淺析高中數(shù)學(xué)解題方法的應(yīng)用

齊勁松

[摘 要]隨著我國的不斷深入，數(shù)學(xué)作為高中課程中重要性也越來越突出。從歷年的高考題來看，數(shù)學(xué)填空題已逐漸成為高中數(shù)學(xué)的基本題型之一。考生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)將數(shù)學(xué)知識(shí)與自身解題能力相結(jié)合，在這個(gè)過程中就需要考生具備更加完整的知識(shí)系統(tǒng)，同時(shí)具備構(gòu)架知識(shí)體系運(yùn)用知識(shí)體系的能力。本文著重介紹數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用與掌握來探析數(shù)學(xué)解題的策略。以下的實(shí)例中涉及到的解題方法大致有數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)與方程法、分類討論法、參數(shù)法、待定系數(shù)法和配方法等。希望能夠?qū)W(xué)生的解題技巧與數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)有一定的啟發(fā)意義。

[關(guān)鍵詞]教育體制；高中數(shù)學(xué)；知識(shí)體系

隨著我國教育體制改革的不斷深入，數(shù)學(xué)作為高中課程中重要組成部分越來越受到重視。從歷年來的高考題來看，數(shù)學(xué)更注重對(duì)數(shù)學(xué)思想與技巧的考察，這在填空題中特別明顯。著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過這樣一句話，對(duì)于數(shù)學(xué)的掌握就是要學(xué)會(huì)解題。我們?cè)趯?duì)數(shù)學(xué)題目的解答過程中常常會(huì)被固定思維所限制，總想著用比較熟悉的題型來解答。而對(duì)題目中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法和思想無法得到比較深透的理解和運(yùn)用。如果說知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)的話，那方法就是手段，而思想就是深化。學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心。

一、換元法

用某個(gè)變量來替換數(shù)學(xué)中的某個(gè)式子，從而簡(jiǎn)化問題的方法就叫做換元法。換元法的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，等量的代換是其理論依據(jù)，設(shè)置元與構(gòu)造元?jiǎng)t是其關(guān)鍵。換元法的最終目的是將新的研究對(duì)象轉(zhuǎn)移到另一個(gè)只是環(huán)境中進(jìn)行研究和討論，從而簡(jiǎn)化問題，使問題得到有效的處理。

例1，已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的取值范圍是 。

分析：如果本題采用配方法或者是直接求解的話，題目的難度就會(huì)比較大，所以我們運(yùn)用換元法求解。

解：且設(shè)，則有Δ=4k2-4≥0所以k≥1或k≤-1.本題的難度就大大簡(jiǎn)化了。

靈活運(yùn)用換元法是數(shù)學(xué)素質(zhì)培養(yǎng)的一個(gè)重要方面。換元的主要方法有：三角換元、局部換元、均值換元等。引進(jìn)新變量并把題目中的隱含條件顯現(xiàn)出來，從而讓條件與結(jié)論能夠有效的聯(lián)系，就是換元法的意義所在。換元法具體的內(nèi)容有變無理式為有理式、化高次為低次、化分式為整式等。同時(shí)換元法在方程、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中都有著比較廣泛的應(yīng)用。

二、配方法

運(yùn)用配方法找到未知和已知之間的聯(lián)系，是一種對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)式子進(jìn)行定向變形的技巧，熟練并合理的運(yùn)用配與湊、添項(xiàng)與裂項(xiàng)的技巧，完成對(duì)式子的配方從而將數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)易化。在二次函數(shù)、二次方程、二次代數(shù)式和二次方程中經(jīng)常出現(xiàn)配方法的運(yùn)用，恒等變形就是其中較為常見的方法之一。完全平方式是最為基本的配方依據(jù)，靈活運(yùn)用此公式可以延伸出多種配方形式例如。

相應(yīng)的結(jié)合其他的數(shù)學(xué)性質(zhì)與知識(shí)背景可以衍生出一些其他的配方形式，例如x2+1x2=（x+1x）2-2=（x-1x）2+2 ……1+sin2α=1+2sinαcosα=（sinα+cosα）2；

例2，現(xiàn)有一長(zhǎng)方體十二條棱長(zhǎng)綜合為24.且長(zhǎng)方體的全面積為11，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度為 。

分析已知條件可知，設(shè)置長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x、y、z，則有2（xy+yz+xz）=114（x+y+z）=24，而長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度公式為x2+y2+z2，根據(jù)已知條件可以得出，2（xy+yz+xz）=114（x+y+z）=24，我們可以用配湊法將題中已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到x2+y2+z2=（x+y+z）2-2（xy+yz+xz）=62-11=5.將題目中的兩個(gè)已知的條件轉(zhuǎn)化為某個(gè)未知的數(shù)學(xué)表達(dá)式是本題的關(guān)鍵所在。通過分析和觀察可以比較容易的找到三個(gè)數(shù)學(xué)式子之間的聯(lián)系，這就通過配方法將已知和未知進(jìn)行了聯(lián)系，這也是在配方法方面比較常用的一種模式。

三、數(shù)學(xué)歸納法

作為遞推論證的一種常見方式，數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有著比較重要的地位。它是用來論證自然數(shù)相關(guān)的一些數(shù)學(xué)命題的重要方法。遞推論證的主要模式是，首先證明命題在n=1（或n0）時(shí)成立，接著我們就可以假設(shè)在n=k的條件下命題也是成立的，然后進(jìn)一步證明當(dāng)n=k+1的條件下，命題也是成立的。它是從無限與有限之間進(jìn)行銜接的一種重要手段，這每一步都是非常有必要的，通過這兩個(gè)論證可以進(jìn)一步推到對(duì)于所有的自然數(shù)命題都是成立的。

例3，已知34n+2+52n+1（n∈N）能被14整除，當(dāng)n=k+1時(shí)對(duì)于式子34（k+1）+2+52（k+1）+1應(yīng)變形為 。

解 （34k+2+52k+1）34+52k+1（52-34），該例題主要考察對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的直接應(yīng)用，無解析。

數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵在于n=k+1時(shí)命題成立的推證。作為這一步的證明比較關(guān)鍵的是要具有一定的目標(biāo)意識(shí)，通過對(duì)目標(biāo)與最終目的進(jìn)行分析找出其中的聯(lián)系。這也是確定和控制解題的方向的關(guān)鍵。例題是對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的直接應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法同時(shí)還涉及到對(duì)幾何問題、代數(shù)不等式、三角不等式、整除性問題等。

四、待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是根據(jù)題中所列出的已知條件來確定某些未知系數(shù)，通過確定變量間的函數(shù)關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的。多項(xiàng)式f（x）≡g（x）的必要條件是相對(duì)于任意一個(gè)a值都存在f（a）≡g（a），待定系數(shù)法的有一個(gè)比較重要的理論基礎(chǔ)就是多項(xiàng)恒等式，解答待定系數(shù)法題目的基本思路是，首先找出含有待定系數(shù)法的解析式問題，其次是在恒等條件下作出一組含有待定系數(shù)的方程式，最后是運(yùn)用消去待定系數(shù)的方法或者解方程組的方式來解答問題。 例4，對(duì)式子（1-x3）（1+x）10進(jìn)行展開，則x5的系數(shù)是 。

對(duì)該例題進(jìn)行分析：系數(shù)C510與（-1）C210組成x5，相加后的x5的系數(shù)解 x5的系數(shù)為C510+（-1）C210=207。

五、參數(shù)法

適當(dāng)?shù)囊肱c研究目標(biāo)相聯(lián)系的參數(shù)，并以參數(shù)為中間橋梁來對(duì)問題進(jìn)行綜合分析從而進(jìn)一步簡(jiǎn)化解題過程就叫做參數(shù)法。參數(shù)法的典型實(shí)例就是換元法，同時(shí)常用的問題中是參數(shù)方程與參數(shù)法解題。

例5，已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=1，則a2+b2+c2的最小值是。

分析 由a+b+c=1想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，代入a2+b2+c2可求。

解由a+b+c=1，設(shè)a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，其中t1+t2+t3=0。

a2+b2+c2=（13+t1）2+（13+t2）2+（13+t3）2=13+23（t1+t2+t3）+t21+t22+t23=13+t21+t22+t23≥13，

所以a2+b2+c2的最小值是13.本題的關(guān)鍵是利用均值換元的方式引入?yún)?shù)，將原本負(fù)責(zé)的代數(shù)式問題簡(jiǎn)化，從而高效的解答本題。

六、定義法

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的基礎(chǔ)知識(shí)都比較少，基本上都是一些公式、定理與性質(zhì)等，利用這些基本的定義來解題就是定義法。通過對(duì)定義內(nèi)涵的深刻理解利用公式所蘊(yùn)含的邏輯方法，在一些題目的解答中能得到事半功倍的效果。

例6，現(xiàn)橢圓上有一點(diǎn)p滿足如下條件，x225+y29=1，且該點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離是2.5，則該點(diǎn)到左焦距的距離是多少

分析本題的解答可以從橢圓的第二定義著手，即平面上到定點(diǎn)距離和到定直線距離之比是常數(shù)點(diǎn)的集合。

解利用橢圓的第二定義得到|PF左|52=e=45即PF左=2，PF右=2a-PF左=10-2=8.

熟練運(yùn)用定義法解題是學(xué)生基本數(shù)學(xué)素質(zhì)的體現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

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