Matlab在電磁學最值問題中的應用*

魏麗霞　勞家盛　黎 雪　羅志榮

(玉林師范學院物理科學與工程技術學院　廣西 玉林　537000)

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Matlab在電磁學最值問題中的應用*

魏麗霞勞家盛黎 雪羅志榮

(玉林師范學院物理科學與工程技術學院廣西 玉林537000)

電磁學中的最值問題是教學過程中的難點．本文利用Matlab軟件對電磁學中典型的最值問題進行實例分析，通過直觀的圖形將抽象的最值問題形象直觀化，有利于學生更好地理解和掌握物理規律．

電磁學最值Matlab

電磁學是大學物理中的一個重要知識點，利用高等數學知識解決電磁學中的問題，不僅是對大學物理中電磁學內容的深化，也是解決電磁學中最值問題不可缺少的工具[1]．電磁學中的最值問題涉及的知識面廣、內容難度大、對高等數學的應用要求高，是學生難以理解的知識點，若僅從理論上定性分析，學生難以構建空間圖形，從而影響教學效果．Matlab是一款多功能的數學軟件，具有界面友好、簡單易學和繪圖功能強大等優點，被廣泛應用于科學計算、數值分析等領域[2]．借助Matlab軟件對電磁學中的典型問題進行分析，能夠增強學生對電磁學的直觀感性認識[3,4]．

本文應用Matlab對電磁學中典型的最值例題進行模擬仿真，通過直觀的圖形形象地表達物理規律．

1　應用實例

案例一：如圖1所示，均勻帶電圓環的半徑為R(=1 m)，總電荷為q(=1 C)，試求距離圓心O處x為何值時，電場強度E取得最大值．

圖1　均勻帶電圓環電場分布示意圖

題意分析：在圓環上取一元電荷dq，則點P處的電場強度為

(1)

式中，k為靜電力常量，其值為9×109N·m2/C2．由對稱性可得

(2)

根據式(2)，利用Matlab編程可得電場強度E隨x變化的圖像，如圖2所示．由圖2(a)可見，圖像關于坐標原點對稱．當x≥0時，隨著x的增大，電場E先增大后減小．如圖2(b)可見，當x=±0.707 m時，電場強度E分別沿x軸正向和負向取最大值3.464×109N/C，該結果與式(2)中電場強度最值的解析解吻合．

圖2　電場強度E與x的關系曲線

案例二：如圖3所示，擺長為L(=1 m)的擺球在勻強磁場中運動，運動過程中擺線始終繃緊，若擺球電荷量為q(=1 C)，質量為m(=1 kg)，磁感應強度為B(=1 T)．試求擺球從最高處釋放運動至最低處，擺線拉力的最小值．(g取9.8 N/kg)

圖3　擺球在勻強磁場中運動的示意圖

題意分析：設帶電小球擺到與豎直方向成α角時，速度為v，細線的拉力為T．

由題意可得擺線從最高處擺到最低處始終繃緊的條件為

(3)

題意中B=1 T，符合擺線繃緊條件．

因為擺球在運動過程中洛倫茲力不做功，只有重力做功，由機械能守恒可得

(4)

由向心力公式，可得

(5)

聯立式(4)和式(5)，可得小球在運動過程中，擺線拉力大小為

(6)

(7)

根據式(6)，利用Matlab編程可得擺線拉力T與擺角α的關系曲線，如圖4所示．由圖4(a)可見，T-α圖像關于y軸對稱，當α≥0時，隨著擺角α的增大，擺線拉力T先減小后增大．如圖4(b)所示，當α=±9.161°時，擺線拉力T取得最小值為9.550 N，該結果與式(7)中的解析解吻合．

由以上兩個案例可見，利用Matlab輔助電磁學教學，不僅能夠求得最值大小，而且能夠直觀地展現物理量之間變化規律，有利于學生建立空間物理圖形．

圖4　擺線拉力T與擺角α的關系曲線

案例三：如圖5所示，載流等邊三角形線圈ACD，邊長為2a，其中通有電流I(=1 A)．試求當a取何值時，軸線上距中心O為r(=1 m)處的磁感應強度取得最大值．

圖5　載流等邊三角形線圈ACD示意圖[5]

題意分析：由圖5可知，要求出場點P的合場強B，需先分別求出等邊三角形載流線圈3條邊在P點產生的磁感應強度Bi，然后將三者進行矢量疊加．

由有限長載流直導線的磁場公式可知，AC邊在P點產生的磁感應強度BAC的大小為

(8)

由于三角形ACP為等腰三角形，且PE垂直于AC，所以得

(9)

將式(9)代入式 (8)有

(10)

同理，可以分別求出AD與CD邊在P點產生的磁感應強度BAD與BCD，再由幾何關系及矢量疊加可得AC，CD，DA3段載流導線在P點產生的磁感應強度BP的大小為

(11)

BP的方向沿z軸方向．

根據式(11)，利用Matlab編程可得P點的磁感應強度B與三角形邊長的關系曲線，如圖6所示．由圖6(a)可見，隨著邊長a的增大，P點的磁感應強度B先增大后減小．由圖6(b)可見，當a=2.024 m時，P點的磁感應強度B取最大值2.360×10-7T．

可見，利用Matlab輔助電磁學教學，可以將難以求解析解的電磁學問題，以直觀化的圖形展現物理量之間的關系，有助于增強學生對電磁學的直觀感性認識．

圖6　三角形邊長a與磁感應強度B的關系曲線

2　總結

由上述案例分析可見，利用Matlab強大的繪圖功能輔助電磁學中最值問題的教學，可以將抽象的電磁學問題具體化、圖形化，有助于學生更好地理解和掌握電磁學的物理規律，激發學生學習物理的興趣，提高教學效果．

1趙凱華,陳熙謀.電磁學.高等教育出版社,2011

2張志涌,楊祖櫻.MATLAB教程.北京:北京航空航天大學出版社,2010

3矯洪楠,侯恕.電偶極子激發的電場及其MATLAB軟件的模擬仿真.物理通報,2014(10):27～29

4高翠云,汪莉麗.利用MATLAB 進行電磁學計算及可視化教學.電氣電子教學學報,2006 (2):90～92

5王小力,張孝林,徐忠鋒. 大學物理典型題解題思路與技巧.西安:西安交通大學出版社,2000

Application of Matlab in Maximum and Minimum Problem of Electromagnetism

Wei LixiaLao JiashengLi XueLuo Zhirong

(College of Physics Science and Engineering,Yulin Normal University,Yulin，Guangxi537000)

The maximum and minimum problem is the most difficult part in electromagnetism teaching. To ensure students a better understanding of physical principle, Matlab is employed to analyze those typical problems by presenting the abstract problems with visualized patternings.

electromagnetism;maximum and minimum;Matlab

2016-02-19)

*國家級大學生創新計劃項目，編號：201410606011；廣西高校大學生創新計劃項目，編號：201410606206