探究電容器充放電過程中的能量損失問題

◇　山東　王光儒(特級教師)

(作者單位：山東省泰安第二中學)

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探究電容器充放電過程中的能量損失問題

◇山東王光儒(特級教師)

在輔導學生備考全國中學生物理競賽時,很多同學對于電容器充放電過程中的能量損失問題存有疑惑,本文通過幾道競賽題幫助同學們理清這一問題．

充電過程中,損失的電能為ΔW=A-W.

A為充電過程中電源所做的功．在第1種充電方式中,損失的電能

在第2種充電方式中,用1個電池充電時,搬運的電荷量和電源做的功分別為

Q1=CE,A1=Q1E=CE2.

用2個串聯電池,3個串聯電池……N個串聯電池繼續充電過程中,搬運的電荷量和電源做的功分別為

Q2=C(2E)-CE=CE,A2=Q2(2E)=2CE2,

Q3=C(3E)-C(2E)=CE,A3=Q3(3E)=3CE2,

……

QN=C(NE)-C(N-1)E=CE,AN=QN(NE)=NCE2.

電池組做的總功

AⅡ=A1+A2+A3+…+AN=

在第2種充電方式中,損失的能量

ΔWⅡ=AⅡ-WⅡ=

可見 ΔWⅠ>ΔWⅡ.

圖1

①

②

由此可知電源充電電能為

③

用WR表示電阻上消耗的電能,由能量守恒可知，在抽走金屬板的過程中所做的功A和電容器釋放的能量,轉化為電源的充電電能和電阻R上消耗的電能,即

A+ΔW1=ΔW2+WR,

所以WR=A+ΔW1-ΔW2.

④

為了便于分析,我們再畫圖2-乙和丙．圖2-乙中S接到1,圖丙中S接到2．可以看出,2圖中C0上的帶電荷量相等,但是正、負極相反,而且,2圖中電容為C的2個電容器中每一個電容器上的電荷量都有變化．這說明,在開關S由觸點1換接到觸點2的過程中,電源中有可能流過電荷,如果是這樣,電源做功．電源做了功,3個電容器中的總貯能卻不變,那么由能量守恒可知電源所做的功全部被電路以熱的形式放出．

圖2

①

在圖2-乙中,外電路總電容為

直接得到

②

再利用2個電容為C的電容器電壓之和為E得

求得

③

因此,開關S由1換到2,電源給電容器充的電荷量為

④

電路放出的熱量為

⑤

圖3

(1) 當S第n次接通Ob并達到平衡后,每個電容器兩端的電壓各是多少?

(2) 當反復換向的次數無限增多時,在所有電阻上消耗的總電能是多少?

下面來求第n次接通Oa后CⅠ上的電荷量．我們用Q1、Q2…依次表示每次接通Oa時,電池在該次對CⅠ充電增加的電荷量,因為充電時CⅠ和CⅡ串聯,根據電荷守恒,每次充電時給CⅡ增加的電荷量也應是Q1、Q2…，Oa接通n次后,CⅠ上的電荷量應為QⅠ=Q1+Q2+…+Qn.

所以CⅠ和CⅡ上的電壓應為

由電壓關系知UⅠ+UⅡ=E, 結合上式可得

同理,對n+1次接通Oa后,由CⅠ與CⅡ電壓之和為E可得

Q1+Q2+…+Qn+1+

這就是說,后一次接通Oa時,CⅠ上充電增加的電荷量與前一次之比總是一個常數1/4,可見,每次充電,CⅠ上增加的電荷量是按等比數列增長的．上式對n=1,2,…任何正整數都成立．

所以3個電容器上的電壓分別為

根據能量守恒,可得電阻上消耗的電能為

綜上所述,處理電容器充放電中的能量損失問題首先從電源入手,分析電源對電容器的充放電情況,求出各電容器的電荷量變化,特別要注意電容器的電性是否變化,最后由能量守恒求出損失的能量．如果不考慮以電磁波的形式發射出去的部分,損失的能量通過導線和電源內阻轉化為焦耳熱．

(作者單位：山東省泰安第二中學)