分類討論思想在高中數學解題中的應用

陳惠+++崔曉麗

【摘要】分類討論能夠更好地區分同類知識點，避免混淆相似的知識點，有利于學生把握數學知識，培養學生的學習能力，并做好知識的遷移。結合目前高考的題型，若能夠做好分類討論，在高考中就可以獲得一定的機會。教師在數學教學中應重視對分類討論思想的運用，幫助學生有效掌握學習數學的有效方式，促進學生數學能力的提高。對此，本文結合具體的數學題目，就分類討論在高中數學中的應用問題進行簡要的剖析。本文作者結合多年來的工作經驗，對分類討論思想在高中數學解題中的應用進行了研究，具有重要的參考意義。

【關鍵詞】高中數學 分類討論思想

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）20-0143-01

一、全面討論，層次分類

分類討論運用于數學教學中，最為重要的一點就是要能夠根據題目提供的數據和條件來確定要討論的參數，并據此進行合理的分類，做到不重復且沒有遺漏，討論時層次應清晰明確，做到不越級討論。教師在灌輸分類討論思想的時候，應將這些要素一一交代清楚，這樣解題時才能夠全面而且充分，沒有遺漏。很多學生解題時出現差錯原因就在于沒有按層次分類并全面地討論。

例題1 存在函數y=x2—2x，x∈[-2，a]，求函數的最小值。

解析：在二次函數的解題中經常會使用到分類討論，如例題1所示的題目，也是較為常見的二次函數求最值題。在解答這一問題時，學生根據所學知識，首先會想到該函數的對稱軸為直線x=1，但是x=1是不是在區間[-2，a]之內，就需要進行分類討論。在討論過程中，據題目提供的條件，需要明確討論的對象參數并進行合理的分類討論，從分類討論的過程可以發現，分類討論需要做到全面且有層次，不能重復也不能有所遺漏，任何一項失誤都會導致最后的結果錯誤。在分類中，還需要統一標準，有層次、分階段地討論，不能盲目隨意地分類討論，否則也容易出差錯。也就是說，在進行分類的時候，應根據題目條件和問題的性質，盡可能少地、精準地分類，在不重復不缺漏的情況下，有了層次分明的分類后，自然能夠正確地解答問題。

二、掌握定理，正確分類

在高中數學中有很多公式定理其實都與分類討論相關，這是因為在公式以及定理中本身就存在嚴格的限制條件，故而根據定理或公式進行解題的時候就需要依據這些定理的限制條件進行相關的分類討論，以避開討論結果不嚴謹的情況。不少學生不能爭取讓運用分類討論的思想解題，很大一部分原因也在于對定理、公式的掌握不透徹，解題時沒能充分考慮到所使用的定理和公式的限制條件。根據定理、公式運用的分類討論，在等比數列的求和公式、絕對值的定義以及二次函數的定義等方面十分常見，教師教學時要注意引導學生透徹掌握定理、公式。

例題2 存在二次函數y=（a-1）xb+1+x2+1，試求a和b的取值范圍。

解析：解這道題時主要是根據二次函數的性質定理來進行相應的分類討論，因為y=（a-1）xb+1+x2+1是二次函數，那么x的指數明顯不能超過2，據此（b+1）的值就可以分成三種情況：（b+1）=1或（b+1）=0或（b+1）=2，根據這三種情況討論b的取值范圍，對a的取值范圍的討論也根據二次函數的定義及性質理論進行同樣的分類討論。又如，在求等比數列前n項和的題目中，主要依據的也是等比數列的求和公式，就需要分q=1和q≠1兩種情況進行討論了。這些都是根據定理或公式展開的分類討論，可見在數學教學或解題中使用分類討論的思想，主要定理與公式是必須掌握的。這一類型的分類就是數學概念上的知識運用，利用概念進行解題的時候，分類是十分重要的。此外，有一些數學定理和公式在定義的時候所要求的范圍已經有了限制，對于這種前提也需要使用分類討論的思想，這點教師在教學中需要注意。

三、準確理解，確定分類

結合近年來的高考題目不難發現，分類討論思想愈發成為重點考查的知識點，尤其是往后的大題中，使用分類討論解題更加普遍。其中，那些需要根據不同的參數來確定分類標準的題目，其確定的過程更直接決定著整道題目能否正確解開，這就要求教師在教學中應引導學生把握好分類討論，正確認識分類標準并能做出合理的分類，以應對考試中的各種變化。

例題3實數k為何值時，方程kx2 +2|x|+k=0有實數解？

對于數學題目何時需要分類討論，則要根據題中所給條件而定，并沒有硬性的規定，更沒有直接可以套用的公式和規律。我們只有在教學時不斷積累經驗，不斷改進方法，才能使學生正確合理地應用分類討論。在解題時，應注意挖掘題目中的極個別情形進行分類討論。例如：“方程ax2 +bx+c=0有實數解”轉化為Δ= b2 -4ac時忽略了個別情形：當a=0時，方程雖然有解但不能轉化為Δ ≥ 0；又如：設直線方程時，不能直接設直線的斜率為k，當直線與x軸垂直時，直線無斜率，應另行考慮，這樣直線方程要分有斜率和沒有斜率兩類情形討論；再如：等比數列{an}的前n項和公式也是分為q=1和q≠1兩類情形給出的，等等類似問題都需要分類考慮。

四、合作學習，深化討論

分類討論在高中數學中的運用是多方面的，其學習的組織形式上也可以是多種多樣的，小組合作的形式是經過證明后比較有效地一種學習方式。同樣的，將小組合作學習的形式與分類討論的教學相結合，指導學生通過分類討論相關知識，可以促使學生互相交換不同的學習意見，既能夠及時解決學生在學習當中的困惑，也可以在討論中獲得一個比較明確的答案。

在分類討論的教學中，小組合作的活動形式可以是多樣的，如教師可以讓學生將新舊知識結合起來進行分類討論，像方程、不等式等就可以進行分類討論；也可以將同類的高考題目或者月考題型集中起來進行分類討論；還可以就數學概念之間的相似與不同進行分類討論與歸類，加深對數學概念的印象等。可以說，分類討并不只是運用在具體的某一類題型的解答中，而是可以滲透在數學的方方面面，它可以是抽象的，也可以是具象的。同時，小組的合作學習能夠打破個體學習的局限性，增強學生學習的趣味性，提高學生的學習自信心，引導學生將來主動地分類、思考。

綜上所述，分類討論思想在高中數學中的運用相當廣泛，它不僅可以幫助學生理清思路、快速解題，提高解題的正確率，同時還能夠有效鍛煉學生的解題思維，對學生數學學習中的嚴密性和靈活性之訓練也有幫助。從高考來看，很多問題也是離不開分類討論思想的。因此，在教學中，教師要結合自己的教學經驗，總結出更多更有效的方法，幫助學生充分使用分類討論思想來解題。

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