像像素坐標滿足仿射變換關系，但對于不同的空間點，Zc1/Zc2不相等，故不同空間點的兩個像點坐標所遵守的仿射變換關系不一致，即用兩臺相機對空間目標進行成像時，所有的像點不能用同一仿射變換模型進行描述。若加入一定的限制條件，使得Zc1/Zc2近似為常量，則該問題便解決。下面為得到的仿射近似的條件：

(1)對于平面目標，若兩相機的光軸近似平行，則Zc1/Zc2近似為常數；

(2)對于三維空間中的目標，若目標深度遠遠小于它與攝像機之間的距離，Zc1/Zc2可以近似為常數；

(3)若目標深度變化不可忽略，對于目標的局部區域，仍可以用同一仿射變換模型來近似。

當攝像機與艦船目標的距離大于艦船深度變化的10倍以上時[8]，攝像機獲取的艦船圖像滿足仿射變換條件，本文便是研究仿射變換下圖像不變量計算。

3　基于圖像橢圓扁度劃分策略的仿射不變量

3.1圖像橢圓扁率及其不變性證明

記μ20、μ11和μ02表示圖像的3個二階中心矩，則圖像經規范化后完全等同于一個具有確定尺寸、方向、離心率，并且中心位于圖像質心的輻射度恒定的橢圓，如圖2所示，該圖像橢圓的兩個半長軸p和q記為：

圖2　圖像橢圓Fig.2　Image ellipse

(9)

(10)

則扁率E定義為：E=p/q,

(11)

扁率E也稱為伸長度(Elongation)，它在一定程度上描述了圖像區域的緊湊性。當區域為圓時E取得最小值1。

現有基于特征區域構造仿射不變量的方法僅構造一組同心圓或同心圓環，構造規則簡單且不具備唯一性，無法體現不同目標圖像的差異。本文基于圖像橢圓扁率對圖像進行劃分，能夠對圖像進行全局和局部描述，構造規則含義明確且具有唯一性，下面給出其不變性證明過程。

證明

圖像歸一化中心矩ηpq滿足

(12)

則由式(12)可得

(13)

(14)

根據Hu不變矩理論[9]可知

φ1=η20+η02,

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

φ1，φ2對于規范化圖像為不變量，因此E=p/q為不變量，只要圖像經過規范化即可得到不變的扁率E。由于扁率在圖像經過規范化后保持不變且唯一，故本文采用其構造特征區域。

3.2基于圖像橢圓扁度的特征區域劃分

扁率的數值可能不為整數，不能確定構造特征區域具體劃分數目，為此本文給出圖像橢圓扁度的定義。

扁度：定義 令sc=round(p/q)

(20)

sc稱為圖像橢圓的扁度，其中round表示取整操作，扁度為圖像橢圓扁率取整所得數值，其表示圖像形狀的緊湊性及圓整度。

以圖像f的質心為圓心，選取圖像橢圓短半軸長度q為半徑，以c1q，c2q，…，cnq(1≤cn≤sc)為半徑的一系列同心圓作為特征區域。需要說明的是sc也將作為特征量表征圖像。同心圓構造示意圖如圖3所示。

圖3　同心圓構造示意圖Fig.3　Diagram of concentric circles construction

3.3圖像仿射不變量描述子

Hu矩于1962年提出之后被廣泛應用，90年代后期波蘭的Flusser給出了二維仿射變換下的不變量，得到4個不變矩用于識別仿射變形的物體[1,8]。然而高階矩易受噪聲干擾、穩健性差。故本文選取三階以下矩構成的3個仿射不變矩作為仿射不變量。

(21)

3.4算法流程

為了衡量所構造仿射不變量的穩定性，本文采用離散系數來表征數據平均指標。

離散系數又稱變異系數，是衡量不同數據集中觀測值變異程度的統計量。當兩個或者多個數據進行比較時，若度量單位與均值相同，可直接利用標準差比較；若度量單位或均值不同時，則不可以用標準差描述其變異程度，此時需采用標準差與均值的比值來比較，定義為離散系數，其計算公式如下：

(22)

圖4　算法流程圖Fig.4　Algorithm flow chart

本文算法具體操作步驟如下：

步驟1.圖像二值化處理。利用自適應閾值分割方法[10]將目標圖像變為二值化圖像。

步驟2.圖像規范化。為了消除目標圖像在各種幾何變換下的影響，采用基于協方差矩陣方法將圖像規范化[8]。

步驟3.特征區域劃分。根據式(19)計算圖像橢圓的扁率，求其扁度，根據圖像橢圓扁度構造同心圓區域。

步驟4.仿射不變量計算。根據式(21)計算圖像各同心圓區域三階以下的仿射不變量。

4　實驗結果與分析

為了驗證本文算法的有效性，現以實際拍攝的3類艦船模型圖像進行驗證。實驗中選取的3種艦船分別為171號052C型防空導彈驅逐艦(艦長156 m，寬17.2 m)、999號071型船塢登陸艦(艦長210 m,寬28 m，桅高35 m)、115號051C導彈驅逐艦(艦長155 m，寬17 m)。本實驗采用Matlab7.0軟件編程實現，操作系統為Windows XP。

實際拍攝過程中，針對每類艦船模型分別設置4種不同距離、4種不同方位角、4種不同俯仰角下共計64張艦船仿射圖像，圖像像素大小統一為640×480。為了節省篇幅，文中僅給出3類艦船的部分圖像，分別如圖5～7所示。

圖5　171艦船及其仿射變換圖像Fig.5　171 ship and its affine transformation images

圖6　999艦船及其仿射變換圖像Fig.6　999 ship and its affine transformation images

圖7　115艦船及其仿射變換圖像Fig.7　115 ship and its affine transformation images

圖8　文獻[3]中仿射不變量Fig.8　Affine invariants proposed by paper [3]

表1　文獻[3]中仿射不變量的計算結果及其統計特征

采用文獻[3]中的算法構造仿射不變量Ii,1≤i≤n-1，選取n=8，R=1.5，對于1≤i≤8，且ci=0.25i，將計算結果擴大1 000倍，圖8(彩圖見期刊電子版)給出了3類艦船的7個仿射不變量，其中紅色實線代表171艦船不變量數值，黑色實線代表999艦船不變量數值，藍色實線代表115艦船不變量數值。表1給出了文獻[3]中3類艦船不變量計算結果的均值及其統計特征。

根據文獻[3]所提算法，由圖8及表1可看出：171、115、999三類艦船目標圖像均由7個仿射不變量組成；3類艦船目標同一仿射不變量的均值相近，差異較小；三者仿射不變量的離散系數均大于0.80%，其對應的最大離散系數分別為3.89%、2.95%和5.30%。

將實際獲取的64張艦船圖像利用自適應閾值分割算法將其二值化，采用基于協方差矩陣的方法對其規范化處理，在此基礎上，依據式(20)計算圖像橢圓扁度，并據此進行特征區域劃分，最后依據式(21)計算各圖像的仿射不變量。

圖8～10(彩圖見期刊電子版)給出了3類艦船各圖像對應的仿射不變量，圖中藍色實線表示仿射不變量I1，圖中黑色實線表示仿射不變量I2，圖中紅色實線表示仿射不變量I3。

表2～表3分別給出了3類艦船圖像對應的仿射不變量及其統計特征。表2～表3中符號說明：Im(n)中m表示式(21)中仿射不變量的下標，n表示扁度sc取值為n時所確定的同心圓區域，即Im(n)表示當sc取n時目標圖像在該同心圓區域內計算所得仿射不變量Im。

圖9　171艦船仿射不變量Fig.9　Affine invariants of 171 ship

圖10　999艦船仿射不變量Fig.10　Affine invariants of 999 ship

圖11　115艦船仿射不變量Fig.11　Affine invariants of 115 ship

表2　171 和115艦船各圖像仿射不變量統計特征

表3　999艦船各圖像仿射不變量統計特征　其中sc=4

依據圖9～圖11以及表2～表3數據，可得出以下結論：對于同一艦船目標圖像而言，即便圖像經過了平移、旋轉、縮放、傾斜等各種仿射變換，同一艦船目標圖像計算所得扁度sc數值相同，即同心圓區域的劃分具有唯一性，驗證了圖像橢圓扁度的不變性；不同艦船圖像計算所得sc數值不盡相同，999號sc=4，171與115號sc=3，此數值可反映艦船目標圖像的圓整程度，而文獻[4]中各艦船目標的不變量數量均為7個，無法體現不同目標圖像間的緊湊程度；當sc取值相同時，不同艦船目標圖像同一仿射不變量存在差異，如171與115的I2(2)均值分別為220.46、213.94；同一艦船目標圖像在不同特征圓區域的同一仿射不變量存在數值差異，可用于表征同一目標圖像在不同同心圓區域的差異；171、115與999三類艦船的最大離散系數分別為1.55%、1.42%、1.33%，說明本文所構造仿射不變量的均值穩定性較好，均值穩定性優于文獻[3]。

5　結　論

本文提出一種基于圖像橢圓扁度劃分策略的仿射不變量構造方法。從理論上證明了圖像橢圓扁率的不變性，給出了圖像橢圓扁度的定義及其物理含義，結合圖像橢圓扁度構造同心圓數目存在唯一性特點，選取三階以下的仿射不變矩作為圖像的特征描述子，通過計算同心圓區域的特征量對目標圖像進行描述。對3類艦船目標圖像的實驗結果顯示：同一艦船目標其圖像橢圓扁度具有唯一性；同一艦船目標圖像在所劃分特征圓區域的仿射不變量具有較好的穩定性，其最大離散系數為1.55%；不同艦船目標所得扁度不盡相同，可用于表征不同艦船目標的圓整程度。下一步研究重點是考慮所構造特征不變量的分布特性。

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季超(1987-)，男，山東濟寧人，博士研究生，2010年于青島科技大學獲得學士學位，2013年于海軍潛艇學院獲得碩士學位，現為海軍潛艇學院載運工具運用工程專業博士研究生，主要從事視覺導航、計算機圖像處理與模式識別等方面的研究。E-mail：jichao200611@163.com

導師簡介:

楊曉東(1963-)，男，山東青島人，教授，博士生導師，1985年于華東師范大學獲得學士學位,2002年于哈爾濱工程大學獲得博士學位，現為海軍潛艇學院航海教研室主任，主要從事潛艇航行安全技術方面的研究。E-mail:yangxdqtxy@163.com

(版權所有未經許可不得轉載)

Invariance of image ellipse oblateness degree and its application to construction of affine invariants

JI Chao*, YANG Xiao-dong, WANG Wei

(NavySubmarineAcademy,Qingdao266199,China)

As the traditional affine invariants based on the invariant of area ratio are characterized by unstable and redundant feature points, error accumulation, this paper proposes a novel method based on the division strategy of image ellipse oblateness degree for construction of affine invariants. The affine transformation model was presented, and the condition of affine approximation was obtained. In combination of the definition of image ellipse oblateness degree and the invariant moment theory, the invariance of image ellipse oblateness under affine transformation was verified. Meanwhile, the definition of image oblateness degree and its physical meaning were given. Then, on the basis of the image ellipse oblateness degree, the affine invariant moments below the 3rd order were selected as the feature descriptors, the image target was described by calculation of the affine invariants of each concentric region. Finally， the proposed method was applied to the actual ship images and its stability was analyzed by discrete coefficients. Experimental results indicate that all kinds of the target images for the same ship under different affine transformations have the same oblateness degree, and the maximum discrete coefficient in the divided feature region is 1.55%.It concludes that the proposed method is unique for the image division and constructed affine invariants have good stability.

image ellipse oblateness degree; affine invariant; image feature; image recognition

2016-05-06；

2016-06-22.

海軍裝備部“十二五”規劃資助項目(No. 435515908)

1004-924X(2016)08-2078-09

TP391.4

A

10.3788/OPE.20162408.2078