關于金屬絲的電阻：一個結論的證明和應用

梁繼魯　代建山　李軍偉　王 云　李 洋

(博樂市高級中學　新疆 博樂　833400)

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關于金屬絲的電阻：一個結論的證明和應用

梁繼魯代建山李軍偉王 云李 洋

(博樂市高級中學新疆 博樂833400)

討論了金屬絲電阻的一個性質并給了證明及應用.

金屬絲電阻證明

將同質量(同體積)的兩塊同種金屬材料制成兩根電阻絲，這兩根電阻絲長度相同，一根粗細均勻(各處橫截面積一樣)，阻值為R0；另一根粗細不均勻，阻值為R，則有：R>R0，以下給出證明.

1　討論導線由兩部分組成

設R是由兩段粗細均勻、橫截面不一樣而長度相同的電阻絲串聯而成，如圖1所示．

圖1

設這兩部分長度都為L，橫截面積分別為S1和S2．電阻絲的總電阻

設第一段、第二段電阻絲的體積分別為V1和V2，則有

V1=LS1V2=LS2

此時有

設電阻絲的總體積為V，有

V=V1+V2

現將這個金屬電阻絲鍛打加工，在總長度不變的前提下將金屬電阻絲鍛壓使其各處粗細均勻(橫截面積一樣)．如圖2所示，在這個加工的過程中，整個金屬絲的總體積V=V1+V2保持不變(即R表達式中分子不變)，而分母中V1和V2是兩個正數，加工過程中是兩個變量．

圖2

根據數學中的重要不等式：兩個正數的和不變，當這兩個正數相等時其乘積最大．

在本問題中，V1+V2是恒量，當V1=V2時，V1和V2乘積最大．

由V1=V2,L相同，可得S1=S2=S0(即兩根電阻絲一樣粗)．

此時V=V1+V2=2LS0;V1·V2=(LS0)2;

由此證明：由兩根橫截面不同(粗細不均勻)的等長的同種金屬材料制成的電阻絲的阻值大于總長度、總體積相同的同種材料制成的粗細均勻電阻絲的電阻(運用二次函數求極值也可得出相同的結論)．

2　討論一般情況

將一根粗細不均勻的金屬電阻絲2N等分(N充分大)，其阻值依次為R1，R2，R3，…，R2N．將這2N個電阻絲依次按兩份一組分成N個小組．

此時電阻絲的總電阻為R，有

R=(R1+R2)+(R3+R4)+…+(R2N-1+R2N)

(1) 對每一個小組的金屬電阻絲進行鍛壓，使其在長度、體積不變的前提下變成粗細均勻的電阻絲．根據前面的結論，每一小組的總電阻將變?。詫⑦@N組電阻絲全部改造后，整根電阻絲的總電阻將減小，同時整根電阻絲的粗細差別將減小．

(2)將(1)所述的改造工作一次又一次地進行，電阻絲的總電阻一次又一次地減小，整根電阻絲的粗細差別一次又一次地減?。?/p>

(3)當改造的次數n充分大后，原來的電阻絲就改造成粗細均勻總長度不變的電阻絲．總電阻就變為最?。?/p>

原命題得以證明．

3　應用

【題目】如圖3所示，水平地面上方矩形區域內存在垂直紙面向里的勻強磁場，在磁場正上方有兩個邊長相等、質量不等的相同材料制成的單匝閉合正方形線圈Ⅰ和Ⅱ．線圈Ⅰ粗細均勻，線圈Ⅱ粗細不均勻．兩線圈從同一高處由靜止開始自由下落，進入磁場后最后落在地面．運動過程中，線圈平面始終保持在豎直平面內且下邊緣平行于磁場上邊界．整個運動過程中通過線圈Ⅰ和Ⅱ導線的橫截面的電荷量分別為q1和q2，運動時間分別為t1和t2．不計空氣阻力，則

A.q1和q2可能相等

B.q1一定大于q2

C.t1與t2可能相等

D.t1一定大于t2

(參考答案：A，D)

圖3

解答：現只討論選項C和選項D．

我們引進一個假想的線圈Ⅲ，以它做媒介，讓它分別與線圈Ⅰ和線圈Ⅱ做比較，最終得出相應的結論.

設線圈Ⅲ與線圈Ⅱ材料、長度、質量完全一樣且粗細均勻．當線圈Ⅰ和線圈Ⅲ兩線圈從同一高處由靜止開始自由下落，進入磁場后最后落在地面，則它們的運動時間是相同的．證明如下：

設線圈剛進入磁場是所受的安培力小于重力．此時

根據牛頓第二定律有

因此

而

16ρ密度ρ電阻率L2

因此

從上面的討論可看出，線圈Ⅰ和線圈Ⅲ進入磁場的過程中初始加速度、初速度、位移都一樣，它們的速度變化規律一樣，所以它們進入磁場的時間一樣，進入磁場后的運動時間一樣．

再來討論線圈Ⅱ和線圈Ⅲ．

更正

2016年第7期第97頁《阿拉果銅盤實驗的實驗研究與分析》一文，收稿日期為2016年3月4日，特此更正.

2016-04-29)