轉動物體的動能和“溜溜球”的機械能守恒

王岱川

(電子科技大學實驗中學　四川 成都　611730)

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轉動物體的動能和“溜溜球”的機械能守恒

王岱川

(電子科技大學實驗中學四川 成都611730)

借助轉動物體的力學知識，對溜溜球的運動過程進行了分析和解釋，證明其滿足機械能守恒，且與圓盤沿斜坡滾動的過程具有相似性．

溜溜球轉動慣量轉動定律機械能守恒斜坡滾動

1　溜溜球的結構和運動

“溜溜球”是一種非常受中小學學生喜愛的玩具，有幾十種玩法，比如：遛狗、睡眠、前拋、逃脫、搖籃、爬行者、升降機、衛星回收等等，這些豐富多彩的玩法中包含了中學所學的許多物理知識．常見的溜溜球有兩種類型，第一種類型比較簡單，其結構如圖1所示[1]，圖2是溜溜球的剖面圖.圖1的左右兩側是兩個對稱的圓盤，半徑為R，圓盤通過轉軸固定連接，轉軸半徑r?R，兩個圓盤和固定連接的轉軸構成了溜溜球的主體A，轉軸上纏繞細繩C，細繩的一端固定在轉軸上．

圖1　溜溜球的結構　　　圖2　下行時的受力分析

下面分析最基本的“下行上爬”運動[2]．游戲者將細繩的另一端套在手指上，從高處釋放溜溜球，溜溜球在重力和細繩拉力作用下勻加速下行，受力分析如圖2所示(忽略空氣阻力和摩擦力)．由于細繩的約束，下行運動與細繩展開的速度相同，同時溜溜球沿軸心勻加速轉動．當細繩全部伸展時，溜溜球的轉動速度和下行速度達到最大，并突然“轉向”，開始上爬，當爬到最高點時，又重新開始下行，但轉動方向相反．之后溜溜球會自動下行上爬，由于阻力和摩擦力的阻礙，運動一段時間后逐漸停下來，如果每次“轉向”時，輕往上提，補充損失的能量，則可反復“下行上爬”．

第二種溜溜球在圖1的轉軸上套上空軸B，轉軸與空軸B之間通過軸承光滑連接，細繩空套在B上而不固定連接，但在纏繞時須一層一層用力纏緊．這種溜溜球阻力較小，轉動速度更快，在下行結束時，并不立即上升，而是在底部持續轉動，這種玩法稱為“睡眠”．當手指輕輕上抖，觸發溜溜球迅速上爬，稱為“喚醒”．如果下落時用力往下甩，轉動速度和持續運動的時間會明顯增加，如果在“睡眠”時接觸地面，溜溜球將沿地面滾動，游戲者收放細繩，則可完成“遛狗”“爬行”等玩法．

下面首先討論轉動物體的動能，然后帶著上述問題分析溜溜球的運動，最后，與斜坡上圓盤的滾動過程對比．

2　均勻圓環和均勻圓盤的轉動動能

(1)

由于圓環質量

m=2πrδρdr

(2)

圖3　均勻圓環的動能

均勻圓盤可看作無數圓環構成，圓環寬度為dr，所有圓環具有同樣的轉動速度ω，設圓盤半徑為R，圓盤質量為m=πR2δρ，則其動能為式(1)在[0，R]區間的積分，即

(3)

3　溜溜球的運動過程分析和機械能守恒

下面分析第一種結構的溜溜球的運動過程，設圖2中溜溜球圓盤的半徑為R，轉軸的半徑為r，總的質量為m．下行過程中溜溜球的質心加速度為aC，轉動的角加速度為αr，細繩長度為h，由靜止開始釋放，線速度為v，角速度為ω，由于轉軸和兩個圓盤固定連接，角速度相同，可按式(3)計算溜溜球的轉動慣量I和轉動動能．由圖2有

maC=mg-F

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

此時，溜溜球的動能包含向下的平動動能和轉動動能，代入式(7)和式(8)得到

溜溜球為什么能自動上爬呢？細繩完全展開后，向下運動的慣性拉伸細繩，平動動能轉化為細繩的彈性勢能，至最大形變后平動速度降為零，細繩的彈性恢復使溜溜球向上加速，對理想的彈性體，細繩的彈性勢能完全轉化為向上的平動動能，轉化結束的瞬時速度大小與細繩完全展開瞬間相同．但由于細繩不是理想的彈性體，轉向后動能會有損失，這個轉化過程在短時間內完成，游戲者的手指能感覺到短暫的抖動．另一方面，細繩完全展開后由于轉動慣性，溜溜球繼續沿原有方向轉動，并將細繩反向纏繞在轉軸上，實現快速“轉向”，開始“上爬”運動．轉化后的動能促使溜溜球“上爬”，由于轉化過程中的動能損失和阻尼作用，爬升的高度不能達到初始位置．上升到最高點后重復下行過程，此時細繩在轉軸上的纏繞方向改變，轉動的方向與上一次下行的轉動方向相反，游戲者可觀察到最高點時，溜溜球轉動逐漸停止，朝相反方向轉動的現象．這樣，溜溜球重復“下行-轉向-上爬”的過程．若每次轉向的時候，手指上提溜溜球，補充損失的動能，則可保持在相近的高度上下運行，完成持續的“下行上爬”的玩法．

“睡眠”和“喚醒”則體現了平動和轉動的相互轉化．在第二代溜溜球結構中，空軸B的質量和動能遠低于A，B在下行過程中受纏緊的細繩的約束，但細繩末端是空套在B上的，而A通過軸承與B連接．達到底部后，平動動能也轉化為轉動動能，B在細繩末端的套結中轉動，A在B中轉動，軸承均勻光滑，A的轉動速度高于B，轉動中的摩擦阻力小于B，當B停止轉動后A還能持續轉動較長時間，溜溜球處于“睡眠”狀態．在“睡眠”中，手指向上輕輕抖動，產生向上的初速度，溜溜球將迅速向上回收，這個“喚醒”過程觸發了轉動動能向平動動能的轉化．而溜溜球的前拋、遛狗、爬行、猴子上樹等玩法中，有更多平動和轉動相互轉化的現象．

4　斜坡滾動圓盤與溜溜球運動的相似性

從角度為θ的斜坡頂點由靜止開始釋放均勻圓盤，圓盤沿斜面向下滾動，圓盤半徑為r，質量為m，斜坡高度為h，如圖4所示．圓盤在滾動的過程中受重力G，斜面支持力N和摩擦力f，滾動速度為ω，圓盤質心的線速度為vC，質心的加速度為aC，圓盤角加速度為ar，則同樣有ω=vCr，由于轉動方向的切向速度與質心速度相反，所以aC=-rar．

圖4　圓盤沿斜坡滾動示意圖及受力分析

重力沿y軸的分量與支持力平衡，沿x軸有

f-mgsinθ=maC

(9)

由轉動定律

(10)

(11)

其中負號表示加速度方向沿x軸負方向．比較式(10)、(11)和式(5)、(6)，當θ=90°時，在數值上相等(忽略x軸方向設定)．

可見，圓盤的斜坡滾動與溜溜球的下行運動非常相似，溜溜球在水平方向不受力，而斜坡運動在垂直與斜面方向平衡，導致轉動的力矩分別為細繩拉力和斜坡摩擦力，而受力分析、運動過程和運動參數則雷同．斜坡長度

運動到斜坡底部的時間

速度

代入式(11)化簡后得到總動能為

可見斜坡滾動圓盤的機械能也守恒．

5　結論

溜溜球的運動過程中包含了平動和轉動，體現了平動動能、轉動動能和重力勢能的相互轉化．論文討論了溜溜球的結構和常見運動，從平動物體的動能導出了均勻圓環和圓盤的轉動動能，借助轉動運動學中的轉動慣量和轉動定律，證明了溜溜球的運動過程中機械能守恒．對斜坡滾動圓盤的分析表明，溜溜球的下行運動與之相似，再次體現了兩種動能和重力勢能的轉化，以及轉化過程中的機械能守恒．

1鄭俊，肖發新. 溜溜球的力學原理. 物理教師，2005(2)：45

2楊全民.溜溜球的力學原理及運動過程分析.連云港師范高等專科學校學報，2001(2)：72～74

3漆安慎，杜嬋英. 普通物理學教程：力學(第三版).北京：高等教育出版社，2012. 170

2016-03-30)