數(shù)形結(jié)合深挖內(nèi)涵明晰概念

朱東亮

[摘 要]數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。因此，教師應(yīng)重視概念教學(xué)，通過數(shù)形結(jié)合等途徑，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘概念的內(nèi)涵，明晰所學(xué)的概念，真正掌握所學(xué)的知識。

[關(guān)鍵詞]概念教學(xué) 平均數(shù) 思維沖突 價值 幾何直觀 意義 內(nèi)涵 特性

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）23-032

對概念清晰而又深刻的理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的基礎(chǔ)。平均數(shù)是一個重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量，小學(xué)數(shù)學(xué)中所講的平均數(shù)一般是指算術(shù)平均數(shù)，也就是一組數(shù)據(jù)的和除以這個數(shù)據(jù)的個數(shù)所得到的商。平均數(shù)既可以反映一組數(shù)據(jù)的一般情況，也可以用它進行不同組數(shù)據(jù)的比較，從而看出組與組之間的差別。下面，我以“平均數(shù)”一課教學(xué)為例，嘗試探討概念教學(xué)的方法。

一、設(shè)置思維沖突，體會平均數(shù)的價值

學(xué)生對通過比較總數(shù)判斷兩組數(shù)據(jù)水平的高低有著豐富的經(jīng)驗，因此，教師教學(xué)時可以先出示圖1，讓學(xué)生判斷在踢毽子比賽中哪個隊獲勝。然后教師參加到男生隊中（師踢了13個），并提問“通過比較總數(shù)來判斷哪個隊獲勝公平嗎”，以激發(fā)學(xué)生的思維沖突，引導(dǎo)學(xué)生提出用平均數(shù)來判斷。雖然平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)本身就具有的屬性，不依賴于比較存在，但根據(jù)學(xué)生的思維水平和特點，采用這樣的引入方式可以讓學(xué)生充分感受到比總數(shù)的局限性，體會到平均數(shù)產(chǎn)生的必要性和價值。這對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的興趣，比較不同概念之間的聯(lián)系與區(qū)別有著重要作用。

二、利用幾何直觀，理解平均數(shù)的意義

華羅庚說過：“數(shù)缺形時時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”“平均數(shù)”一課的教學(xué)，可采用數(shù)形結(jié)合的方式進行。平均數(shù)是刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量，反映了一組數(shù)據(jù)中心點的位置所在，這是平均數(shù)統(tǒng)計意義的核心。因此，讓學(xué)生經(jīng)歷一組數(shù)據(jù)中心點的產(chǎn)生過程，有助于學(xué)生理解平均數(shù)的概念。具體可以采用“移多補少”的方法讓學(xué)生體會這個過程：3名女生踢毽子的個數(shù)如圖3，通過計算得出女生隊踢毽子的平均數(shù)是14個。然后引導(dǎo)學(xué)生通過“移多補少”的方法找到平均數(shù)，再將平均數(shù)直觀地展現(xiàn)在學(xué)生眼前，如圖4。通過圖形的直觀展示，學(xué)生對平均數(shù)的產(chǎn)生過程有了切實的體會，從而對平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的一般水平也就有了更深刻的認(rèn)識。

三、挖掘概念內(nèi)涵，明晰平均數(shù)的特性

根據(jù)平均數(shù)的概念，平均數(shù)具有某些與生俱來的特性，主要包括敏感性、集中性、虛擬性三個方面。通過適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生明晰平均數(shù)的特性，有助于學(xué)生加深對概念的理解。

1.敏感性

平均數(shù)的敏感性是指每個數(shù)據(jù)的變化都對平均數(shù)產(chǎn)生影響。教師可以通過改變其中一個數(shù)據(jù)的大小，讓學(xué)生體會這一特性。如在數(shù)據(jù)12、11、16、13中，如果將13變成17，那么平均數(shù)將從13變成14，使學(xué)生明確當(dāng)個體數(shù)據(jù)變大時，平均數(shù)將被拉升；反之，平均數(shù)將被拉低。從平均數(shù)的敏感性，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)容易受極大（小）值的影響。如下表中小明的平均分顯然受到100分的影響，從而拉高了平均數(shù)。這樣可讓學(xué)生體驗到平均數(shù)的局限性，了解生活中經(jīng)常采用去掉部分極值后再求平均數(shù)的原因。

2.集中性

平均數(shù)的集中性是指平均數(shù)一定介于最大值與最小值之間，理解這點有助于學(xué)生理解平均數(shù)作為集中量數(shù)的原因。那么，如何讓學(xué)生體會平均數(shù)的集中性呢？教師可提供以下材料，并提問：“下圖中，哪幅圖中的線代表了這組數(shù)據(jù)的平均水平？”通過問題引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)平均數(shù)的意義和“移多補少”的方法進行辨析，明確平均數(shù)不會比最大值還大，也不會比最小值還小，因為這不符合平均數(shù)的概念。而對選項D，則要通過更加細致的辨析，讓學(xué)生了解“移多補少”的結(jié)果是各個數(shù)據(jù)均等，從而對平均數(shù)有更深入的認(rèn)識。

3.虛擬性

由于平均數(shù)是通過“移多補少”得到的量，因此平均數(shù)代表的是這組數(shù)據(jù)的一般水平，不代表數(shù)據(jù)中的個體。如圖5中，女生隊踢毽子的數(shù)量為18、13、11個，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是14，這個14不是任何一個女生踢毽子的數(shù)量。

另外，學(xué)生沒有學(xué)過分?jǐn)?shù)除法和小數(shù)除法，對平均數(shù)是分?jǐn)?shù)（小數(shù)）存在著認(rèn)知障礙，這是正常的現(xiàn)象。如果教師教學(xué)時能打破這一障礙，將對學(xué)生理解平均數(shù)的虛擬性大有裨益。結(jié)合圖5，教師可以這樣向?qū)W生設(shè)問：“如要使男生隊獲勝，老師至少踢幾個？”這是一個極富挑戰(zhàn)性的問題，教師要給足學(xué)生思考的時間和交流的機會。教學(xué)中，學(xué)生提出“老師至少要再多踢8個毽子，這樣才能使男生隊的平均數(shù)達到15個，比女生隊的平均數(shù)高1個”。有這種想法的學(xué)生是需要鼓勵的，因為他們有著較強的分析能力，能從問題出發(fā)找到答案。

此時，教師可進一步啟發(fā)學(xué)生：“還有更好的方法嗎？”一生提出“只要再多踢5個毽子就行了（如圖6）”，此時男生踢毽子的平均數(shù)已經(jīng)達到14個，而且還多出1個。這時有學(xué)生質(zhì)疑：“這多出的1個怎么辦？這樣是不平均的。”教師可追問：“你有辦法將這多出的1個繼續(xù)平均分嗎？”通過問題，引導(dǎo)學(xué)生將這1個再平均分成4份。由于學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時已經(jīng)有了類似的經(jīng)驗，所以這時學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)不是整數(shù)了。“那改用一個怎樣的數(shù)表示呢？”由于學(xué)生沒有學(xué)過帶分?jǐn)?shù)和小數(shù)，教師可適時介紹：“可以用14或14.25來表示（如圖7）。”

通過一系列問題的提出與解決，學(xué)生茅塞頓開，對平均數(shù)的敏感性和虛擬性有了進一步的認(rèn)識，在解決思維障礙的同時，對所學(xué)概念有了更加深刻的印象。

總之，教師應(yīng)重視概念教學(xué)，通過數(shù)形結(jié)合等途徑，引導(dǎo)學(xué)生深挖概念的內(nèi)涵，明晰所學(xué)的概念，真正掌握所學(xué)的知識。

（責(zé)編 杜 華）