遞推法求分形物體的轉動慣量

吳喜洋　湯伶俐　李超華　宮 雪

(上海師范大學物理系　上?！?00234)

方 偉

(上海師范大學物理系　上海　200234；

上海市星系和宇宙學半解析研究重點實驗室　上海　200234)

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遞推法求分形物體的轉動慣量

吳喜洋湯伶俐李超華宮 雪

(上海師范大學物理系上海200234)

方 偉

(上海師范大學物理系上海200234；

上海市星系和宇宙學半解析研究重點實驗室上海200234)

應用遞推法，結合量綱分析，標度變換及平行軸定理，求解了n階康托爾集、謝爾賓斯基地毯、門格海綿、謝爾賓斯基四面體的轉動慣量.

量綱分析分形轉動慣量遞推法

1　前言

形狀規則的剛體轉動慣量可由基本定義式積分求得.利用量綱分析法，對某些具有一定對稱性且質量分布均勻的物體[諸如細棒、平面體(三角形、矩形、等腰梯形、正多邊形、扇形、圓形、三角形等)、長方體等]的轉動慣量亦可在不用積分等繁雜運算的情況下利用量綱分析法巧妙求出[1～4].文獻[5]將上述方法推廣至分形物體，利用分形物體的自相似特性，結合量綱分析、標度變換和平行軸定理分別求出了謝爾賓斯基三角形、門格海綿、謝爾賓斯基四面體等分形物體的轉動慣量.文獻[6]研究發現，該方法在求該文中的那些體積、面積或者長度趨向于零的分形物體的轉動慣量時并不奏效，這是由于數學上的無窮階分形與物理上可實現的有限階分形物體之間存在差別導致. 文獻[6]巧妙地利用了n-1階的分形物體與n階分形物體的一部分存在相似性的特點，同樣利用標度變換和量綱分析法，給出了求n階分形物體轉動慣量的方法. 文中以簡單的分形正三角形為例，顯示該結果在n趨向無窮大時與文獻[5]的結果是一致的.本文準備利用文獻[6]中的方法來具體求解幾個典型的分形物體的轉動慣量，并證明當分形物體的階數n趨向無窮大時，其結果與文獻[5]的結果都是一致的，進而說明該方法的有效性.

2　遞推法求分形物體轉動慣量

2.1康托爾集

取一條單位長度的線段，把它3等分，截掉中間那一段，然后將剩下的兩段分別3等分，再去掉中間一段，對剩下的更短的線段繼續同樣的操作.隨著不斷的分割，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，可得到一個離散的點集，稱為康托爾點集，其長度為零.

圖1

定義如圖1(a)所示為第0階分形圖形，圖1(b)為第1階分形圖形，圖1(c)為第2階分形圖形，圖1(d)為第3階分形圖形，以此類推直至第n階分形圖形.設圖1(a)是質量為m，邊長為L的直線段.根據量綱分析，它繞過質心O且垂直于該線段的轉軸的轉動慣量可表示為

I0=λmL2

(1)

其中λ為無量綱的比例系數，且λ僅與物體的形狀有關.

(2)

(3)

(4)

(5)

為求第n階康托爾集的轉動慣量的最終表達式，先將上式改寫為

(6)

(7)

當n→時，In=0，這是顯而易見的，即對于數學上的康托爾集其質量為零，轉動慣量也為零.

(8)

當n→時，.利用文獻[5]中求轉動慣量的方法計算發現所得結果一致，但實際上，由于康托爾集長度為零，質量為零，文獻[5]中算出來的轉動慣量并沒有實際意義.

2.2謝爾賓斯基地毯(分形正方形)

謝爾賓斯基地毯是瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基在1916年提出的一種分形，其構造與謝爾賓斯基三角形相似，是將一個正方形每條邊三等分，連接對邊的等分點可將正方形劃分為9個相等的小正方形，去掉中間的小正方形，再對剩下的小正方形重復上述操作所得的圖形.

圖2

根據量綱分析、標度變換和平行軸定理可得

(9)

(10)

(11)

(12)

最終由遞推公式求數列通項的方法可得

(13)

當n→∞時，In=0，即對于數學上的分形正方形，其質量為零，轉動慣量也為零.

根據方程(7)到方程(8)的類似處理方式，若以第n階分形正方形的質量為m來計算，那么轉動慣量最終的值應為

(14)

2.3門格海棉(分形正方體)

門格海棉，是數學家卡爾·門格于1926年提出的，是康托爾集和謝爾賓斯基地毯在三維空間的推廣.把正方體每條棱3等分，連接這些等分點，將其分割為27個小正方體，挖去6個面上和中間的1個小正方體，接下來對余下20個小正方體繼續同一操作，即得到分形正方體(如圖3).

圖3

(15)

(16)

(17)

(18)

最終由遞推公式求數列通項的方法可得

(19)

當n→∞時，In=0，即對于數學分形正方體其質量為零，轉動慣量也為零.

同理，根據方程(7)到方程(8)的類似處理方式，若以第n階分形正方體的質量為m來計算，則轉動慣量最終的值應為

(20)

2.4謝爾賓斯基四面體(分形四面體)

謝爾賓斯基四面體是由四面體按三角形的剖分方式得來的，具體的分型步驟是：取6條棱的中點并連線，可把四面體剖分為8個小四面體，將除4個頂點所在的小四面體外的其他4個小四面體挖空，然后對留下的小四面體重復同樣的操作即可得圖4所示分形四面體.

圖4

(21)

(22)

同理可得第3階分形四面體的轉動慣量為

(23)

(24)

最終由遞推公式求數列通項的方法可得

(25)

當n→∞時，In=0，即數學上分形四面體的轉動慣量也為零.

同理，根據方程(7)到方程(8)的類似處理方式，若第n階分形正方形的質量為m，則最終的表達式

(26)

應用遞推法，結合標度變換和量綱分析法來求解分形物體的轉動慣量，巧妙地解決了單純用量綱法求解質量為零的分形物體的轉動慣量所存在的問題.

3　小結

本文中我們利用文獻[6]中提出的遞推法分別詳細推導了質量為m的n階康托爾集、n階分形正方形、n階分形立方體、n階分形四面體的轉動慣量，它們分別為

該方法求分形物體的轉動慣量可以直接應用于普通物理《力學》的課堂教學中，這樣可將學生從較為復雜的微積分運算中解放出來，進而注重對標度變換、量綱分析等物理方法和物理圖像的培養，從而有利于增強物理系學生的物理直覺.另外，本文通過理論計算求得的4個公式還可以通過實驗來直接予以驗證.因此，本文內容亦可以設計成動手能力較強的拓展性物理實驗.

最后需要指出的是，由于分形物體具有不同于一般物體的分數維度，上述得到的結果里面是否含有與該物體的分數維度有關的信息，值得我們進一步去思考.

1Robert Rabinoff.Moments of inertia by scaling arguments:how to avoid messy integrals.Am.J.Phys.,1985,53(5):501～502

2Robert Rabinoff，俞志毅. 用標度變換求轉動慣量: 如何避免繁雜的積分.大學物理，1987，6 ( 7) : 31～32

3吳文旺. 用量綱分析法求解轉動慣量.石家莊鐵道學院學報，1993，6(3)，85～90

4楊忠. 用量綱分析法求平面物體的轉動慣量.大學物理，1997，16 ( 4) : 45～46

5許佳敏，邱為鋼. 分形物體轉動慣量的計算.大學物理，2011，30 ( 11) : 53～55

6方偉，涂泓，馮杰.對量綱法求分形物體轉動慣量的再思考.大學物理，2016(In press)

Recurrence Method to Calculate the Moment of Inertia of Fractal Body

Wu XiyangTang LingliLi ChaohuaGong Xue

(Department of Physics,Shanghai Normal University，Shanghai200234)

Fang Wei

(Department of Physics,Shanghai Normal University，Shanghai200234；Shanghai Key Lab for Astrophysics,Shanghai200234)

Using recurrence method, combined with dimensional analysis, scale transformation and parallel axis theorem, the moment of inertia of the Cantor set, Sierpinski carpet, Menger sponge and Sierpinski tetrahedron are calculated.

dimension analysis;fractal;moment of inertia;recurrence

吳喜洋(1991-)，女，在讀研究生.

方偉(1981-)，男，副教授，主要從事天體物理、宇宙學及物理教學與課程論方面的研究.

2016-04-18)