安培環路定理的正確應用*

張明鐸　莫潤陽　張引紅　沈壯志

(陜西師范大學物理學與信息技術學院　陜西 西安　710119)

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安培環路定理的正確應用*

張明鐸莫潤陽張引紅沈壯志

(陜西師范大學物理學與信息技術學院陜西 西安710119)

安培環路定理是描述穩恒磁場性質的重要定理之一，它所描述的磁場分布與電流的關系適用于所有穩恒磁場．但是，只有對那些具有高度對稱性分布的電流和磁場，應用安培環路定理分析磁場分布的數學過程才較為簡便．

安培環路定理穩恒磁場磁感強度

1　引言

安培環路定理是描述穩恒磁場性質的重要定理之一，它反映了磁場的渦旋性及磁場分布與電流的關系，表明磁感應強度的環流不等于零．文獻[1, 2]通過例證指出，文獻[3～5]對安培環路定理的表述不準確．這一說法值得商榷．

2　安培環路定理的表述

文獻[3～5]對安培環路定理的表述：在真空的穩恒磁場中，磁感強度B沿任一閉合路徑的積分(即B的環流)的值等于μ0乘以該閉合回路所包圍的各電流的代數和，即

(1)

文獻[1, 2]認為這一表述不準確的例證如下：設有一有限長直電流，以該電流為軸做一圓形回路，如圖1所示．按照上述定理閉合回路包圍電流為I，則據式(1)得

(2)

圖1　有限長直電流磁場

這一結果顯然是不對的，因為它反映的實際上是無限長直電流周圍的磁場．

文獻[1, 2]據此認為，安培環路定理應表述為：在真空的磁場中，磁感強度B沿任一閉合路徑的積分(即B的環流)的值等于μ0乘以穿過以該閉合路徑為圍界的任意曲面所包圍的各恒定電流的代數和，即

(3)

仔細分析不難看出，對安培環路定理的這兩種描述其實是一樣的，不同之處是對于“回路所包圍的電流”的表述．文獻[3～5]的敘述是“該閉合回路所包圍的各電流的代數和”，文獻[1, 2]敘述為“穿過以該閉合路徑為圍界的任意曲面所包圍的各恒定電流的代數和”，其真實含義都是“穿過回路所包圍區域的電流的代數和”．再者文獻[1, 2]“以該閉合路徑為圍界的任意曲面所包圍的各恒定電流的代數和”的說法值得商榷．顧名思義，“任意曲面”既可能是閉合曲面，也可能是非閉合曲面．只有對閉合曲面才有所謂“包圍”的問題，而非閉合曲面則不然．

所以，本文認為文獻[3～5]對安培環路定理的表述是不存在問題的，絕大多數大學物理教材正是這樣表述的，而文獻[1, 2]所述則遠非準確．

3　用安培環路定理求解磁場分布應該注意的問題

根據安培環路定理，式(1)等號左邊的磁感強度B是由回路內外所有電流(而非只是回路所包圍電流)共同確定的；等號右邊是B的環流，僅由回路所包圍電流確定，即穿過回路包圍區域的所有電流代數和的μ0倍．文獻[1, 2]所舉例證的不當之處在于對安培環路定理的錯誤理解和應用．

首先，形成穩恒電流的電路必然是閉合回路，所以獨立的一段穩恒電流是不可能存在的．也就是說，圖1所示直線電流實際上是某個閉合回路中的穩恒電流的一部分．

其次，圖1所示閉合路徑上任一點的磁感強度B實際上是由整個閉合電流共同產生的，而不是僅僅由圖中的那一段直線電流產生．

再次，由于圖中閉合路徑上各點的磁感強度B是由整個閉合電流共同產生的，其方向就不一定總是沿著路徑的切向，其大小也不一定處處相等．

那么如何利用安培環路定理來確定穩恒電流所激發的磁場呢？原則上說，該定理所描述的磁場分布與電流的關系適用于所有穩恒磁場．但是，并非任意電流都可以用該定理簡便地求解其磁場分布，有些情況下甚至無法獲得解析解．實際上，只有很少一部分穩恒電流的磁場能夠用安培環路定理進行簡便分析．

圖2　無限長軸對稱電流磁場

如圖2所示無限長軸對稱電流，這一模型可看作電流經由無限遠處某點形成閉合．在垂直于對稱軸的平面內做一圓形回路，圓心位于軸上，根據式(1)所述定理可得

(4)

只要求出相應回路所包圍的電流∑Ii，即可確定距離軸線不同距離r處的磁感強度B的大小．

又如圖3所示無限大均勻載流平面，假設在垂直于電流方向的單位寬度上電流強度為j．在與載流平面垂直的平面內做一矩形回路abcd，且ab，cd兩條邊與載流平面等距，根據式(1)所述定理可得

(5)

圖3　有限長直電流磁場

對其他一些載流體，如密繞長直螺線管、密螺繞環等，也可采用類似的方法應用安培環路定理分析其磁場分布，這里不再贅述．

綜上所述，只有對那些具有高度對稱性分布(而非文獻[1, 2]所說的某種對稱性)的電流和磁場，應用安培環路定理分析磁場分布的數學過程才較為簡便．結合對圖2和圖3的分析可知，應用安培環路定理求解穩恒電流所激發的磁場時，應該注意的主要問題有以下幾點：

(1)分析電流和磁場的對稱性．

(2)根據電流和磁場的對稱性，選擇適當形狀的環路，求出∮LB·dl．這里所謂“適當形狀的環路”的要求是

1)場點在環路上．

2)環路繞行方向要么垂直于B，要么與B平行．在與B垂直的路段B·dl=0；在與B平行的路段，還要求B的大小為常數，因而在相應路段有

這樣即可簡化積分運算，使數學處理過程簡便．

4　結論

安培環路定理描述的磁場分布與電流的關系適用于所有穩恒磁場，只有準確理解其物理內涵，才能正確應用該定理簡便地求解電流激發的磁場分布．這里的關鍵是分析電流和磁場的對稱性，然后，根據電流和磁場的對稱性，選擇適當形狀的環路求解磁感強度B的分布．

1張慧琨，張俊玲．安培環路定理的表述及其證明方法．山西師范大學學報(自然科學版)，2007，21(1)：69～71

2徐恩生，孫麗媛．穩恒磁場安培環路定理的論述與推導．沈陽航空工業學院學報，2005，22(4)：83～84

3張三慧．大學物理學·電磁學(第二版)．北京：清華大學出版社，1999.212～219

4王少杰，顧牧．新編基礎物理學(下冊)．北京：科學出版社，2011.71～77

5馬文蔚．物理學．北京：高等教育出版社，2006.254～259

The Correct Application of Ampere Circuital Theorem

Zhang MingduoMo RunyangZhang YinhongShen Zhuangzhi

(College of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,Xi’an,Shanxi710119)

Ampere circuital theorem is one of the important theorem describing the steady magnetic field. The relationship between the distribution of magnetic field and current it described are applicable to all the steady magnetic field. But, only for those with a highly symmetrical distribution of current and magnetic field, it was simple that the process of mathematics to analyze the magnetic field distribution by use of Ampere circuital theorem.

ampere circuital theorem;steady magnetic field;magnetic induction intensity

張明鐸(1963-)，男，副研究員，主要從事聲學與物理學領域的教學和科研工作.

2016-05-05)

*陜西師范大學2016年度校級綜合教學改革研究項目，編號：16JG23