古琴共鳴體的聲固耦合模態分析

于　洋， 許震宇

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海　200092)

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古琴共鳴體的聲固耦合模態分析

于洋， 許震宇

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海200092)

模態分析中考慮古琴共鳴體與聲腔內空氣的聲固耦合，得出不同固有頻率下古琴的各階位移場模態及聲場模態。對比結構系統、聲腔系統與耦合系統的仿真結果，研究空腔內空氣對共鳴體壁板振動以及共鳴體壁板振動對腔內聲壓分布情況的影響。結果顯示對古琴音量貢獻較大的振動模態為呼吸模態，并且面板與底板以不同相位振動時表現的呼吸模態形式所輻射出的音量有所不同；理論推導建立了激勵力頻率與古琴發聲響度之間的關系，為斫琴師根據激勵力頻率來調整古琴響度提供參考。

古琴；模態分析；有限元；聲固耦合

古琴是中國的傳統樂器，有著悠久的歷史，經歷了千百年的演化與積淀，古琴的構型基本確定下來，比較通俗的有仲尼式、伏羲式等形式，其構造材料均為老舊的桐木、杉木與梓木，因為這樣的木材本身具有良好的聲振特性，制作成琴腔共鳴體結構可以演奏出優美的樂曲。為了探究古琴響度與音調等聲學特性需對古琴共鳴體基本振動特性進行分析，如陳璇[1]結合有限元理論對古琴共鳴體進行模態分析，得出了古琴共鳴體的固有頻率和各階振型，并分析了古琴面板厚度與弧度等尺寸的改變對古琴固有頻率的影響，但其只是針對古琴傳統的振動特性進行分析，并未深入探索古琴的聲學特性，即未考慮古琴振動過程的聲固耦合現象，未將聲固耦合因素引入模態分析中。古琴共鳴體結構由面板和底板構成，在琴弦的激勵下共鳴體結構振動并發聲，此過程屬于聲固耦合現象，即振動過程中結構與聲壓兩者相互作用產生耦合。

聲固耦合現象的提出最早可追溯到GLADWELL等[2]應用余能法將以位移為基本參數的振動方程與以聲壓為基本參數的聲波方程結合在一起，推導出空氣與膜，空氣與薄板的聲固耦合方程。隨著聲固耦合理論的完善，很多學者將聲固耦合現象與自身的工程實踐結合起來，聲固耦合模態分析就是其中的一個應用。如PETYT等[3]應用有限元數值方法分析了不規則形狀空腔的聲學模態，得出的實驗模態效果與理論推導較為吻合。CRAGGS等[4]采用四面體和立方體網格針對平行六面體結構進行分析，得出了平行六面體聲腔結構的聲場頻率和振型，并將這種方法應用在車體聲腔中，計算結果與實驗結果接近。國內也有學者針對聲腔結構進行聲固耦合模態分析，大多針對汽車空腔結構[5-6]。如馬天飛等[7]為了研究汽車NVH特性建立了某轎車車身結構和車室空腔模型，考慮車室與內部空氣之間的相互作用對結構系統、聲腔系統、聲固耦合系統三個有限元模型分別進行計算，結果表明耦合系統的模態不是兩個系統模態的簡單疊加，兩者之間的相互作用將改變原系統的頻率和振型。也有研究將聲固耦合模態分析應用到樂器，如EZCURRA等[8]建立了吉他的聲固耦合有限元模型，分析了吉他的上音板與背板通過中間空氣的耦合現象，分析了吉他振動過程中各部件對共鳴腔整體振動效果的貢獻度，但其分析內容沒有深入到樂器聲學的領域，并未進一步得出吉他聲振特性對樂器響度、音調等有何影響。

鑒于以上分析，本文通過CAD軟件建立古琴共鳴體三維模型，導入多物理場有限元軟件形成有限元模型，對古琴進行結構模態分析、內部空腔聲場模態分析以及聲固耦合模態分析，對比三個結果研究結構振動與聲壓兩者的相互作用對古琴模態的影響，得出對古琴共鳴體輻射音量貢獻較大的模態振型，建立外部激勵與古琴共鳴體內聲壓的關系，將振動特性與樂器響度聯系在一起。

1　古琴共鳴體聲固耦合有限元模型的建立

古琴琴體長約1.2 m，主要分為面板、底板兩部分，底板有兩個鏤空的矩形孔口稱為龍池、鳳沼，面板與底板連結在一起形成共鳴體，共鳴體結構可視為彈性體，材料為正交各向異性的杉木，材料參數見表1。當共鳴體振動時會對腔內的空氣施加力的作用從而改變聲腔內的聲壓分布，聲壓變化又會激勵壁板使之產生振動，形成空氣與結構相互作用的聲固耦合系統。

表1　古琴共鳴體的材料參數

在不影響古琴共鳴體聲腔形狀的基礎上對古琴的外形進行簡化，忽略琴弦的影響，用CATIA軟件建立古琴的三維模型，將其導入多物理場耦合有限元軟件COMSOL，在COMSOL內劃分網格形成有限元模型，建模過程需分固體域單元(古琴共鳴體結構)和流體域單元(聲腔內空氣)，如圖1為左側為固體域有限元建模過程，右側為流體域(聲腔內空氣)的模型與網格剖分結果。兩者接觸的邊界面上空氣域網格節點與結構網格節點完全重合，固體域單元最小尺寸為5 mm，空氣域單元的尺寸要求每個波長至少5個單元[9]，最大尺寸為30 mm，最小尺寸為5 mm，均滿足收斂要求。模型共包括43 077個域單元，10 920個邊界單元。

圖1　古琴共鳴體有限元建模過程Fig.1 The finite element modeling process of Guqin resonator

2　聲固耦合模態分析有限元計算結果

耦合系統是由共鳴體與聲腔中的空氣相互作用形成的，它的振型包括兩部分，一部分為結構變形，另一部分為聲腔內的聲壓變化。為了便于比較，將不考慮聲壓變化影響、只考慮單純結構振動的模態分析稱為結構系統模態分析；把不考慮共鳴體結構壁板振動而引起腔內聲壓變化(Fa=0)的模態分析稱為聲腔系統模態分析；把考慮兩者之間相互耦合的模態分析稱之為耦合系統模態分析。

共鳴體聲腔內的聲壓與結構邊界運動的本構關系可以通過微分方程來刻畫。當共鳴體及其內部的聲腔系統受到簡諧激勵時，共鳴體壁板上的節點位移以及聲腔內聲壓分布分別滿足：

([Ks]+jω[Ds]-ω2[Ms]){u}={Fs}+{Fa}

(1)

和

([Ka]+jω[Da]-ω2[Ma]){p}=-ω2[S]{u}

(2)

由于耦合系統受簡諧激勵，合成方程組可表示為：

(3)

聲固耦合模態分析屬于矩陣特征值問題，不考慮外力的作用，所以Fs為0。另外，共鳴體的底端開有兩個矩形孔口，與外界連通，不涉及耦合，所以其邊界條件為無反射邊界條件，即聲波可透過孔口向外界傳播。應用有限元軟件定義結構與空氣域的材料屬性及約束條件，可以得到耦合系統的結構振型模態和聲場模態。

2.1位移場模態

表2列出了古琴結構系統與耦合系統的固有頻率，首先可觀察到結構系統在136.37 Hz(耦合系統的第一階固有頻率)處原本沒有模態，但在耦合系統中卻出現了這種振動模態，可以看出耦合系統的固有頻率比共鳴體結構系統分布更加密集，出現了共鳴體結構系統沒有的頻率。可以說明結構振動與聲壓變化這二者之間的相互作用產生了新的振動模式。

表2　結構系統與耦合系統的模態信息

從表2看出耦合系統第2、4、6階模態的固有頻率與結構系統模態中前4階的固有頻率十分接近，振型基本一致。2階耦合模態與1階結構模態均為一階縱向彎曲模態；4階耦合模態與2階結構模態均為一階扭轉模態；6階耦合模態與3階結構模態均為關于縱軸反對稱的彎扭混合模態。因此可以看出這些頻率下聲腔內聲壓的變化并未對共鳴體結構的振型產生較大的影響，即耦合系統發聲以結構振動為主。

觀察各種模態振型的比例可以看出無論結構系統還是耦合系統，其振型均含有大量的呼吸模態，呼吸模態是指共鳴體局部的某一區域內面板與底板同向或反向振動從而使這一區域出現體積明顯膨脹的模態形式，如耦合模態中的1階振型即為琴頭與鳳沼處(古琴底部最邊緣的矩形孔洞)的兩個呼吸模態。琴頭處底板向下同時面板向上移動，即兩者相位相差180°，琴頭處體積呈現周期性增大與收縮，在單位時間內引起體積的迅速增大與縮小，從而引起腔體聲壓急劇變化，樂器的音量與聲壓變化的速度幅值有關，因而這種振動模式可以輻射出較大的音量。當面板與底板的振動相位差小于180°，如圖3所示鳳沼處的呼吸模態，此種振動模式向空氣中輻射的音量就明顯少于相位差為180°的呼吸模態[11]。由呼吸模態的振動形式產生的聲壓變化從而輻射出的聲波占古琴共鳴體發聲量的很大比例，所以對古琴振動發聲響度的主要貢獻為呼吸模態這種振動形式。

圖2　從底部觀察時耦合系統的第1階結構振型Fig.2 The first structure mode of coupled system observed from the bottom

2.2聲場模態

略去0階聲場模態，因為0階聲場模態為一致聲壓模態，在腔體內聲壓處處相等，類似于結構系統的剛體模態。圖3列出了兩階耦合系統的模態振型，194.78 Hz處的結構振型為一階縱向彎曲，即共鳴體只發生縱向位移變化，對應內部聲壓呈現縱向均勻變化，兩條聲壓節線(聲壓為0的界線，與聲壓變化方向垂直)橫向分布。而289.97 Hz處的結構振動為一階扭轉，即共鳴體產生橫向位移運動，對應聲腔內出現明顯的橫向變化，聲壓節線沿縱向。結合上文提到耦合系統固有頻率與結構系統對應的固有頻率十分接近，相差不超過2 Hz，并且振型基本一致，即共鳴體發聲以結構振動為主，結構振動對聲腔內聲壓變化的影響遠大于內部聲壓變化對結構振動的改變。各階聲壓振型相當于對應階次結構振動的聲學響應，即不同振動模式產生相應聲場分布，從而影響共鳴體發聲。因此斫琴師調整古琴共鳴體的結構構型可直接影響琴體發聲的原理就在于此。

圖3　耦合系統的聲場模態與位移場模態Fig.3 The structural modes and acoustic modes of coupled system

3　耦合模態對古琴響度影響分析

古琴在不同激勵下(琴弦施加力)會發出不同的音量，即響度。樂器的響度與聲壓和聲波的頻率有關， 古琴的響度一般在90 dB以上，查閱純音標準等響曲線圖發現90 dB以上的響度并且聲波頻率在200～1 500 Hz區間，頻率的變化對響度的影響并不明顯，所以可以認為在這一頻率區間古琴響度僅隨共鳴腔內的聲壓的增大而增大[12]。對于共鳴體所施加激勵的大小、方式不同會使激發出的模態振型存在差異，從而影響腔內聲壓，因此有必要研究耦合系統的模態對古琴響度的影響。

首先推導出古琴在結構激勵下的聲壓表達形式，將式(3)中位移向量與聲壓向量做變換，將物理坐標轉換為模態坐標[13-14]：

{u}=[Φ]{η}，{p}=[Ψ]{ξ}

(4)

這里[Φ]表示解耦的、無阻尼結構模態，[Ψ]表示解耦的、無阻尼、聲場硬邊界下的聲場模態，列向量{η}、{ξ}代表各階模態在特定響應下的比例系數。假定結構系統與聲腔系統均為比例阻尼，將式(4)代入式(1)，(2)中，并且上下兩行分別左乘[Φ]T,[Ψ]T，則式(1)，(2)變為

([?ωa2?]+j[?ζaωa2?]-

ω2[I]){ξ}+ω2[c]{η}={0}

(5)

和

([?ωs2?]+j[?ζsωs2?]-ω2[I]){η}+

(6)

這里[I]為單位矩陣，矩陣[c]為結構系統模態與聲場模態之間的耦合，每個元素為

cij=ρa{Фi}T∫s[Na]T[Ns]′ds{Ψj}

(7)

特定耦合系統模態中聲壓的變化對共鳴體結構的振型的影響非常小，聲壓對共鳴體結構壁板的作用遠小于壁板振動對聲壓變化的影響，因此可將式(1)中聲壓載荷{Fa}忽略，所以式(6)中無{Fa}項。這樣{η}可由式(5)直接表示出，并將其代入式(6)，則可推導出聲壓{p}的表達式:

{p}=

其中

在阻尼很小的情況下，忽略ζsj與ζai，共鳴腔內聲壓變為

其中ω為外力的激振頻率(古琴琴弦)，ωsj與ωai分別為共鳴體結構系統的固有頻率與內部聲腔系統的固有頻率，如表3列出了共鳴體結構與聲腔的固有頻率，可以看出兩個系統的固有頻率均處于200～1 500 Hz之間，滿足聲壓與響度的正比關系。當ω≈ωsj時琴弦的激勵頻率與j階結構系統固有頻率接近時，右邊出現極大值產生較大聲壓，并且這時古琴聲腔輻射出的聲音大多來自j階結構共振，同理當ω≈ωai時琴弦的激勵頻率與i階聲腔系統固有頻率接近，右邊出現極大值產生較大聲壓，這時古琴聲腔輻射出的聲音大多來自聲腔內聲壓共振。也就是說當古琴受到特定的外部激勵(來自琴弦)恰好使某系統處于共振狀態，則會發出較高的響度。如果激勵頻率不在兩個系統的固有頻率附近，響度要比以上兩種情況低。

表3　結構系統與聲腔系統的模態信息

在古琴制作完成后斫琴師需對古琴的響度進行校對，按壓琴弦位置不同，拔弦時振動琴弦的長度就會不同，同時拔弦的力度不同也對激勵頻率造成影響。因此，斫琴師可根據共鳴體結構系統與聲腔系統的固有頻率適當調整按弦的位置以及拔線的力度，從而使琴弦能夠產生特定的激勵頻率，利用共振效果來控制古琴的響度。

4　結　論

本文對共鳴體結構系統、聲腔系統、聲固耦合系統分別進行模態分析，發現聲腔內空氣的作用使耦合系統產生了新的模態，說明分析古琴共鳴體模態時引入聲固耦合十分必要。

根據耦合系統的固有特性對古琴響度的影響得出以下結論：

(1) 古琴的振動模態中呼吸模態占有很大比例，呼吸模態為古琴振動的主要振動模式。并且當古琴面板與底板的相位相差180°時，呼吸模態所輻射出的響度最大。

(2) 當外部激勵力的頻率與結構系統或聲腔系統頻率接近時會增大聲腔內聲壓，從而提高古琴響度。斫琴師可依據系統的頻率分布，調整按弦的位置以及拔線的力度從而通過調整激勵力頻率來控制古琴響度。

綜上所述，根據對古琴聲固耦合系統的模態分析，得出了古琴共鳴體基本聲振特性，又進一步通過理論分析建立了古琴模態形式與響度的關系，為深入研究古琴響度的可控性提供科學的理論依據。

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Acoustic-structure coupling modal analysis of a Guqin resonator

YU Yang, XU Zhenyu

(The School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

By considering the acoustic-structure coupling between a Guqin resonator and the air in the cavity in the modal analysis, the corresponding displacement field modes and acoustic field modes at different frequencies were obtained. The influences of the air inside the cavity on the vibration of the resonator as well as the influence of the vibration of the resonator on sound pressure in the cavity were investigated by comparing the simulation results of the coupled system with the structural system and the acoustic system. Results reveal that breathing modes have larger contribution to the Guqin’s volume, and the radiating volume from the breathing modes has different forms when the faceplate and baseplate vibrate in different phases. The relationship between the frequencies of exciting forces and the volume of Guqin was built through theoretical deduction. This provides a reference for adjusting Guqin’s volume by changing the frequencies of exciting forces.

Guqin; modal analysis; finite element method; acoustic-structure coupling

2015-06-29修改稿收到日期：2015-09-10

于洋 男，碩士生，1991年1月生

許震宇 男，博士，副教授，1970年8月生

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10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.036