探究“雙變量”不等式與函數“單調性”的聯系

◇　湖北　劉　麗

(作者單位：湖北隨州一中)

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探究“雙變量”不等式與函數“單調性”的聯系

◇湖北劉麗

以函數為載體,設置的“雙變量”不等式恒成立問題,往往與函數的“單調性”具有某種緊密的聯系.那么如何尋找這種聯系,并加以靈活運用呢?請看以下歸類解析.

1　“雙變量”分式不等式

又由h′(x)=-3x2+12=-3(x+2)(x-2)可知， 函數h(x)的單調遞增區間為(-2,2). 所以

(2m,m+1)?(-2,2),

2　“雙變量”絕對值不等式

f(x2)-h(x2)

(答案：[3/2,+∞))

3　含參“雙變量”不等式的證明

綜上可知,求證結論成立.

變式3已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,求證:當a≤-2時,對任意x1、x2∈(0,+∞),不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|恒成立.(證明略)

4　隱含的“雙變量”不等式

綜上,處理此類問題的關鍵是:先對“雙變量”不等式適當變形,以便從不等式的結構特點出發,觀察、確定相關函數的“單調性”;然后再借助導數知識和函數性質加以靈活處理.

(作者單位：湖北隨州一中)