2015年高考北京理科數學第19題的探究與反思

◇　廣東　陳國毫

(作者單位：廣東省佛山市南海區西樵高級中學)

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2015年高考北京理科數學第19題的探究與反思

◇廣東陳國毫

以問題為載體、知識為基礎、思維為主線、能力為目標,全面考查學生的學習潛能和數學素養,是當前高考命題的一個重要方向.在每年全國各地的高考中,圓錐曲線必有1道大題,其中往往綜合考查等價轉化、數形結合、分類討論、函數與方程等數學思想,以及定義法、配方法、待定系數法、參數法等數學通法.試題體現能力立意、強調思維空間,對學生的數學素養要求較高.很多學生往往做了第(1)問,后面的問題或因文字多、符號繁、探索味道濃、運算量大、思路不清晰而望塵莫及.因此對圓錐曲線的研究,特別是在高三復習課上對圓錐曲線綜合題的解決,應當選擇合適有效的處理方式.以下筆者結合2015年高考北京理科數學第19題,談談自己的一些想法.

1　原題展示

(1) 求橢圓C的方程,并求點M的坐標(用m、n表示);

(2) 設O為原點,點B與A關于x軸對稱,直線PB交x軸于點N.問:y軸上是否存在點Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點Q的坐標;若不存在,說明理由.

2　解法剖析

第(2)問實則考查對幾何性質的探究.圖形中點對稱、直線與x軸的交點、所研究的角的位置,這些直觀的幾何特征是處理問題的關鍵.采用坐標法,顯化M、N、Q的坐標形式,分別為

利用tan∠OQM=tan∠ONQ,確定坐標中涉及的變量之間的關系

3　背景探源

本題改編自人教版《選修4-4》第34頁習題2.2第2題.

從核心方法上分析,都注重運用代數的方法量化幾何關系.

從形式上看,二者高度相同:都以焦點在x軸的橢圓(盡管例2沒有指明a>b>0這個條件,但是通過分析這個條件是隱含的)為載體,點關于x軸對稱(例2短軸的端點顯然對稱),過對稱點的直線與x軸有交點;涉及的求解對象都與x軸有關.區別在于例1研究的是角度的恒等問題,例2研究的是線段長度的定值問題.

類似的以此題為背景的,還有如下題目:

圖1

(1) 求橢圓的標準方程.

(2) 探究:|OP|·|OQ|是否為常數.

圖2

(1) 求橢圓E的方程.

(2) 設橢圓E的上、下頂點分別為A1、A2,P是橢圓上異于A1、A2的任一點,直線PA1、PA2分別交x軸于點N、M,若直線OT與過點M、N的圓G相切,切點為T. 求證：線段OT的長為定值,并求該定值.

圖3

(1) 求橢圓C的方程.

(3) 設點P是橢圓C異于M、N的任一點,且直線MP、NP分別交x軸于點R、S,O為坐標原點,求證:|OR|·|OS|為定值.

例4中2個頂點A、A1關于x軸對稱,由切割線定理得OT2=OM·ON,問題轉化為線段長度的定值問題;而例5中,由橢圓與圓的對稱性可知,點M、N關于x軸對稱,問題也是求線段長度的定值問題.

4　一般結論

對以上3個類似題進行對比,不難發現,2個對稱點是橢圓上任意給定的,點P亦然,并異于2個對稱點.而結論涉及的線段長度的乘積恒為定值.而例1第(2)問,其實是源于這個一般性結論的推論.

|OP|·|OQ|=a2.

同理可得直線A1B:

陳友益(2018)研究了影響供應鏈金融發展的因素。在整個鏈中上下游、多級企業存在一些操作、法律、市場等的風險。會影響其發展。

則|OP|·|OQ|=|xP·xQ|=a2.

|OP|·|OQ|=b2.

|OP|·|OQ|=b2.

|OP|·|OQ|=a2.

圖4

證明結合圖4可知,

5　拓展

類比橢圓,可以將上述的結論推廣至雙曲線.限于篇幅,這里不一一列舉,有興趣的讀者可以類比上述的方法進行求證,或者用幾何畫板進行驗證.

下面探討拋物線在滿足上述條件的情況下,會有什么性質.

性質2設拋物線y2=2px(p>0)上2個點A與A1關于x軸對稱,B是拋物線上異于A與A1的任一點,直線AB、A1B與x軸分別交于點M、N,則有|OM|=|ON|.

推論3設拋物線y2=2px(p>0)上2個點A與A1關于x軸對稱,其準線l與x軸的交點為N,連接NA交拋物線于點B,則A1B必過焦點F.

推論4設拋物線y2=2px(p>0)的準線l與x軸的交點為N,F為拋物線的焦點,A是拋物線上任一點,直線NA交拋物線于點B,直線BF交拋物線于點A1，則直線NA與NA1關于x軸對稱.

6　反思

1) 通性通法齊把握.

所謂通性通法是指解決具有相同性質數學問題所用的通用方法,通性通法是數學思想和數學方法在解決問題中的集中體現.就現階段而言,中學生應該掌握的最基本的通性通法應是具有某些規律性和普遍意義的常規解題模式和常用的思想方法.解析幾何的基本思想是用代數的眼光來看待平面幾何問題.用代數的方法研究圓錐曲線的性質,實質上是將對復雜的幾何關系的考查轉化為對曲線方程特點的考查,因為代數方法可以程序化地進行運算、操作,可以使研究過程更有規律可循.

2) 對比變式相結合.

所謂變式是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化,如：不斷地變更命題中的非本質特征;變換問題中的條件或結論;轉換問題的內容和形式;配置實際應用的各種環境,使數學內容的非本質特征時隱時現，而本質特征保持不變.就高三復習階段而言,教師在評講、處理練習時,應給學生滲透的思想不應止步于最終答案的獲得.問題得到了答案,并非意味著解題過程的完成,對待解決問題態度,除了透徹理解自己的思路、解法外,還應該考慮能否用不同的方式去解決問題.當問題的解答冗長而復雜時,自然會揣測是否存在著某種更清楚且少迂回的解法,即使成功地找出一個令人滿意的解法,也不必有大功告成的感覺,而應該考慮是否還有其他做法,然后對不同解法加以比較,看看哪個最本質，哪個最簡單，哪個最完美.同時,教師應以試題研究為陣地,充分利用題目之間的相似性進行比較,就其共同點概括問題的本質,將問題進行變式推廣,教學生如何去分類處理、研究反思,完善學生的認知結構,增強數學知識結構的系統性.只要弄清問題本質上的共性,就會應用解答的同一模式去處理類似的問題.

總之,數學教學的本質是學生在教師的引導下能動地構建數學認知結構,使自己得到全面發展的過程.而其中最重要的是讓學生把握問題處理的通性通法,明白數學知識的遷移是豐富多彩的，題目之間的聯系是非常緊密的.數學的學習不是埋于題海、盲目追求數量,而是真正了解數學問題變化的規律,掌握這種變化背后的本質聯系,學會解決變式,學會設計變式、拓展問題，提高自身的數學能力和數學素養.

(作者單位：廣東省佛山市南海區西樵高級中學)