MAPLE軟件在簡諧振動教學中的仿真設計*

董玉靜

(信陽學院理工學院　河南 信陽　464000)

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MAPLE軟件在簡諧振動教學中的仿真設計*

董玉靜

(信陽學院理工學院河南 信陽464000)

簡諧振動的合成是大學物理課程中非常重要的一部分.利用Maple軟件對不同情況下簡諧振動的合成進行仿真設計，使枯燥的數學公式和物理規律變得形象、直觀．有助于學生對知識的理解，提高物理教學的效果和質量．

簡諧振動大學物理Maple仿真

1　引言

大學物理學作為理工專業學生的一門專業必修課，難度大，學生學習興趣低，很難理解和接受[1]．Maple軟件具有強大的繪圖和動畫功能，可視化的仿真功能．在教學過程中恰當的使用Maple軟件[2，3]，更符合人們的思維習慣，可以使抽象、復雜知識通過圖示直觀、形象的展現在學生面前．使學生獲得直觀的感性認識，降低學習難度，縮短學生的學習和認識過程，達到更好的教學效果

機械振動的合成作為大學物理中波動學向光學的一個過渡部分，學好機械振動有助于后續光學課程的學習．本文利用Maple軟件將機械振動通過圖像的形式展現出來，有助于學生理解和學習．

2　簡諧振動的合成

2.1同方向同頻率兩個簡諧振動

物體同時參與兩個簡諧振動，其方向(沿x軸)和頻率相同，振動的位移和時間關系可以表示為

x1=A1cos(ωt+φ1)

x2=A2cos(ωt+φ2)

其中A1和A2表示兩個簡諧振動的振幅，ω表示振動頻率，φ1和φ2是初相位角．合成之后的振動位移表達式為

x=x1+x2=Acos(ωt+φ)

此合成表達式是通過數學推導得到的，其中

通過Maple軟件繪圖功能將合成之后的展示如圖1所示，圖1(a)是一般情況，圖1(b)表示兩個簡諧振動方向相同，合成之后振幅最大圖1(c)表示兩個簡諧振動方向相反，合成之后振幅最小．語句如下

Restart;

with (plots)；

A1：=1;A2：=2；omega[x]:=1; omega[y]:=1;phi[1]:=Pi/5;phi[2]:=Pi/7;

x:=A1*cos(omega[x]*t+phi[1]);

y:=A2*cos(omega[y]*t+phi[2]);

z:=x+y;

plot({x,y,z},t=0….4*Pi);

圖1同方向，同頻率簡諧振動合成

2.2拍現象

拍現象是指同方向、相近頻率的兩個簡諧振動的合成，其合成的振動會出現忽強忽弱的現象．振動的位移和時間關系可以表示為

x1=A1cos(ω1t+φ1)

x2=A2cos(ω2t+φ2)

合成之后振動位移與時間的關系為

在用Maple軟件編寫程序時在保證兩個簡諧振動的頻率較大，但是比較接近(如圖2)．語句如下

Restart;

with (plots)；

A1：=1;A2：=2；omega[x]:=1; omega[y]:=1;phi[1]:=Pi/5;phi[2]:=Pi/7;

x:=A1*cos(omega[x]*t+phi[1]);

y:=A2*cos(omega[y]*t+phi[2]);

plot([x+y]，t=0..4*Pi);

圖2　拍

2.3同頻率相互垂直間歇振動

在研究兩個相同頻率間歇振動時，假設一個沿x方向振動，一個沿y方向振動，默認頻率相等，其振動位移與時間的關系為

x=Axcos(ωt+φx)

y=Aycos(ωt+φy)

合成之后的振動方程式為

是一個橢圓方程．當兩個方向的相位差不同時，會出現不同形狀的橢圓軌跡．分別用Maple軟件對不同情況下的橢圓軌跡進行圖像展示．以相位角相等為例語句如下

Restart;

with (plots)；

Ax：=1;Ay：=2；omega[x]:=1; omega[y]:=1;phi[x]:=Pi/5;phi[y]:=Pi/5;

x:=Ax*cos(omega[x]*t+phi[x]);

y:=Ay*cos(omega[y]*t+phi[y]);

plot([x,y,t=0..4*Pi],numpoints=8000,axes=boxed);

圖3　同頻率，相互垂直簡諧振動合成

2.4李薩如圖形

當兩個不同頻率，相互垂直的簡諧振動在平面內運動合成時，其運動軌跡不僅與兩振動的振動頻率有關，還與他們的初相位差有關．當振動頻率成整數比時，質點的運動軌跡是穩定的封閉曲線，即形成李薩如圖形(如圖4)．設

x=A1cos(ω1t+φ1)

y=A2cos(ω2t+φ2)

合成之后的軌跡表達式為

在利用Maple軟顯示圖像時分別針對頻率的不同比值進行分析．語句如下

Restart;

with(plots);

A:=1;omega[x]:=1;omega[y]:=3;phi[1]:=Pi/5;j:=1.5;

x:=A*cos(omega[x]*t+phi[1]);

y:=A*cos(omega[y]*t+(phi[1]+j)*Pi/4);

plot([x,y,t=0..4*Pi],numpoints=8000,axes=boxed);

圖4　李薩如圖形

2.53個頻率相同振動方向垂直簡諧振動的合成

以上內容是從兩個簡諧振動合成的研究出發，用Maple軟件將其復雜公式用圖示進行展現．若3個簡諧振動同時運動[4]，那么情況就更加復雜，用常規的數學圖像很難表達出來．而計算機通過軟件則可以簡單，快速的進行展示．設

x=A1cos(ω1t+φ1)

y=A2cos(ω2t+φ2)

z=A3cos(ω3t+φ3)

合成之后的方程式為

sin2(φ2-φ1)+sin2(φ3-φ2)+sin2(φ1-φ3)

此公式是通過數學推導出來的，推導過程復雜．圖像無法用手工畫出，下面用計算機軟件將其展現(如圖5)，語句如下

圖5　3個簡諧振動合成

With(plots):

x:=t->cos(1*t+Pi/2):y:= t->cos(2*t+Pi/3): z:= t->cos(3*t+Pi/4);

a:=0:b:=4*Pi:

spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=a..b,thickness=4.color=black.axes=normal);

用計算機軟件生成三維圖示(如圖)，點擊按鈕

3　總結

簡諧振動是波動學的基礎知識，也是從波動學向光學過渡的橋梁．而兩種簡諧振動是其最基礎部分，在推倒時數學公式就算復雜，合成結果很難通過物理實驗進行操作和驗證，在學習時學生學習難度較大．利用Maple軟件可以形象直觀的展示在學生面前．恰好符合了大學物理教學中對多媒體教學的要求，且能夠鍛煉學生“手算”和“機算”兩種能力．軟件在計算和操作時只要設置不同的參數就可以立即得到合成結果，為后續學習和研究都提供了豐富的參數．

1上海交通大學物理教研室.大學物理學.上海：上海交通大學出版社，2010.162～168

2趙會江.Maple 9.0 符號處理及應用.北京：科學出版社，2007.5～27

3李銀山.Maple理論力學——普通高等教育規劃教材.北京:機械工業出版社，2006.125～140,284～293

4熊德永，馬慧.互相垂直同頻率簡諧振動合成軌跡方程的推導.安徽科技學院學報，2010,24(2):40～43

The Simulation Design of Maple Software in Teaching of the Simple Harmonic Vibration

Dong Yujing

(The School of Sciences and Technology of xinyang college,Xinyang,Henan464000)

The synthesis of harmonic vibration is a very important part of university physics course. Using the Maple software to design and simulate the synthesis of the simple harmonic vibration under different conditions which can make the mathematical formulas and physical rules more vivid and intuitive. It is helpful for students to understand the knowledge and improve the effect and quality of physics teaching.

harmonic vibration;college physics;maple;simulation

董玉靜(1984-)，女，碩士，講師，研究方向：半導體材料和物理教學.

2016-04-13)

*信陽師范學院華銳學院青年項目，項目編號：2014qn34；河南省教育技術裝備與實踐教育研究課題，項目編號：GZS097