深入淺出分析剛體摩擦力

姚黃濤　潘夢萍　馮 杰

(上海師范大學物理系　上海　200235)

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深入淺出分析剛體摩擦力

姚黃濤潘夢萍馮 杰

(上海師范大學物理系上海200235)

以剛體在不同條件下運動狀態(tài)為例，詳細分析了剛體所受3種不同摩擦力的產(chǎn)生機制和效果．對比了實際物體與理想剛體的區(qū)別，并討論了滾動摩擦的本質(zhì)，最后對伽利略的斜面實驗進行了“理想條件”的探討．

剛體摩擦力滾動

在中學物理教學中，摩擦力一直是重點和難點，要想教會學生摩擦力的定性分析和定量運算，教師就要對摩擦力的概念和原理掌握得很好．當剛體涉及摩擦力時，往往使得問題變得復雜一些，譬如大學物理教程中剛體的摩擦力分析，這往往牽扯到很多的概念.

下面從5個方面來詳細討論剛體所受摩擦力，以便對力學中剛體摩擦力的教學提供參考．

1　斜面上剛體無滑滾動

剛體力學中，我們常常會碰到求解剛性球體做無滑滾動時的摩擦力，比較典型的是在斜面上的剛性小球的運動，如圖1所示．

圖1　斜面上的球體

根據(jù)球體做無滑滾動的條件和剛體對質(zhì)心的轉動定理，可以得出下列方程

其中I為轉動慣量，aC為質(zhì)心加速度，α為角加速度．

由式(1)、(2)得

(4)

設小球沿斜面滾下了距離s后下降了高度H，質(zhì)心速度達到vC，滾動角速度為ω，則

(5)

平動動能

(6)

轉動動能

(7)

總動能

Ek總=Ek平+Ek轉=mgH=W重

(8)

以上計算表明剛體做無滑滾動時，相對于斜面參考系，此摩擦力不做功，為靜摩擦力．

其一，因為存在這一靜摩擦力，才使得剛體從斜面做無滑滾動滾落下來．重力對剛體所做的正功W重等于剛體總動能(平動動能與轉動動能之和)的增加量．所以重力勢能全部轉化為平動動能與轉動動能；

其二，此靜摩擦力充當了橋梁的作用，使得重力勢能可以一部分轉化為轉動動能，如果不存在此靜摩擦力，剛體不會轉動，只會滑下斜面，總動能完全是平動動能．

由式(2)、(3)、(4)我們可以得到靜摩擦力f靜的表達式

(9)

2　水平面上剛體無滑滾動

根據(jù)式(9)我們可以發(fā)現(xiàn)，當斜面傾角θ等于零度時f靜=0，即當斜面變成水平面后，除了重力、剛體與斜面之間的彈力外不考慮外界施加的力，靜摩擦力為零．換句話說就是靜摩擦力不存在．這可以分兩種情況討論：

第一種情況是剛體靜止于水平面上，此時剛體當然不會受到摩擦力的作用，因為重力和水平面對剛體的支持力正好平衡．

為了證明此種情況下剛體與水平面之間不存在摩擦力，我們再分為兩種情況討論，即假設摩擦力存在，分別為f左和f右(由于是剛體，不存在彈性形變，所以剛體與水平面的摩擦力只能沿公切面方向而平行于水平面)．

圖2

如果存在向左的摩擦力f左，則vC就要減小，剛體要滾得慢了．Mf左使得剛體相對于質(zhì)心的角速度ω增大，剛體要滾得快了，兩個結果相矛盾，所以不存在f左．

如果存在向右的摩擦力f右，則vC就要增大，剛體要滾得快了．但質(zhì)心的角速度ω卻是減小，剛體要滾得慢．這種情況同樣不會發(fā)生，所以不存在f右．

綜上，剛體在上述情況下沿水平面做無滑滾動時，不存在靜摩擦力．當剛體小球在水平面上達到上述的無滑滾動狀態(tài)時，小球不受任何摩擦力的作用(在這一模型中，我們不考慮微觀分子之間的相互作用)，如圖2(b)所示，小球?qū)⒈３制溥\動狀態(tài)永遠運動下去．

3　水平面上剛體有滑滾動

以上我們考慮了剛體處在水平面上做無滑滾動靜摩擦力不存在的這一運動狀態(tài)．那么，剛體如何達到這樣的一種狀態(tài)呢？

我們?nèi)苑謨煞N情況討論．

其一，剛體靜止于水平面，在某一時刻受到作用于質(zhì)心的力F，在F的作用下沿水平面向右加速滾動，顯然此時剛體與水平面的接觸點處的地面對剛體必然施加一向右的靜摩擦力f，此f對質(zhì)心的力矩使剛體產(chǎn)生順時針轉動的角加速度，我們可以方便求出f，α，aC的大小．當F撤去的時候，剛體受力情況就達到了圖2所示的狀態(tài)，不存在靜摩擦力．即當力F撤離的瞬間，靜摩擦力同時也消失了．此后剛體將一直以恒定速度滾動下去，即使剛體與水平面之間是粗糙的．

其二，剛體以平動速度vC，相對質(zhì)心的角速度為ω=0這一運動狀態(tài)施放在粗糙的剛性水平面上．如圖3(a)所示，剛性小球放在傳送帶上與傳送帶一起向右以速度為vC運動，并且小球相對傳送帶靜止，我們所要考慮的是小球離開傳送帶接觸水平面后的運動狀態(tài)的變化，即分析此種情況下剛體運動狀態(tài)是如何變化到圖3(b)所示的狀態(tài)的．

圖3

剛體剛接觸水平面的瞬間，剛體與地面的接觸點P的速度應為剛體的平動速度vC0．假如在這一瞬間剛體就完成了從只有平動到無滑滾動的這一狀態(tài)的轉變，那么P點相對于質(zhì)心的轉動線速度就必須在Δt時間內(nèi)增加到vC0．

由剛體轉動的動量矩定理

MΔt=ΔL=L末-L初

得

(10)

根據(jù)假設，Δt很短，短到幾乎是一瞬間，即Δt→0,所以f→∞．因而除非剛體與水平面的結構如圖4所示，使得f是一個沖力，否則靜摩擦力不可能達到碰撞級別的效果．因而剛體與水平面接觸時必然發(fā)生滑動，此摩擦力為滑動摩擦力．

圖4　剛性齒輪結構

通過以上分析，我們可以定性地描述剛球接觸水平面后的運動狀態(tài)的變化過程．一開始剛球做有滑滾動，在滑動摩擦力的作用下，剛球平動速度減小而轉動角速度在增加．當平動速度正好等于剛球邊緣上P點的轉動線速度時，剛體開始做無滑滾動，摩擦力消失．下面是定量計算：

如圖3(b)所示，設μ與f動為鋼球與水平面間的動摩擦因數(shù)和滑動摩擦力，則

f動=μmg=maC?aC=μg

球質(zhì)心的平動速度為

vC=vC0-μgt

(11)

又

μmgR=Iα

取球體的轉動慣量

(12)

所以

(13)

則接觸點P相對于鋼球質(zhì)心的線速度

(14)

當vC=vP時，鋼球達到無滑滾動的條件，鋼球與水平面間不發(fā)生滑動，此時鋼球處于圖2(b)所示的狀態(tài)，即不存在摩擦力．

由式(11)、(14)得

(15)

(16)

(17)

則鋼球邊緣在這段時間內(nèi)滾動的弧度為

(18)

所以鋼球與水平面之間的相對滑動距離為

(19)

因而滑動摩擦力做功產(chǎn)生的熱量為

(20)

(21)

將式(15)代入上式，得

即

W損=Q

由上面的計算我們可以發(fā)現(xiàn)，從能量轉化的角度計算的熱量值與滑動摩擦力做功的值相等，所以證實了此摩擦力的確是滑動摩擦力．

4　形變物體的滾動

運用剛體模型，我們得出了剛體在水平面上滾動時不存在靜摩擦力的結論，剛體會一直滾動下去．顯然這一結論與我們?nèi)粘Ｉ钪械慕?jīng)驗不符，在水平面上推動圓柱形的滾子，如果不繼續(xù)推動它，滾子不會永遠運動下去，而會慢慢停下來[1]．一般人們會說這是摩擦力的作用，但往往不會明確指出這究竟是什么摩擦力．

剛體是忽略一切形變的理想模型，實際物體顯然不滿足剛體這一條件，即實際物體受到力的作用總會或多或少地發(fā)生形變，形變較小的物體較硬，形變較大的物體較軟．我們考慮較硬的圓柱體置于較軟的水平面上，如圖5(a)所示．當滾子以一定的初始速度vC在水平發(fā)生向左的滾動時，接觸面因受力不均勻而向左端隆起，從而導致地面對滾子的彈力N改變?yōu)槿鐖D5(b)所示的N′，這個力N′不過滾子的質(zhì)心，因而產(chǎn)生了阻礙滾子滾動的力矩M′，同時N′水平向右的分量保證了滾子的平動速度減小．為了研究方便，將N′正交分解為豎直方向的FN和水平方向的Ff，F(xiàn)f大致與滾子與地面的公切面平行，而FN近似與公切面垂直，可看作地面對滾子的彈性支持力．

圖5

將力FN平移至滾子的質(zhì)心O，并附加一力偶矩，如圖5(c)所示，作用于質(zhì)心O點的力FN與重力平衡，而附加力偶矩起阻礙滾動的作用，稱滾動摩擦力偶矩[1],將其大小記為M滾，用δ表示O點到FN的力臂如圖5(d)所示，則

M滾=FNδ

至此我們可以看到阻礙滾子滾動正是這個滾動摩擦力偶矩的作用．現(xiàn)在，我們通過剛體平動與轉動的規(guī)律來計算N′的水平分力Ff．

Ff=maC

由于是無滑滾動

aC=Rα

M滾-FfR=Iα

(25)

對于圓柱體滾子

代入上式，得

其中

(26)

我們可以發(fā)現(xiàn)式(26)具有摩擦力的表達形式．

盡管Ff是形變地面對滾子支持力的水平分力，但我們可以將Ff看成是滾子在水平面上滾動時受到的滾動摩擦力，μ′稱為滾動摩擦因子．根據(jù)

我們不難發(fā)現(xiàn)當滾子的半徑越大，滾動摩擦力越小．路面越硬，形變越小，δ就越小，所以滾動摩擦力也就越小．因此在松軟的路面上騎車比在水泥路面上費力．火車采用鋼軌作為軌道也是減小滾動摩擦的原因．許多機器采用的滾動軸承，其滾軸中有許多球體或柱體在內(nèi)外環(huán)間滾動，在制造上要求滾動體和環(huán)都有很高的硬度，其目的在于減小滾動摩擦．由于δ?R，查閱相關技術手冊[1]后發(fā)現(xiàn)μ′的數(shù)量級處在10-2，比滑動摩擦因子小一個數(shù)量級．這就是大家常說的滾動摩擦比滑動摩擦小的原因．至此有一點值得一提，上面討論的滾動摩擦力Ff不是像滑動摩擦力一樣實際存在的摩擦力，而是為了方便比較而將N′的水平分力根據(jù)效果而命名的，本質(zhì)上還是彈力．

當我們討論滾動時，要知道滾動摩擦這一效果是由滾動摩擦力偶矩M摩，而不是Ff作用而產(chǎn)生的．因為存在形變，所以研究對象不再是剛體這一理想模型．

5　伽利略的理想斜面實驗

伽利略通過科學推理認為，如果一切接觸面都是光滑的，一個鋼球從斜面的某一高度A處靜止?jié)L下，由于只受重力，沒有阻力產(chǎn)生能量損耗，那么它必定達到另一斜面的同一高度C，如果把斜面放平緩一些，也會出現(xiàn)同樣的情況，如D，E的高度，如果斜面變成水平面，則鋼珠找不到同一高度而會一直保持一種運動狀態(tài)，永不停止的運動下去，如圖6所示[2]．

圖6　伽利略理想斜面實驗

對于這個理想實驗，存在值得討論的地方．如果一切接觸面都是光滑的，那么根據(jù)前文的分析，鋼球是不可能滾動下來的，而只會沿斜面向下滑．要使鋼球做無滑滾動滾下斜面，那么必然存在斜面對鋼球沿斜面向上的靜摩擦力，既然存在摩擦力，那么伽利略的斜面實驗還是理想的嗎？

一方面，根據(jù)前文的分析，要使鋼球從斜面上滾動下來，就必須存在斜面對鋼球的摩擦力．同時，這個摩擦力必須是靜摩擦力，因為只有靜摩擦力才能保證鋼球的重力勢能改變量等于鋼球平動動能和轉動動能之和，使得鋼球能回到另一斜面的同一高度．另一方面，要使鋼球在水平軌道上保持恒定速度永遠運動下去，根據(jù)前文的分析，鋼球必須不受到滾動摩擦力偶矩的作用，那么鋼球與軌道必須不發(fā)生形變，即剛體與軌道必須是理想的剛體模型．

因此，我們認為伽利略的理想斜面實驗中的“理想”二字的描述不是忽略所有摩擦力的理想狀態(tài)，而是鋼球與軌道必須是理想剛體，且鋼球與軌道之間是純靜摩擦力這一理想狀態(tài)．

當然了，伽利略在設計這一理想實驗時的上述不足，并不一定是伽利略的疏忽．這也許是后人在敘述這一理想實驗時外加的，也許是伽利略的知識局限性所引起的，因為在當時關于摩擦的知識還比較缺乏[2]．所以我們必須站在歷史的角度看待這一理想實驗，絲毫不否認其在物理學發(fā)展中的巨大作用．

1漆安慎，杜嬋英.力學(第二版).北京：高等教育出版社，2005.240～242

2陶洪.物理實驗論.南寧：廣西教育出版社，1996.49～50

2016-04-17)