淺談高中數學不等式的恒成立問題

◇　山東　余尚創

(作者單位：山東省淄博市高青縣第一中學)

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淺談高中數學不等式的恒成立問題

◇山東余尚創

不等式恒成立問題是高考命題的熱點之一,它涉及的知識面廣、解法靈活多樣，是學生學習中的難點.下面給出解答此類問題的幾種常用方法并舉例分析．

1　函數性質法

利用函數性質解不等式恒成立問題,首先要了解函數具有哪些性質,要靈活掌握函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等知識,其中最常用的是函數的單調性．以下根據不同函數類型的單調性,對不等式恒成立問題進行求解．

1.1一次函數型

對于一次函數f(x)=kx+b(k≠0),若f(x)在[m,n]內恒有f(x)>0,則根據函數圖象或一次函數的單調性:當k>0時,f(x) 在[m,n]內為增函數,當k<0時,f(x) 在[m,n]內為減函數,可得

分析在不等式中出現了2個字母x和a,首先應該在2個字母中確定一個字母為變量,另一個字母為常數．若將a視作自變量,則不等式x2+ax+1>a+2x恒成立即可轉化為在[-2,2]內關于a的一次函數大于0恒成立的問題．

x∈(-∞,-1)∪(3,+∞).

1.2二次函數型

對于二次函數恒成立的問題,又分為:

1) 對于二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)，若f(x)>0恒成立,則有a>0且Δ<0.

2) 在指定區間內,二次函數恒成立的問題,可以利用根與系數的關系或根的分布來求解．

分析題目中要證明f(x)≥a恒成立,將a移到不等號的左邊,把原問題轉變成求二次函數在區間[-1,+∞)內恒大于0．

解設F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.

當Δ=4(a-1)(a+2)<0,即-2

當Δ=4(a-1)(a+2)≥0時，由圖1可得

圖1

即

解得-3≤a≤-2.

綜上可得,a的取值范圍為[-3,1)．

2　分離參數法

針對含有2個變量的等式(或不等式)的恒成立問題,若其中一個變量的范圍已知,另一個變量為所求.可以利用分離參數法,把等式(或不等式)的2個變量通過恒等變形分別置于等號(或不等號)的兩邊,通過求最值的方法來解這類恒成立問題．

分析在不等式中含有2個變量a及x,其中x的范圍已知(x∈R),求a的取值范圍.所以可以考慮把不等式進行變形，將a、x分別置于不等式兩邊,進行變量分離．

解原不等式可化為4sinx+cos2x<-a+5,所以本題就轉化成求-a+5>(4sinx+cos2x)max,求f(x)=4sinx+cos2x的最大值即可．

因為f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3,所以-a+5>3即a<2.

3　數形結合法

針對較容易畫出圖象的函數,我們可以采取數形結合法來進行解答．

圖2

分析若將不等號兩邊分別設成2個函數,則左邊為二次函數,圖象是拋物線,右邊為常見的對數函數,故可以通過圖象求解．

圖3

解設f(x)=(x-1)2,g(x)=logax,則f(x)的圖象如圖3所示的拋物線,要使對?x∈(1,2),f(x)1,并且只需當x=2時g(x)的函數值大于或等于f(x)的函數值．所以loga2≥1,而a>1, 故1

4　最值法

對于比較容易求出最值的函數,解答這類函數恒成立問題時,可把最值求出來,若函數帶有參數,進一步求參數的范圍即可．

當-a

所以函數的單調遞增區間為(-∞,-a),(a/3,+∞).單調遞減區間為(-a, a/3).

當a∈[3,6],a/3∈[1,2],-a≤-3. 又因為x∈[-2,2], 所以fmax(x)=max{f(-2), f(2)},而f(-2)=-8+4a+2a2+m,f(2)=8+4a-2a2+m.由f(-2)-f(2)=-16+4a2>0,得fmax(x)=f(-2)=-8+4a+2a2+m．要使不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,只需fmax(x)=f(-2)=-8+4a+2a2+m≤1,即m≤9-4a-2a2在a∈[3,6] 上恒成立．g(a)=9-4a-2a2在a∈[3,6]的最小值為-87,所以m≤-87.

不等式的恒成立問題涉及的知識點比較廣,類型比較多,解題方法也很靈活,此類問題經常與參數的取值范圍聯系在一起,并結合函數的單調性、極值、最值等性質來解答,這就需要同學們靈活掌握恒成立問題各種類型的解答方法,解答時注意結合相關函數的性質,找到題目考察的知識點,進而從容應對考題．

(作者單位：山東省淄博市高青縣第一中學)