小物和小理的物理對話錄(35)
——光的衍射條紋

◇　北京　劉　銘　蔣煒波　孟衛東(特級教師)

(作者單位：清華大學附屬中學)

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小物和小理的物理對話錄(35)

——光的衍射條紋

◇北京劉銘蔣煒波孟衛東(特級教師)

前言:小物和小理是2名普通的高中生,他們酷愛物理,在學習高中物理的過程中,小物經常向小理提出許多刁鉆而有趣的物理問題,了解他們的故事也能讓你的物理達到新的高度．

1　對話錄

小物:通過之前折射率的推導,我才發現惠更斯原理居然這么好用,而且還能夠用惠更斯原理直接推導解釋反射定律以及全反射現象,太神奇了!

小理:是的,雖然惠更斯原理沒辦法解釋光的本質,但是它從波動角度出發,還是比較好地解釋了折射和反射現象,它還能夠定性地解釋衍射現象．

小物:的確是,只要想到最前沿的振動質點是一個新的波源,那么波源產生的波將向各個方向傳播,就能夠解釋為什么波能夠繞到障礙物后面繼續傳播了,但是好像沒辦法解釋障礙物尺寸和衍射明顯程度的關系．

小理:是的,所以說是定性解釋,說明惠更斯原理還是不夠完美．

小物:說起來,我們剛剛學過波的干涉現象,還得到了干涉條紋的分布規律,而同時書上又說波通過狹縫的時候能夠看到衍射現象,也給出了衍射條紋分布圖,但是并沒有給出具體的條紋分布規律,如果咱們可以弄清衍射條紋的分布規律,就能夠補充惠更斯原理了呀!

小理:說得容易,衍射條紋也有亮條紋和暗條紋,怎么確定亮暗條紋的位置呢?你有想法嗎?

小物:我這不是找你討論來了嘛,我也暫時沒想法,但老師不是說只要多加思考肯定能找到辦法.

小理:我想想看…….

2　小理的思考

衍射現象也出現了亮條紋和暗條紋,根據干涉條紋的規律,亮暗條紋是由于不同相位的波在某處疊加造成的,而相位關系是由波程差決定的．那么我們能不能假設衍射現象中的亮暗條紋也是由于波的疊加造成的呢?如果假設成立的話就能夠通過波程差來尋找衍射條紋的位置了!

2.1光的雙縫干涉條紋

如圖1所示，激光垂直照射到雙縫S1、S2上,雙縫S1、S2相當于2個新的光源,而且相位相同(即振動同步),且2個光源發出的光各自傳播到屏幕上的P1點,各自走過的路程(即光程)為r1和r2,如果想要光屏上P1處出現亮條紋,根據波的疊加原理要求光程差r2-r1必須為半波長的偶數倍(或者波長的整數倍),即Δx=r2-r1=nλ.

圖1

取P1M=P1S1=r1,因為屏幕到雙縫的距離L很大,遠遠大于雙縫的間距d,即r1和r2均遠大于d,因此可以近似認為S1M⊥P1M,這樣光程差為

Δx=r2-r1=S2M=dsinθ=nλ.

與此同時,光屏上P1點到光屏中心P的距離x=Ltanθ. 在角度很小的時候,可以近似認為

sinθ=tanθ,于是

于是我們得到干涉亮條紋在屏幕上的位置

據此我們發現雙縫干涉的亮條紋間距相同,所以我們說干涉條紋是等間距均勻分布的,當然這也僅僅限于屏幕中心部分,因為只有屏幕中心部分才滿足角度很小，使得sinθ=tanθ成立．

2.2光的單縫衍射條紋

根據干涉條紋的形成過程我們可以發現,只要出現亮暗條紋分布,則一定是出現了波的疊加,使得在空間中出現了疊加加強和疊加減弱的區域.在這樣的認知前提下,我們也可以認為衍射亮暗條紋的出現也是由于光波的疊加導致的.

圖2

為了方便推導,我們借助干涉現象來解釋衍射現象,如圖2所示，我們將單縫分成上下2部分S1和S2,上下2部分的光線一一對應,比如上部分的最上方光線和下部分的最上方光線對應,以此類推．因為實驗得到的衍射條紋并不是等間距分布,而且屏幕中心位置P一定是衍射亮條紋,因此我們在這里首先尋找中心亮條紋的邊界,即第1級暗條紋的位置P1．

暗條紋在這里的含義是單縫上下2部分所有的對應光線在P1處都是干涉相消,導致屏幕上接收不到光線產生暗紋.我們先研究S1和S2最上方對應光線干涉相消的條件,取P1M=P1S1=r1,因為屏幕和單縫的距離L很大,遠遠大于單縫的寬度d,即r1和r2均遠大于d,因此可以近似地認為S1M⊥P1M,2條光線的光程差為

為了使得2條光線干涉相消,必須滿足光程差為半波長的奇數倍.我們計算第1級暗條紋的位置,因此時光程差為半波長的1倍,于是得到

在衍射現象中,明顯衍射的條件之一是障礙物的尺寸和波的波長能夠相比,這樣使得上述結果對應的θ角不像雙縫干涉中的那么小,因此一般不再認為sinθ=tanθ,因此暗紋P1的位置不再使用距離P1P來標定,而是使用θ角直接標定．與此同時也可以看到，當障礙物的尺寸等于波長的時候,即d=λ時,θ=90°,衍射條紋將分布在整個光屏上,當然最主要的光仍然分布在正中央,其他地方的光非常弱以至于不可見．

同樣的方法,我們可以繼續標定第2級暗紋的位置．我們很容易想到當上述光程差為半波長的3倍的時候,在屏幕上也會得到暗紋,即

這的確是一條暗紋的位置,但這并不是第2級暗紋的位置,因為在這條暗紋和第1級暗紋中間還有1條暗紋．我們換個角度考慮,繼續使用上述方法,我們將單縫的上下2半部分各自再分成2部分,即將單縫分成4部分,如圖3所示.

圖3

相比之下P2更加靠近第1級暗條紋,因此這是衍射的第2級暗條紋,而之前的那一條紋為第3級暗條紋．因此衍射暗條紋的分布為

n為暗條紋的級數．這樣我們就得到了單縫衍射的條紋分布規律,可見衍射條紋確實不是等間距的,這一點和干涉條紋區別很大．

除了條紋分布之外,不同條紋的亮暗程度也是不一樣的,干涉亮條紋的亮度幾乎相同(在屏幕中央附近的干涉加強亮條紋),而衍射亮條紋中中間亮條紋最亮,其他亮條紋則相對暗了很多,因此在測量光的波長的實驗中我們采用了干涉現象,而非衍射現象．

故事到了最后,小物又給小理提出了一個問題:衍射光柵的條紋分布原理和干涉條紋的分布原理一樣嗎?是否也能夠用上述方法解釋呢?

(作者單位：清華大學附屬中學)