壓電材料中多個孔邊徑向裂紋的動力相互作用

李　冬， 王慧聰， 宋天舒

(1. 河北交通職業技術學院 土木工程系，石家莊　050091；2. 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱　150001)

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壓電材料中多個孔邊徑向裂紋的動力相互作用

李冬1， 王慧聰1， 宋天舒2

(1. 河北交通職業技術學院 土木工程系，石家莊050091；2. 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱150001)

采用Green函數法對壓電材料中多個孔邊徑向裂紋在SH波作用下的相互作用問題進行了研究。首先利用復變函數方法構造出具有多個半圓形凹陷的半無限壓電介質的位移Green函數和電場Green函數，然后采用裂紋“切割”技術構造孔邊徑向裂紋，根據界面上的位移和應力連續性條件建立求解問題的第一類Fredholm定解積分方程。最后作為算例，給出了裂紋尖端動應力強度因子隨缺陷幾何尺寸、材料物理參數和入射波頻率的變化特征圖并進行了討論。

壓電材料；孔邊徑向裂紋；Green函數；動應力強度因子；SH波散射

壓電材料具有獨特的力電耦合性質，因此被廣泛用于制作高精度位移器和傳感器等電子元器件。但由于其本身呈脆性，壓電材料制作的電子器件在工作過程中經常發生電致疲勞和電致斷裂，因而對于壓電材料及結構的力電耦合的靜動力特性研究得到了普遍重視[1-3]。近年來，NARITA等[4]研究了電彈波作用下壓電材料中單一裂紋的能量釋放率問題；MEGUID等[5-6]對壓電材料中多個裂紋在電彈波場作用下的動力反平面問題進行了研究；WANG[7]進一步對雙相壓電材料中多個界面裂紋相互作用的動力學問題進行了探討；周振功等[8-9]分析了壓電材料中兩平行裂紋的相互影響問題。

以上研究均是把缺陷簡化成直線型裂紋來進行研究，但是目前已有部分研究成果表明，將材料中的缺陷一律簡化成直線型裂紋并不總是偏于安全的，比如孔邊裂紋缺陷情況。GARCA-SNCHEZ等[10]對各向異性壓電板中孔邊裂紋的應力強度因子問題采用混合邊界元的方法進行了數值分析；WANG等[11]利用保角映射和復變函數方法分析了無限大壓電材料中圓孔邊徑向Ш型裂紋問題；GUO等[12-13]利用文獻[11]中的方法對壓電材料中橢圓孔邊非對稱雙裂紋的反平面問題進行了探討；宋天舒等[14-15]通過Green函數方法研究了壓電材料中圓孔邊徑向Ш型裂紋在SH波作用下的動力反平面特性。

本文對含有多個圓孔邊徑向裂紋缺陷的橫觀各向同性壓電材料的動力反平面問題進行了分析，討論了在一組穩態電彈波場作用下，裂紋尖端的動應力強度因子隨材料的幾何參數、物理參數以及入射波頻率等因素的變化規律。

1　力學模型與基本方程

含多個圓孔邊徑向有限長度裂紋的橫觀各向同性壓電材料力學模型如圖1所示。介質中含有N個圓孔邊徑向裂紋，且各裂紋均在一條直線上。沿裂紋方向建立xoy整體直角坐標系，并以各圓孔中心為原點建立局部坐標系xnonyn，各圓孔半徑分別為Rn，孔邊裂紋長度取為An，其中，n=1、2、…、N。相鄰裂紋間的距離為d1、d2、…、dN-1，SH波與x軸呈角度a0入射，假定z軸為電極化方向。

圖1　壓電材料中多孔邊徑向裂紋模型Fig.1 Piezoelectric material with radial cracks emanating from the edges of circular cavities

在壓電材料中，穩態的反平面動力學問題的控制方程為[6]：

c442w+e152φ+ρω2w=0,

e152w-κ112φ=0

(1)

式中：e15，κ11和c44分別為材料的壓電系數、介電常數和彈性常數；w和φ為介質的出平面位移和平面內電勢；ω和ρ為入射波圓頻率和材料的質量密度。另外，這里省略了時間諧和因子exp(-iωt)，下同。

(2)

(3)

式中:τrz、τθz、Dr和Dθ分別為兩個剪應力分量和兩個電位移分量。

2　Green函數

本文Green函數采用的是具有多個半圓形凹陷的半無限壓電介質在其水平表面任意一點η0處承受與時間諧和的出平面線源荷載δ(η-η0)作用時位移函數Gw和電勢函數Gφ的基本解，滿足控制方程式(2)的表達式由入射和散射兩部分組成，分別用上標i和s表示[16]：

(4)

式中：

(5)

(6)

將式(4)代入本構方程式(3)，得到相應的應力和電位移表達式，利用邊界條件(6)可得到求解未知系數的無窮代數方程組：

(7)

式中：

其中，κ0為圓孔內的介電常數。

利用周期函數的正交性，式(7)兩邊同乘e-inθ(n=0, ±1, ±2,…)，并在(-π,π)上積分可得：

(8)

式中：

3　定解積分方程

3.1圓孔對SH波的散射

一束穩態的SH波入射到含多個圓孔的無限域壓電介質中，入射角度為a0，其產生的位移場和電勢由入射和散射兩部分組成。其中，入射位移場w(i)和電勢φ(i)可寫成[7]：

(9)

由圓孔產生的散射位移場w(s)和電勢φ(s)可分別寫為：

(10)

則含多個圓孔無限域壓電介質中的總場為：

w(t)=w(i)+w(s)，φ(t)=φ(i)+φ(s)

(11)

(12)

3.2定解積分方程的建立

根據已經得到的含多個圓孔的無限域壓電介質中SH波入射時的總位移場和總電勢以及半無限域中的Green函數，利用“裂紋切割”技術并結合“契合”思想[17]可構造得到壓電介質中多個孔邊徑向導通裂紋對SH波散射的模型，其過程如圖2所示。

圖2　壓電介質中裂紋切割與剖面契合模型Fig.2 The model of cracks’ division and section conjunction in a piezoelectric medium

(13)

f+(r0,θ0)=f-(r0,θ0)=f(r0,θ0)

位移連續性條件為：

w(t+)+w(f+)+w(c+)=w(t-)+w(f-)+w(c-)

(14)

其中,

w(t+)=w(t-)=w(t)

w(f+)=∫Γ0f+(r0,π)Gw(r,θ;r0,π)dr0+

∫ΓNf+(r0,0)Gw(r,θ;r0,0)dr0

w(f-)=-∫Γ0f-(r0,π)Gw(r,θ;r0,π)dr0-

∫ΓNf-(r0,0)Gw(r,θ;r0,0)dr0

這里，

Γ0∈[R1+A1,∞];

Γn∈[Cn+Rn+An,Cn+Rn+An+dn];

ΓN∈[CN+RN+AN,∞];

Π1=Π2∈[R1,R1+A1];

Π2n-1∈[Cn-Rn-An,Cn-Rn];

Π2n∈[Cn+Rn,Cn+Rn+An];

其中，Cn為各圓孔中心到整體坐標系原點的距離，n=1,2,…,N。

由式(13)和(14)并結合上面幾式便可得到求解未知力系f(r0,θ0)的定解積分方程：

∫Γ0f+(r0,π)Gw(r,θ;r0,π)dr0+

∫ΓNf+(r0,0)Gw(r,θ;r0,0)dr0=

θ=0,π

(15)

3.3動應力強度因子的定義與求解

附加的外力系f在裂紋尖端處具有平方根奇異性。引入孔邊徑向裂紋的動應力強度因子kⅢ如下：

(16)

式中:Sn=Cn-Rn-An或Cn+Rn+An(分別對應孔邊裂紋的左端點和右端點)。

為了在定解積分方程中直接包含動應力強度因子以便于求解，對式(15)中的被積函數作如下代換：

(17)

代換后的定解積分方程在裂紋尖端處的數值結果即為動應力強度因子kⅢ的值。本文采用直接數值積分方法，利用散射波的衰減特性，把無窮積分方程轉化為僅含有限項的線性代數方程，用Gauss消元法求解。

(18)

式中:τ0為入射波w(i)的應力幅值τ0=c*kw0。Q是特征參數，具有長度平方根的量綱。其值取SIH[18]在研究此類問題時給出的表達式：

(19)

4　算例和分析

作為算例，本文主要給出了雙圓孔情況下，波垂直入射時，孔邊徑向裂紋內端點(圖中B點所示)的動應力強度因子隨圓孔半徑、裂紋長度、入射波頻率和壓電常數等參數變化的數值結果。其中，各圓孔半徑和孔邊裂紋長度假定相等，分別用R和A表示。

圖3給出了孔邊徑向裂紋和等效長度的直線型裂紋尖端的DSIF值在不同無量綱波數時，隨A/R的變化?？梢钥吹?，兩種模型下裂紋尖端的DSIF值大小交替變化，范圍從-73%～98%。由此表明，“將非裂紋缺陷一律簡化為Griffith裂紋是偏于安全的”假設并不總成立。

圖4給出了A/R取不同值時，DSIF值隨無量綱波數kR的變化情況。分析發現，當A/R=1 000，即退化到兩直線型裂紋模型時，其值與文獻[6]中的數據基本吻合。各DSIF值曲線隨波數的增大而振蕩衰減，其峰值隨A/R減小而減小。當A/R=1.0和2.0時，其DSIF曲線峰值分別比A/R=1 000時的峰值大14%和31%。由此說明，當裂紋尺寸相對于圓孔半徑相差不大時，圓孔對DSIF峰值的影響較明顯。

圖5給出了壓電常數λ取不同值時，DSIF值的變化情況。由圖可見，當波數kR=0.3左右時，各DSIF曲線取得峰值，且其值隨λ增加而增大。當波數kR>0.6左右時，各曲線變化趨勢剛好相反。隨著波數的增加，以上變化趨勢又重復出現。

圖6給出了兩圓孔邊裂紋間相對距離d/R不同時，DSIF值的變化情況?？梢钥吹?，d/R值越小，DSIF峰值越大，表明兩圓孔邊裂紋間的相互作用越明顯。隨著無量綱波數的增加，各DSIF值曲線振蕩衰減。

圖6　裂紋尖端的DSIF隨d/R和kR的變化Fig.6 Variation of DSIF at the crack-tip vs.d/R and kR

圖7　不同裂紋數量下裂紋尖端的DSIF隨kR的變化Fig.7 Variation of DSIF at the crack-tip vs. kR under different crack numbers

圖7給出了不同孔邊裂紋數量，各裂紋間距離均為d時，DSIF值隨波數kR的變化情況。由圖可見，孔邊裂紋數目為1時，其DSIF值曲線與文獻[14]中的結果基本吻合，進一步驗證了計算結果的正確性。各曲線峰值均在低頻kR< 0.5時取得，隨著孔邊裂紋數量的增加，其DSIF峰值逐漸增大，取得峰值時的頻率逐漸向低頻移動。隨著無量綱波數的增加，孔邊裂紋數量的影響逐漸減弱。

5　結　論

本文采用Green函數法、復變函數方法、裂紋“切割”技術和“契合”思想對壓電材料中多個孔邊徑向裂紋在SH波作用下裂紋尖端的動應力強度因子問題進行了研究。主要結論如下：

(1) 在動態問題中，孔邊徑向裂紋尖端的DSIF值并不總是小于等效長度的直線型裂紋尖端的DSIF值。特別當裂紋長度與圓孔半徑相差不大時，將孔邊徑向裂紋簡化成直線型裂紋計算將引起明顯誤差，最高可達98%左右；

(2) 孔邊徑向裂紋尖端的DSIF值隨入射波頻率的增加振蕩衰減，在低頻段時DSIF曲線取得峰值，因此低頻情況下的動力分析更為重要；

(3) 圓孔與裂紋尺寸、裂紋間距離及壓電常數等都影響裂紋尖端的DSIF值。裂紋尺寸與圓孔半徑為同一量級，裂紋間距離越小，壓電常數越大，孔邊徑向裂紋尖端的DSIF峰值就越大；

(4) 圓孔邊裂紋數目的增加會改變裂紋尖端的DSIF峰值，孔邊裂紋數量越多，DSIF曲線峰值越大。

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Dynamic behaviors of interacting radial cracks at the edge of the circular cavities in piezoelectric medium

LI Dong1, WANG Huicong1, SONG Tianshu2

(1. Department of Civil Engineering, Hebei Jiaotong Vocational & Technical College, Shijiazhuang 050091, China;2. School of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Based on the method of Green’s function, this work studied the interaction of the radial cracks emanating from the edges of the circular cavities in piezoelectric material, which was subjected to the dynamic incident anti-plane shearing wave(SH-wave). Firstly, coupled Green’s functions for displacement and electric potential were established by using a complex variable method. Secondly, crack-division technique was used to construct the model of radial cracks. The problem was reduced to a series of Fredholm integral equations of the first type according to the continuity conditions of the displacement and stress at the interface. Finally, numerical results were provided by solving the equations to show the influences of the geometry parameters, piezoelectric characteristic parameters, and the wave frequencies of incident wave on the dynamic stress intensity factors(DSIFs) at the crack tips.

piezoelectric medium; radial cracks emanating from the edge of the circular cavities; Green’s function; dynamic stress intensity factor(DSIF); SH-wave scattering

河北省教育廳青年自然科學基金項目(Q2012031)

2015-04-23修改稿收到日期：2015-08-12

李冬 男，博士，講師，1983年9月生

O346.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.028