對一道數學題的反思

梅杰群

“問題是數學的心臟”，數學問題來源于實際生活，為解決實際生活中的問題服務.隨著新課程的普及與深入開展，許多數學課堂教學向生活化發展，課堂上開展了許許多多豐富多彩的活動.“數學的生活化”已經在新課程中得到了充分顯現，生活成了數學發展最肥沃的土壤.“回歸生活、關注學生現實生活”的新課程理念是當前數學課程改革的首要特征與發展趨勢.

數學思維具有生活的經驗性，但有時又被實際生活的局限性困擾.下面我就兩硬幣旋轉問題談談看法.

例：（寧波市舜水杯初二數學競賽試題）將兩枚相同大小的一元硬幣A、B緊貼在一起，硬幣A固定不動，硬幣B的邊緣緊貼硬幣A并圍繞硬幣A無滑動地旋轉.當硬幣B圍繞硬幣A旋轉一周回到原來位置時，它圍繞自己的中心旋轉的角度是360度的？搖？搖？搖 ？搖倍.

對于本題的思考，我們經常會受到生活性思維的困擾，有時對自己的結論表現得非常肯定，甚至不惜體力地與人爭得面紅耳赤，事后又經常反思，思維錯誤出現在何處？

大多數人最初的結論：一倍關系.

理由：兩硬幣的周長相等，硬幣B圍繞硬幣A旋轉一周回到原來位置時，它們的邊緣都接觸過一次，故硬幣B自轉一圈.如在生活中將硬幣B在地面上沿直線滾動一段與自己的周長相等的線段CD時，硬幣必然是旋轉了一圈.

然而最初的結論被接下來的實驗給予了強烈的反駁.如圖：當硬幣B圍繞硬幣A旋轉一圈時，實驗中很清楚地看到硬幣B圍繞自己的中心旋轉了兩圈.

實驗后的結論：兩倍關系.

因此當硬幣B圍繞硬幣A無滑動地旋轉一圈后，硬幣B應該是自轉兩周.

證明如下：如圖所示，當硬幣B旋轉到B′的位置時，設硬幣B上的點E旋轉到硬幣B′上的點F，則有弧DF=DE.（可以將硬幣B′倒退到硬幣B的位置發現）

進而得∠DB′F=∠DAE（等弧所對的圓心角相等）

過B′作B′E′∥BE，得∠E′B′A=∠B′AE，

可知硬幣B旋轉的角度∠E′B′F=2×∠B′AB.

結論：當硬幣B在地面上沿直線滾動一段與自己的周長相等的線段時，硬幣是旋轉一圈，而當硬幣B沿著一段與自己的周長相等的封閉曲線滾動時，硬幣是旋轉了兩圈.

反思：為什么大多數人最初的想法不對呢？

我們生活在現實中，數學思維具有生活的局限性，就像我們經常感覺到自己居住的地球是平面的一樣，感受到太陽東升西落就好像太陽在圍繞地球旋轉一樣，當硬幣B在地面上沿直線滾動時，我們如何判斷硬幣是否滾動了一周呢？我們用生活性的思維這樣判斷：當最初的觸地點再一次觸地時，我們就判斷它滾動了一周.帶著這樣的思維我們做“硬幣B圍繞硬幣A旋轉一周”的問題時，我們很自然地會認為，最初的接觸硬幣A邊緣的點再一次接觸硬幣A，我們就判斷它轉動了一周，這就是“生活化思維的局限性”.

受到生活化思維的局限性影響，我們很自然地會認為答案為一周.

由此可見，數學作為一種認識，與其他科學認識一樣，遵循著感性具體—理性抽象—理性具體的辯證認識過程.這就是數學認識的一般性.