探究一道輪換不等式自主招生題及變式題的多種證法

◇　浙江　甘大旺(特級教師)

(作者單位：浙江省寧波市北侖明港中學)

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探究一道輪換不等式自主招生題及變式題的多種證法

◇浙江甘大旺(特級教師)

輪換不等式中任意2個字母對換后稍作整理仍與原不等式同形,2014年哈爾濱工程大學自主招生數學試卷的最末一題就是輪換不等式證明題.

本文以此題及變式題為例,介紹證明輪換不等式的4種常用方法．

證法1由于a+b+c=1且a、b、c∈R+,則3次運用均值不等式得

證法2由于a+b+c=1且a、b、c∈R+,則運用柯西不等式得到

所以,原不等式正確．

變式已知3個正數a、b、c的和等于1.證明:

1) 若f(x)在區間D內是上凹函數(即二階導數f″(x)>0),則對任意的n個實數x1、x2、…、xn∈D,其中正整數n≥2,則恒有不等式

(其中“≥”當且僅當x1=x2=…=xn時取“=”);

2) 若f(x)在D內是下凹函數,則就把1)中不等式的“≥”替換成“≤”即可．

所以,原不等式正確．

鏈接練習

1. 若n(≥2)個正數a1、a2、…、an的和等于定值A,求證:

2. 已知△ABC為銳角三角形,證明

3. 已知n(≥2)個正實數a1、a2、…、an滿足a1+a2+…+an=1,求證:

鏈接練習解法提示

1. 用4種方法都可證明．

2. 宜用琴生不等式．

3. 用均值不等式或柯西不等式．

4. 綜合用切比雪夫不等式和均值不等式．

(作者單位：浙江省寧波市北侖明港中學)