電容器與電源連接電路中的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系

鄭 金

(凌源市職教中心　遼寧 朝陽　122500)

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電容器與電源連接電路中的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系

鄭 金

(凌源市職教中心遼寧 朝陽122500)

推導了電容器儲存的電場能的公式以及電能密度公式，探究了電容器與電源連接電路中的電場能在外力做功的過程中的轉(zhuǎn)化規(guī)律，利用電容器的靜電能公式和虛功法解答有關(guān)電容器極板間距大小或電介質(zhì)多少發(fā)生變化的競賽題.

電容器電場能能量密度

真空平行板電容器儲存的靜電能為

其中V=Sd為平行板電容器兩極板間的體積.由此可知真空中電場的能量密度為

這表明空間電場具有能量，電能密度正比于場強的平方.

所以空間勻強電場的靜電能等于能量密度與所占體積的乘積，即We=wV.

【例1】平行板電容器的正對面積為S，初始時兩板間距為d，兩板與電壓U相連接.如果要把電容器的兩個極板拉開，間距變?yōu)?d，那么需要做多少功？在這個過程中，電容器的能量變化了多少？

解析:平行板電容器的電容為

開始時儲存的電場能為

后來儲存的電場能為

可知電場能的變化量為

若極板間距為x，則一個極板受到另一個極板的靜電引力為

克服電場力做的功為

由此可見，拉開極板做功的過程使電容器的能量減小為原來的一半.而且做多少功，電容器儲存的電場能就減少多少.電荷離開兩極板時，給電池充電，使電池的能量增加了，同時在電路中產(chǎn)生了焦耳熱.

對于一個與電源連接的電容器，當外力使極板間距增大時，電場能的變化等于外力做的功，好像滿足功能關(guān)系，與電路中的電源無關(guān)，其實不然.因為在外力做功的過程中，電容器通過電源把能量釋放出去，電場能轉(zhuǎn)化為電源的能量或消耗在電源的內(nèi)阻上，電源參與了能量轉(zhuǎn)化，因此外力做功或者電場力做功與電容器電場能的變化在因果上不滿足功能關(guān)系，只是在數(shù)量上相等而已.但對于整個系統(tǒng)中的能量變化滿足能量守恒定律.

【例2】平行板電容器兩極板A與B的間距為d，豎直地插在密度為ρ，相對介電常數(shù)為εr的液態(tài)電介質(zhì)中，當兩極板連接一定的電壓U時，求電容器兩極板間液面上升的高度h(不計液體表面張力).

解析:虛設(shè)電介質(zhì)遷移，電源能量轉(zhuǎn)化為重力勢能和電場能.

設(shè)電容器極板的水平方向?qū)挾葹閍，平衡時兩極板間液面上升的高度為h，則超出液面部分的液體介質(zhì)受到豎直向上作用力的大小為

F=mg=ρadhg

假設(shè)液體在力F作用下又向上發(fā)生一小段位移Δh，則力F做的功等于重力勢能的增加量，即

ΔW1=FΔh=ρadhgΔh

電容的增量為

由電容的定義式可得電容器增加的電荷量為

因此增加的電場能為

電源做的功為

由能量守恒定律得

ΔW2=ΔE+ΔW1

解得

【例3】電容式電壓計是由空氣平行板電容器與彈簧構(gòu)成.其中一個極板固定不動，另一個極板可沿垂直于板面方向平動，勁度系數(shù)為κ′的彈簧固定在可動極板上.如圖1所示.極板的正對面積為S，當電壓為零時兩極板間距為d.此儀器能夠測量的最大電壓是多少？

圖1

解法1:設(shè)電壓為零時，彈簧形變量為零，當加上電壓U時，引力使極板間距減小，則電容增大，電荷量增大，引力增大，當最終平衡時，極板間引力為F，與彈簧的彈力大小相等，方向相反，設(shè)此時彈簧伸長量為x，極板間電壓仍為U，間距為l=d-x.可用虛功法推導靜電力F與極板間距l(xiāng)的關(guān)系.

假設(shè)在靜電力作用下，極板發(fā)生微小位移Δx，則克服彈簧的彈力所做的功為

W=F·Δx

開始時電容器儲存的靜電能為

此時電容器增加的電場能為

ΔE1=WC2-WC1=

即

移動的電荷量為

q=ΔC·U

則電源放出的能量為

ΔE2=ΔC·U2

由能量守恒定律有

ΔE2=ΔE1+W

可得

由此得

式中l(wèi)=d-x.

而此時彈簧的彈力為F′=κ′x，與極板間的靜電引力平衡，即

則

實際上，總能量都是由電源提供的，其中一半能量轉(zhuǎn)化為電容器的靜電能，另一半能量使極板發(fā)生移動，轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能.

解法2:假設(shè)在靜電力作用下，極板發(fā)生微小位移Δx，則克服彈簧的彈力所做的功即靜電引力做的功為W=F·Δx.

二者在數(shù)量上相等，即W=ΔE，可得

在上述兩種解法中，若利用電容器的靜電能公式計算，則靜電能增加量為

若利用能量密度公式計算，則靜電能減少量為

那么二者是否發(fā)生矛盾呢？其實不然，因為前者靜電能的增加量是指儲存在電容器中的靜電能，是電源給電容器充電的結(jié)果；而后者靜電能的減少量是指電磁系統(tǒng)損失的靜電能，不是儲存在電容器中，而是從電磁系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到彈簧中去了，是極板間的靜電引力做功的結(jié)果.靜電引力做多少功，電場能就減少多少，彈簧的彈性勢能就增加多少，或者說電源放出2倍的能量轉(zhuǎn)化為電容器的靜電能，其中一半儲存在電容器中，另一半用來克服彈簧彈力做功，轉(zhuǎn)化為彈性勢能.

1物理學難題選登Ⅴ.物理通報，2007(11)：33

2物理學難題選登Ⅴ解答.物理通報，2007(12)：38

3楊國平.虛功原理.數(shù)理天地，2006(3)

4楊國平.物理解題中的極值方法.物理通報，2012(4):56

2016-04-07)