永磁同步電機(jī)矢量控制中的坐標(biāo)變換和解耦

龔　寄，駱　拓

（1.湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，湖南 長沙410205；2.長沙礦冶研究院，湖南 長沙410012）

永磁同步電機(jī)矢量控制中的坐標(biāo)變換和解耦

龔寄1，駱拓2

（1.湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，湖南 長沙410205；2.長沙礦冶研究院，湖南 長沙410012）

針對(duì)永磁同步電機(jī)矢量控制中的線性解耦要求，用矩陣?yán)碚摲椒ㄇ蟪鰩追N形式的繞組電感矩陣變換時(shí)的模態(tài)矩陣，導(dǎo)出坐標(biāo)變換矩陣，從而使定子磁鏈方程解耦。并給出了功率不變?cè)瓌t下坐標(biāo)變換時(shí)的電磁轉(zhuǎn)矩方程，為深刻理解永磁同步電機(jī)矢量控制的坐標(biāo)變換理論提供了有益的借鑒和啟發(fā)。

永磁同步電機(jī)；坐標(biāo)變換；解耦

在研究永磁同步電機(jī)矢量控制時(shí)，廣泛使用到坐標(biāo)變換。通過坐標(biāo)變換，可以把定子的電感矩陣對(duì)角化、常數(shù)化，從而使定子的磁鏈方程解耦，電磁轉(zhuǎn)矩方程得到簡化，使交流電機(jī)象直流電機(jī)一樣容易控制［1］。通常坐標(biāo)變換是從Blondel的雙反應(yīng)理論、從物理概念出發(fā)推導(dǎo)出來的［2］，那么從數(shù)學(xué)上坐標(biāo)變換是如何導(dǎo)出的？這也是電機(jī)控制工程技術(shù)人員關(guān)心和困惑的問題。

1　永磁同步電機(jī)在A、B、C三相坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

在建立永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型之前，先做如下假設(shè)：

（1）忽略磁路飽和、磁滯和渦流的影響，視電機(jī)的磁路是線性的；

（2）電機(jī)的定子繞組三相對(duì)稱，各繞組軸線在空間上互差120°電角度；

（3）轉(zhuǎn)子上沒有阻尼繞組，永磁體沒有阻尼作用；

（4）電機(jī)定子電勢(shì)按正弦規(guī)律變化，定子電流在氣隙中只產(chǎn)生正弦分布磁勢(shì)，忽略磁路中的高次諧波磁勢(shì)。

按以上假設(shè)對(duì)被控對(duì)象永磁同步電機(jī)進(jìn)行理論分析時(shí)，其所得的結(jié)果和實(shí)際情況十分接近，誤差在工程允許的范圍內(nèi)。

在A、B、C三相坐標(biāo)系下，永磁同步電機(jī)的物理模型如圖1所示，圖中將定子三相繞組中A相繞組軸線作為空間坐標(biāo)系的參考軸線OA，在確定好磁鏈和電流正方向后，可得到永磁同步電機(jī)在A、B、C坐標(biāo)系下的定子電壓、電流和磁鏈方程分別如下［3］：

圖1　永磁同步電機(jī)物理模型

電壓方程：

電流方程：

磁鏈方程：

ψ=LiS+ψS其中：

式中：ψf為轉(zhuǎn)子永磁體磁極的勵(lì)磁磁鏈，方向?yàn)閐軸正向；

θ為轉(zhuǎn)子d軸超前定子A相繞組軸線A的瞬時(shí)電角度，θ=ωt+φ，ω＝dθ/dt，φ為初始電角度；

MXY=MYX為定子繞組的互感系數(shù)；

從上面的磁鏈方程的電感矩陣可知，各繞組間存在非線性耦合，而且還和轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角度有關(guān)，為了實(shí)現(xiàn)解耦，需要對(duì)定子電感矩陣對(duì)角化。

2　永磁同步電機(jī)在α、β、o三相坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

由于定子繞組三相對(duì)稱，有LA＝LB＝LC＝Lss，MXY=MYX=Lm，定子繞組的電感矩陣可寫成：的特征根：λ1=λ2=Lss-Lm，λ3=Lss+2Lm.因此，對(duì)角化后，有：

要將矩陣L對(duì)角化，先求

（1）λ1=λ2=Lss-Lm時(shí)

矩陣L-λiE的秩為1，根據(jù)（L-λiE）X＝0，有x1+x2+x3＝0

得到基礎(chǔ)解系的解之一：

現(xiàn)進(jìn)行正交化，令

最后單位化，有

（2）λ3=Lss+2Lm時(shí)

矩陣L-λiE的秩為2，根據(jù)（L-λiE）X＝0，有x1=x2=x3

綜合三個(gè)單位向量，有

由于電機(jī)繞組為星形接法，且沒有中心線，即iA+iB+iC=0，即i0＝0，第三式可不考慮。僅前兩式有意義，定子的靜止三相電流iA、iB、iC經(jīng)過三坐標(biāo)到二坐標(biāo)的變換，可得到定子的靜止二相電流iα、iβ，如圖2（b）所示。

圖2　靜止三相ABC軸系到靜止二相αβ軸系的變換

3　永磁同步電機(jī)在d、q、o三相坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)，定、轉(zhuǎn)子繞組之間產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的耦合關(guān)系。這時(shí)定、轉(zhuǎn)子間互感矩陣內(nèi)含有定、轉(zhuǎn)子繞組夾角的元素，即帶有三角函數(shù)非線性，且隨時(shí)間變化，一般寫成

表1　定、轉(zhuǎn)子間互感矩陣的特征根、酉交特征矢和單位化特征矢

從而有酉交變換矩陣如下：

因此有

從上式中可得到

可見這是二坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換，也即將靜止的二軸坐標(biāo)iα和iβ經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換成為旋轉(zhuǎn)的二軸坐標(biāo)id和iq，從而實(shí)現(xiàn)了由ABC三相靜止坐標(biāo)系的三相電流到dq同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的二相電流的變換。如圖3所示。

圖3　ABC三相靜止坐標(biāo)系到dq二相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換

4　結(jié)束語

本文討論了永磁同步電機(jī)矢量控制中的坐標(biāo)變換與解耦問題，通過坐標(biāo)變換，把定子的電感矩陣對(duì)角化、常數(shù)化，從而使定子的磁鏈方程解耦，并使電磁轉(zhuǎn)矩方程得到簡化，使交流電機(jī)象直流電機(jī)一樣容易控制。與從物理概念出發(fā)推導(dǎo)不同的是，文中從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)了坐標(biāo)變換與解耦，給出了功率不變?cè)瓌t下坐標(biāo)變換時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩方程，為深刻理解交流電機(jī)坐標(biāo)變換理論提供了有益的借鑒和啟發(fā)。

［1］陳堅(jiān)．交流電機(jī)數(shù)學(xué)模型及調(diào)速系統(tǒng)［M］．北京：國防工業(yè)出版杜，1989．

［2］R.Krishnan．Permanent Magnet Synchronous and Brushless DC Motor Drives［M］.CRC Press，2009.

［3］Paul C.Krause．Analysis of Electric Machinery and Drive Systems［M］．Wiley-IEEE Press，2002.

［4］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)［M］．北京：高等教育出皈社，2007．

Transformation Between Reference Frames and Decoupling of PMSM with Vector Control

GONG Ji1，LUO Tuo2
（1.Mechanical Engineering College，Hunan International Economics University，Changsha Hunan 410205，China；2.Changsha Research Institute Of Mining and Metallurgy，Changsha Hunan 410012，China）

To meet the requirements of linear decoupling of vector control for permanent magnet synchronous motor （PMSM），this paper gives a matrix method of transformation between reference frames by solving the diagonal matrix of the stator winding inductance matrix，derives the coordinate transformation matrix and the decoupling stator flux equation.The electromagnetic torque equation is presented with the transformation under power constant. It is helpful and inspiring for understanding of the coordinate transformation theory of PMSM vector control.

permanent magnet synchronous motor；reference frames；decoupling

TM92

A

1672-545X（2016）07-0152-03

2016-04-14

本文得到湖南省教育廳項(xiàng)目資助（編號(hào)：14C0649）

龔寄（1976-），女，湖南澧縣人，碩士，講師，研究方向：主要從事機(jī)電系統(tǒng)建模與控制的研究及教學(xué)。