斜面上下滑滑塊機械能守恒問題新解

張 翠

(濟南市長清第一中學　山東 濟南　250300)

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斜面上下滑滑塊機械能守恒問題新解

張 翠

(濟南市長清第一中學山東 濟南250300)

通過數學運算和理論分析，重新解答了斜面上向下滑動的滑塊機械能守恒問題，得出了在地面上和相對于地面做勻速運動的小車上，下滑滑塊機械能都守恒的新結論，拓展了對機械能守恒的適用領域．

斜面上下滑滑塊動能勢能機械能守恒

【題目】在水平地面上筑一表面光滑的斜坡，坡高為h，坡面與水平地面的夾角為θ．最初，有一質量為m的滑塊(視為質點)靜止在斜坡的最高處．時間t等于零時，滑塊從斜坡的最高處沿斜坡自由滑下，同時有一小車相對于地面以恒速量值u向右運動．試問在地面(地球質量視為充分大，故穩定地保持為慣性系)和小車上觀察，滑塊的機械能是否都守恒，并說明理由．

解法1：在地面參考系看來，斜面的支持力始終不做功，小滑塊在斜面上運動回到出發點時支持力做功始終等于零，在地面系看來支持力是一個保守力，又因為重力也是一個保守力，因此它們的合力也是一個保守力.物體與斜面組成保守系統．由于力是一個伽利略變換的不變量，因此在小車參考系看來滑塊受到的合力也是一個保守力，本文從合力的角度研究這個問題.

在地面上觀察時，以坡面頂點O為坐標原點，以過O且垂直于水平地面的向上的直線為y軸，以過O且垂直于y軸的向右的直線為x軸，建立平面直角坐標系如圖1所示．設最高點的勢能為零.

圖1　斜面下滑滑塊機械能守恒問題新解

設滑塊t時刻的高度、速度、加速度、動能、勢能、機械能分別為：y，v，a，Ek(t)，Ep(t)，E(t)；在小車上觀察時，滑塊t時刻的高度、速度、加速度、動能、勢能、機械能分別為y1，v1，a1，E1k(t)，E1p(t)，E1(t),則在地面上觀察時有

v-0=(t-0)gsin θ

v2=-2gy

Ep(t)=Ep′(y)=mgy

或

Ep(t)=Ep′(y)=0-mas=

E(t)=Ek(t)+Ep(t)=Ek′(y)+Ep′(y)=

-mgy+mgy=0=常數

所以，在地面上觀察時，滑塊的機械能守恒，守恒值為零．

在小車參照系上觀察時,直覺判斷：

因為滑塊在最高點以勻速度u相對于小車沿x軸負向運動，我們規定此時的勢能為零，所以在小車參照系上觀察(即以小車參照系為靜止系)時，滑塊的機械能比在地面參照系上觀察時增加

所以在小車參照系上觀察時，滑塊的機械能為

數學推導：

v1x=vx-u

v1y=vy

v2+u2-2u×vx=

a1=a=gsinθ

ma1=ma=mgsinθ

0-E1p(t)= -E1p′(y)=

(ma1sinθ)s+(-ma1sinθcosθ)(-u)(t-0)=

E1p(t)=E1p′(y)=E1p′(y)=

E1(t)=E1k(t)+E1p(t)=E1k′(y)+E1p′(y)=

說明：

和

Ep(t)=Ep′(y)=mgy

解法2：據伽利略變換或圖2知

圖2　斜面下滑滑塊機械能守恒問題新解

Ek=ek+mu·v+C

dEk=dek+mu·dv+dC=

dEp=-F·dR=-f·d(r+ut)=

-f·dr-f·d(ut)=dep-f·udt

dEk+dEp=dek+f·udt+dep-f·udt=

dek+dep

d(ek+ep)=d(Ek+Ep)

de=dE=0

在上面的斜面問題中勢能只能說是類重力勢能(相當于把重力縮小然后旋轉一個角度)，不是重力勢能，因為質點受到的合力不等于重力.當觀察者相對于斜面靜止時，利用機械能守恒定律得出的結果等效,以至于人們發生誤解——斜面問題中的機械能守恒問題就是重力機械能問題；當觀察者相對于斜面勻速運動時，直接利用重力機械能守恒定律是錯誤的，應當利用勢能定義(保守力所做的功等于勢能的減少)來計算.在地面系和小車系計算的機械能都守恒，進一步驗證了斜面的支持力是一個保守力.本題也可以按照兩個保守力分別分析.機械能守恒定律中的保守力應該是保守力的合力，不存在內力和外力之分，對于質點而言都是外力，可以分為保守力和非保守力，本題中如果按照重力機械能計算顯然不滿足力學相對性原理.

[1～7]一直認為斜面問題是重力機械能守恒問題，因此得出了小車系機械能不守恒的錯誤.參考文獻[8～9]認為機械能守恒定律滿足力學相對性原理但是不具有單獨的協變性，因為系統的外力在一個慣性系可能不做功，在另一個慣性系可能做功，功具有相對性.在這里作者忽略了一個問題，如果系統的外力在一個慣性系不做功，那么系統的內力一定存在一個分力與之是平衡力，該力在這個慣性系中也不做功；在另一個慣性系中系統的外力盡管做功，但是它的平衡力也在做功，而且它們做的功互為相反數，代數和為零，不改變系統的機械能.換句話說，質點所受到的合外力在兩個慣性系中相同，在一個慣性系中機械能守恒，在另一個慣性系中機械能也守恒，研究機械能守恒問題應該研究保守力的合力,因此本文就研究滑塊受到的合力(保守力),參考文獻[8～9]的觀點是完全錯誤的.

參 考 文 獻

1高炳坤．力學中一個詭秘的錯誤．物理與工程，2002，(12)2：14～15，30

2趙堅．機械能守恒定律理解中一個值得重視的問題．物理通報，2006，(25)6：19～21

3錢廣東．不同慣性系中機械能不一定都守恒——兼談機械能守恒定律是否服從力學相對性原理．物理教學，2006，(28)2：42～43

4白靜江. 兩體問題中的功能原理及機械能守恒定律，大學物理，1997，(16)3:11～14

5馮健．滑塊的機械能還守恒嗎．物理教學探討，2006，(24)1：43

6徐祥寶．以地面為參照系機械能不守恒．物理教學探討，2006，(24)9：36～37

7孫國標，楊麗芬．也談機械能守恒的相對性．物理教師，2006，(27)12：32～33

8朱如曾，相對性原理及其對自然界定律的協變性要求，大學物理，2000，19(2)：15～19

9朱如曾.相對性原理對普遍定律和非普遍定律參考系變換性質的不同要求——關于協變性疑難的進一步討論.大學物理，2002，21(3)：19～23

10張申如，孫松庚.作用力與反作用力作功之和與參照系無關的一種證明，大學物理，1986(01)

11趙文桐，劉文芳，劉明成.重力機械能在各慣性系都成立，物理通報，2015(3)

(收稿日期：2016-05-07)

2016-04-11)