考慮局部非線性影響的設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用研究

姜忻良, 張崇祥

(天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室 (天津大學(xué))，天津　300072)

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考慮局部非線性影響的設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用研究

姜忻良, 張崇祥

(天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室 (天津大學(xué))，天津300072)

針對某些設(shè)備在地震時容易破壞的特點，進(jìn)行考慮設(shè)備非線性因素影響的設(shè)備-結(jié)構(gòu)動力相互作用體系分析。引入了能考慮局部非線性的混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法，并將設(shè)備作為非線性二級子結(jié)構(gòu)參與分析，導(dǎo)出了線性與非線性耦合的混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)方程。應(yīng)用該方法進(jìn)行了設(shè)備-結(jié)構(gòu)動力相互作用體系三種不同計算模型的地震時程響應(yīng)分析。研究表明：一般情況下，考慮非線性設(shè)備與線性結(jié)構(gòu)相互作用后，結(jié)構(gòu)反應(yīng)有所減小，設(shè)備反應(yīng)增大，具體結(jié)果不僅與結(jié)構(gòu)自身特性有關(guān)而且與地震動類型密切相關(guān)。提出的該方法具有計算可靠、效率高的特點。

混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法；二級子結(jié)構(gòu)；設(shè)備-結(jié)構(gòu)；動力相互作用；有限元；局部非線性

現(xiàn)代建筑結(jié)構(gòu)中非結(jié)構(gòu)類構(gòu)件所占比例越來越多，特別是在生產(chǎn)生活中廣泛應(yīng)用的儀器設(shè)備等，從而形成具有獨特動力特性的設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用體系。由于設(shè)備的易損性特點，即使震后結(jié)構(gòu)性能完好但內(nèi)部設(shè)備可能已發(fā)生損壞，影響震后救災(zāi)工作。所以近年來，考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用抗震性能研究逐漸引起人們的重視。當(dāng)前設(shè)備-結(jié)構(gòu)動力相互體系的分析方法主要有兩種：① 樓面反應(yīng)譜法，樓面反應(yīng)譜法發(fā)展經(jīng)歷了兩個階段。第一代樓面反應(yīng)譜法將不含設(shè)備的結(jié)構(gòu)樓面反應(yīng)作為輸入，求得具有不同自振周期設(shè)備的反應(yīng)，由于它不考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用，所得到的樓面譜可能有較大的誤差；第二代樓面譜，通過不同計算途徑考慮設(shè)備與結(jié)構(gòu)之間質(zhì)量比、諧振等相互作用因素影響，計算得到更可靠的樓面譜。秦權(quán)等[1-4]應(yīng)用第二代樓層反應(yīng)譜法研究了結(jié)構(gòu)上的設(shè)備反應(yīng)情況；② 設(shè)備與結(jié)構(gòu)耦合分析方法包括模態(tài)分析和時域分析法，LGUSA等[5]采用模態(tài)分析方法對二階系統(tǒng)的進(jìn)行了地震反應(yīng)分析。MANOLIS等[6]采用時域子結(jié)構(gòu)分析方法研究不同設(shè)備參數(shù)下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)變化。該方法存在主要不足耦合分析產(chǎn)生過多的自由度，特別是當(dāng)其中一個部件特性發(fā)生改變時，涉及到整個二階系統(tǒng)方程需要重新計算。子結(jié)構(gòu)法[7]是此問題一種很好的解決方法，李杰等[8]應(yīng)用子結(jié)構(gòu)法研究了空間設(shè)備-結(jié)構(gòu)在經(jīng)典阻尼與非經(jīng)典阻尼情況下的彈性解，計算的設(shè)備動力響應(yīng)結(jié)果與實測結(jié)果吻合良好。由于子結(jié)構(gòu)法基于疊加原理，一般只適用于線性分析的情況。地震作用下設(shè)備進(jìn)入非線性狀態(tài)后，設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用體系的抗震性能將發(fā)生變化。姜忻良等[9-10]提出了混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法，該方法將有限元法與子結(jié)構(gòu)法相結(jié)合能夠有效求解局部非線性分析問題。

本文首先引入混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法求解考慮局部非線性影響的設(shè)備-結(jié)構(gòu)動力相互作用分析問題，能考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用，其中設(shè)備作為非線性二級子結(jié)構(gòu)參與分析。然后利用MATLAB編程軟件，以某鋼框架結(jié)構(gòu)為例，進(jìn)行設(shè)備-結(jié)構(gòu)動力相互作用體系地震時程響應(yīng)分析，研究考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用對結(jié)構(gòu)與設(shè)備反應(yīng)的影響以及混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法在設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互問題中適用性。

1　設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用計算方法

許多建筑結(jié)構(gòu)設(shè)置專門的設(shè)備層，以解決諸如精密的儀器、冷卻塔、水泵、空調(diào)器、熱交換機等建筑設(shè)備的放置問題，為研究考慮相互作用后的結(jié)構(gòu)或設(shè)備抗震性能變化，需要建立完整的結(jié)構(gòu)-設(shè)備動力相互作用分析模型。如圖1所示框架結(jié)構(gòu)-設(shè)備相互作用體系模型，結(jié)構(gòu)由梁柱連接構(gòu)成，設(shè)備固定結(jié)構(gòu)某一樓層，根據(jù)設(shè)備特點其計算模型可作相應(yīng)簡化。

圖1　結(jié)構(gòu)-設(shè)備相互作用體系模型Fig.1 Model of structure-equipment systems

1.1計算模型

由于設(shè)備易損性特點，地震作用下容易進(jìn)入非線性狀態(tài)，此時結(jié)構(gòu)可能仍處于線性狀態(tài)。根據(jù)文獻(xiàn)[9-10]提出的求解線性-非線性問題的混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法，本文將設(shè)備作為非線性二級子結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)作為線性子結(jié)構(gòu)，對線性子結(jié)構(gòu)依照勢能判據(jù)截斷準(zhǔn)則[11]進(jìn)行自由度的縮減，并最終與無縮減的非線性子結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合，從而獲得整個體系的動態(tài)響應(yīng)。

如圖1所示的設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用體系中結(jié)構(gòu)部分較規(guī)則，可以將結(jié)構(gòu)部分劃成兩種子結(jié)構(gòu)形式分別是不含設(shè)備的框架層一級子結(jié)構(gòu)f和含設(shè)備的框架層一級子結(jié)構(gòu)s，同時將設(shè)備劃成非線性二級子結(jié)構(gòu)e參與分析。因為一級子結(jié)構(gòu)s需要與二級子結(jié)構(gòu)e合成框架層-設(shè)備一級子結(jié)構(gòu)(h)參與計算，所以需要在框架層與設(shè)備連接處劃分單元節(jié)點，而一級子結(jié)構(gòu)f該位置處不需要劃分單元節(jié)點，這也是一級子結(jié)構(gòu)f與s的區(qū)別。各子結(jié)構(gòu)具體形式如圖2所示。

圖2　混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法建模過程Fig.2 Modeling procedure of mixed dynamic substructure method

其中計算關(guān)鍵步驟如下：

步驟1線性子結(jié)構(gòu)與非線性二級子結(jié)構(gòu)計算矩陣的形成。應(yīng)用固定界面模態(tài)綜合法根據(jù)模態(tài)截取準(zhǔn)則對線性子結(jié)構(gòu)進(jìn)行自由度縮減，將其物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)表示，而非線性子結(jié)構(gòu)保留原有自由度不進(jìn)行任何縮減。所以設(shè)備保留完整計算矩陣形成非線性二級子結(jié)構(gòu)e；

步驟2一級子結(jié)構(gòu)s與非線性二級子結(jié)構(gòu)e進(jìn)行邊界對接。由于固定界面模態(tài)綜合法實施時具有約束邊界模態(tài)坐標(biāo)與物理坐標(biāo)相等特點，根據(jù)一級子結(jié)構(gòu)s與二級子結(jié)構(gòu)e的對接邊界的位移協(xié)調(diào)條件，計算得到兩種子結(jié)構(gòu)的邊界對接的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，然后進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換合成包含局部非線性二級子結(jié)構(gòu)的一級子結(jié)構(gòu)h；

步驟3一級子結(jié)構(gòu)f-f或f-h的邊界對接。兩種一級子結(jié)構(gòu)都采用固定界面模態(tài)綜合法，形成縮減的計算矩陣。根據(jù)約束模態(tài)綜合法特點得到兩種子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，消去不獨立的邊界模態(tài)坐標(biāo)，逐步形成整體計算模型。

1.2計算方程

上文所述方法具體實施過程中分以下幾步建立設(shè)備-結(jié)構(gòu)動力相互作用體系的運動計算方程。

1.2.1構(gòu)建局部非線性二級子結(jié)構(gòu)e運動方程

地震動作用下，設(shè)備運動方程如下。

(1)

按內(nèi)部節(jié)點與外部節(jié)點將方程分塊見式(2)，因二級子結(jié)構(gòu)e是非線性的，其計算矩陣不做模態(tài)縮減。其中上標(biāo)e表示二級子結(jié)構(gòu)名稱，下標(biāo)i表示內(nèi)部節(jié)點，下標(biāo)b表示邊界節(jié)點，分塊后質(zhì)量、阻尼、剛度與荷載矩陣見式(3)。

(2)

(3)

非線性二級子結(jié)構(gòu)e的本構(gòu)模型采用如圖3所示的隨動強化雙折線模型，該雙折線模型描述設(shè)備的力-變形關(guān)系，其中Fy表示設(shè)備的屈服荷載，K1表示設(shè)備屈服前剛度，K2表示設(shè)備屈服后剛度。當(dāng)二級子結(jié)構(gòu)e進(jìn)入非線性階段后，需更新其剛度矩陣，然后重新分塊計算。

圖3　設(shè)備力-變形關(guān)系曲線Fig.3 Load-deflection relation of the equipment

1.2.2二級子結(jié)構(gòu)e嵌入一級子結(jié)構(gòu)s中形成一級子結(jié)構(gòu)h

(4)

因為一級子結(jié)構(gòu)s是線性的，需按固定界面模態(tài)綜合法進(jìn)行模態(tài)縮減。一級子結(jié)構(gòu)s模態(tài)縮減矩陣Φs見式(5)，包括主模態(tài)與約束模態(tài)兩部分。

(5)

(6)

(7)

根據(jù)式(5)知，固定界面模態(tài)綜合法中廣義邊界坐標(biāo)與物理邊界坐標(biāo)相等，則一級子結(jié)構(gòu)s廣義邊界坐標(biāo)見式(8)。

(8)

上式說明固定界面模態(tài)綜合法中模態(tài)變換僅對內(nèi)部自由度作縮減，邊界自由度保持不變。將式(5)代入式(4)中，同時式(4)兩邊左乘[Φs]T，得到線性一級子結(jié)構(gòu)s廣義坐標(biāo)下運動方程見式(9)，其廣義質(zhì)量、阻尼、剛度和荷載矩陣計算方程見式(10)。

(9)

(10)

(11)

這樣就消去不獨立的廣義坐標(biāo)，形成一級子結(jié)構(gòu)h運動計算方程見式(12)，其中一級子結(jié)構(gòu)h的質(zhì)量、阻尼、剛度與荷載矩陣，具體計算方程見式(13)。

(12)

(13)

1.2.3一級子結(jié)構(gòu)f-f或f-h對接

因為一級子結(jié)構(gòu)f-f或f-h之間邊界對接條件類似，下面以一級子結(jié)構(gòu)f-h對接為例，說明兩者對接計算方法。其中一級子結(jié)構(gòu)f模態(tài)縮減方法同一級子結(jié)構(gòu)s，兩者區(qū)別是保留邊界位移不同。根據(jù)一級子結(jié)構(gòu)f與h的邊界位移協(xié)調(diào)條件，確定坐標(biāo)變換矩陣Thf見式(14)。

然后消去不獨立的廣義坐標(biāo)形成兩種一級子結(jié)構(gòu)f-h綜合后計算方程見式(15)，其中mhf、chf、khf、fhf表示一級子結(jié)構(gòu)h與f耦合后的質(zhì)量、阻尼、剛度與荷載矩陣，計算方程參考式(13)。

(14)

(15)

然后將模型中所有的一級子結(jié)構(gòu)f-f或f-h對接，這樣逐步建立設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用整體計算模型，計算方程參考式(16)，其中n1、n2分別表示一級子結(jié)構(gòu)f-h和f-f的對接數(shù)量。

(16)

因二級子結(jié)構(gòu)e作為非線性二級子結(jié)構(gòu)參與分析，需將Newmark-β積分方法與Newton-Raphson迭代求解方法相結(jié)合，然后根據(jù)力或位移收斂準(zhǔn)則得到每一步計算的收斂解。下文將應(yīng)用上述考慮局部非線性影響的混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法計算設(shè)備-結(jié)構(gòu)動力相互作用問題。

2　設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互體系地震時程分析

某高層鋼框架設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用體系參考圖1，進(jìn)行地震時程響應(yīng)分析，結(jié)構(gòu)梁柱材料參數(shù)詳見表1，其中鋼材彈性模量取2.0×1011Pa。結(jié)構(gòu)為9層3跨，跨度均為7.32 m，層高3.56 m。第1～8層包括結(jié)構(gòu)與非結(jié)構(gòu)每層總的抗震質(zhì)量2.02×105kg，第9層總抗震質(zhì)量為1.71×105kg。此外，結(jié)構(gòu)內(nèi)放置的某大型計算設(shè)備分為三層，層高0.83 m，每層質(zhì)量9.05×102kg，抗彎剛度5.48×102kN·m2，抗壓剛度8.9×103kN，設(shè)備的屈服彎矩31.35 kN·m，設(shè)備屈服后剛度與屈服前剛度比值取0.01，其卸載剛度與初始彈性剛度相等。設(shè)備初始位置固定在結(jié)構(gòu)頂層。建立該結(jié)構(gòu)動力分析模型，梁柱單元采用Euler-Bernoulli梁單元，阻尼矩陣基于Rayleigh阻尼假定，其中結(jié)構(gòu)阻尼比取0.04，設(shè)備阻尼比取0.03，各子結(jié)構(gòu)阻尼矩陣組裝方法參考上文1.2所述。采用集中法形成質(zhì)量矩陣，其中一個單元包括兩個節(jié)點6個自由度，每個節(jié)點有3個自由度分別是橫向、豎向與轉(zhuǎn)動自由度。設(shè)備簡化成同樣梁單元形式，質(zhì)量與阻尼矩陣同樣采用上述假定。因設(shè)備與結(jié)構(gòu)采用相同單元形式，兩者通過連接點位移協(xié)調(diào)條件形成約束方程，建立設(shè)備與結(jié)構(gòu)間連接關(guān)系。

表1　梁柱材料參數(shù)

為分析考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用對結(jié)構(gòu)與設(shè)備反應(yīng)帶來的影響，分三種工況進(jìn)行分析：(a) 模型1-考慮設(shè)備與結(jié)構(gòu)間的反饋作用，即建立設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用的整體模型進(jìn)行計算分析；(b) 模型2-不考慮設(shè)備與結(jié)構(gòu)相互作用，此時計算模型即單一結(jié)構(gòu)模型。該工況下若進(jìn)行設(shè)備的反應(yīng)分析，按照以下步驟計算：① 首先進(jìn)行模型2的地震時程響應(yīng)分析；② 然后將設(shè)備與結(jié)構(gòu)連接點(即結(jié)構(gòu)頂層中心處)的絕對加速度響應(yīng)作為設(shè)備輸入激勵，計算得到設(shè)備的時程響應(yīng)，此時得到設(shè)備的響應(yīng)是設(shè)備相對于結(jié)構(gòu)頂層的相對反應(yīng)；(c) 模型3-設(shè)備作為附加質(zhì)量考慮，將設(shè)備質(zhì)量附加到所在樓層質(zhì)量中，此時計算模型僅包括結(jié)構(gòu)，僅考慮設(shè)備附加質(zhì)量的影響。各模型采用混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)計算時子結(jié)構(gòu)劃分如下，模型1中子結(jié)構(gòu)劃分根據(jù)是否含設(shè)備劃分為兩種線性子結(jié)構(gòu)，將1～8層劃為一級線性子結(jié)構(gòu)f，第9層劃分為一級線性子結(jié)構(gòu)s，設(shè)備作為非線性二級子結(jié)構(gòu)e參與計算；模型2、3中結(jié)構(gòu)均不含設(shè)備，可劃分為一級線性子結(jié)構(gòu)f計算即可，兩種模型區(qū)別在于結(jié)構(gòu)第9層的質(zhì)量不同。

2.1選取地震動

圖4　地震動加速度時程曲線Fig.4 Acceleration time history curves of earthquake ground motions

本文從PEER強震地震動數(shù)據(jù)庫中(PEER Strong Motion Database)選取適用于Ⅱ類場地分析Kobe波、Taft波與Loma波作為設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用體系加載激勵，各地震動的加速度時程曲線如圖4所示。按8度中震階段進(jìn)行地震分析時，三條地震動加速度調(diào)幅到200 cm/s2，本文設(shè)計丙類建筑按《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(GB 50011—2010) 8度抗震性能2的要求即中震下結(jié)構(gòu)完好，附屬構(gòu)件不同程度破壞。同時試算表明結(jié)構(gòu)接近進(jìn)入非線性狀態(tài)，設(shè)備已處于非線性狀態(tài)，所以此時將結(jié)構(gòu)作為線性子結(jié)構(gòu)參與分析，設(shè)備作為非線性二級子結(jié)構(gòu)參與分析是合理的。由于力與變形控制是結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計考慮主要因素，所以本文選取結(jié)構(gòu)每層最大水平位移與層間總剪力作為結(jié)構(gòu)分析參考指標(biāo)，選取設(shè)備頂層的位移時程響應(yīng)作為設(shè)備分析的參考指標(biāo)，其中結(jié)構(gòu)每層位移均是相對地面的位移。

2.2設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用的影響

當(dāng)前研究設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用分析模型主要有三種，因此本文分別進(jìn)行三種不同計算模型地震時程分析，比較不同工況下各模型計算結(jié)果的差異。包括：① 比較不同地震動作用下結(jié)構(gòu)每層的最大位移與層間總剪力的計算結(jié)果變化；② 分析不同地震動作用下設(shè)備頂層位移時程響應(yīng)的差異。

2.2.1各地震動作用下結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析

為說明各模型計算結(jié)果的差異，首先分析各地震動作用于不同的計算模型結(jié)構(gòu)反應(yīng)的差異，然后對比不同地震動作用于模型1時結(jié)構(gòu)反應(yīng)變化，分析不同地震動的影響。

(1) 各地震動作用于不同模型的計算分析

如圖5所示三種模型在Kobe地震動作用下結(jié)構(gòu)每層水平方向最大位移與總層間剪力分布圖中看出：結(jié)構(gòu)位移與剪力變化趨勢相似，計算結(jié)果按從大到小排列依次為模型2、模型3與模型1，其中模型2、3底部剪力相對于模型1分別增大5.3%和2.5%，最大位移變化最大處位于頂層，位移分別增大4.9%和2.7%。Taft地震動作用下結(jié)構(gòu)位移與剪力變化趨勢與Kobe地震動作用下相似，計算結(jié)果按從大到小排列依次為模型2、模型3與模型1，其中第5層結(jié)構(gòu)最大位移差異明顯，模型1的最大位移相對于模型2、3分別減小了9.3%和7.7%；同時結(jié)構(gòu)層間剪力從底層到第5層之間存在較明顯的變化，其中模型1底層層間剪力相對于模型2、3分別減小了12.8%和10.4%。而Loma地震動作用下，模型1、3的計算結(jié)果均大于模型2計算結(jié)果，其中模型1中結(jié)構(gòu)頂層位移和底層剪力相對于模型2分別增大了8.3%和9.8%。

圖5　Kobe、Taft與Loma地震動作用下各模型中結(jié)構(gòu)每層最大位移與層間總剪力分布圖Fig.5 The maximal floor displacement and total shear under Kobe, Taft and Loma earthquake ground motions

(2) 不同地震動作用于模型1計算結(jié)果差異分析

從圖6所示模型1在三種不同地震動下結(jié)構(gòu)位移與層間剪力對比圖中發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)Kobe地震動下結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)最大，其中結(jié)構(gòu)頂層最大位移相對應(yīng)Taft、Loma地震動作用下分別增大49.9%和34.5%，同時結(jié)構(gòu)底層層間剪力相對于Taft、Loma地震動作用下分別增大8.9%和14.1%。比較發(fā)現(xiàn)Loma地震動作用下結(jié)構(gòu)層間剪力最小，與Taft地震動相比較，其位移反應(yīng)并非總是最小的，其作用下結(jié)構(gòu)6～9層位移反應(yīng)較大，其他區(qū)域結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)最小，說明結(jié)構(gòu)反應(yīng)不僅與本身的特性有關(guān)，而且與地震動類型關(guān)系密切。

上述分析表明通常考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)的相互作用將減小結(jié)構(gòu)的反應(yīng)，并且結(jié)構(gòu)反應(yīng)與地震動類型關(guān)系密切。在某些情況下忽略設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用將對結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計將產(chǎn)生不利的影響，如Loma地震動作用下考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用后結(jié)構(gòu)反應(yīng)增大，因此為了弄清具有設(shè)備的結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的真實情況，建立完備的設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用的整體分析模型十分必要。

2.2.2各地震動作用下設(shè)備反應(yīng)分析

為更清晰說明各地震動作用下考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用下對設(shè)備反應(yīng)影響，分別計算得到模型1與2中設(shè)備頂端的相對于結(jié)構(gòu)頂端中心處的位移時程響應(yīng)，其中模型1中需要將設(shè)備反應(yīng)與結(jié)構(gòu)頂端中心處的反應(yīng)相減，得到設(shè)備相對于結(jié)構(gòu)頂端中心處反應(yīng)。從圖7所示的不同模型中設(shè)備頂端的位移時程響應(yīng)圖以及計算結(jié)果表明：Kobe地震動作用下考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用(模型1)時相對于不考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用(模型2)時，設(shè)備頂端最大位移增大14.8%，并且從7.5～20 s之間模型1中設(shè)備頂端的位移反應(yīng)均大于模型2的計算結(jié)果。Taft地震動下考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用后設(shè)備位移反應(yīng)明顯大于不考慮相互影響的情況，其中設(shè)備頂端最大峰值位移增大了18.0%。從圖中發(fā)現(xiàn)Loma地震動作用下，設(shè)備位移波動幅度較小，其中模型1中設(shè)備頂端的峰值位移相對于模型2中增大了8.3%，而且模型1與模型2中設(shè)備頂端位移時程曲線基本重合在一起。

圖7　不同模型中設(shè)備頂端位移時程響應(yīng)曲線Fig.7 Top displacement time history curves of the equipment in different models

進(jìn)一步比較不同地震動作用下，模型1中設(shè)備頂端的峰值位移反應(yīng)，發(fā)現(xiàn)Kobe地震動下設(shè)備頂端的峰值位移反應(yīng)相對Taft、Loma地震動下分別增大了40.9%和36.8%，同樣說明設(shè)備位移反應(yīng)大小與地震動類型關(guān)系密切。

比較是否考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)的相互作用的設(shè)備位移反應(yīng)計算結(jié)果，表明一般情況下考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用引起設(shè)備峰值反應(yīng)的增大，主要是因為設(shè)備與結(jié)構(gòu)之間存在相互作用力傳遞，此作用力將對設(shè)備的反應(yīng)產(chǎn)生一定的影響。當(dāng)?shù)卣饎硬煌瑫r，設(shè)備-結(jié)構(gòu)之間的相互作用也將產(chǎn)生不同的影響結(jié)果。因此對于設(shè)備而言，為了真實反映設(shè)備的反應(yīng)，建立完備的設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用的整體分析模型同樣重要。

2.3適用性分析

結(jié)合上文2中所述結(jié)構(gòu)與設(shè)備的材料參數(shù)，按照有限元方法形成Euler-Bernoulli梁單元剛度與質(zhì)量矩陣，然后組裝成整體桿系模型。計算時電腦安裝Win7系統(tǒng)，CPU采用CORE i5四核處理器，內(nèi)存4 G，硬盤500 G容量。下文對設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用體系(模型1)縮減前與縮減后的動力分析模型進(jìn)行計算精度分析。以Kobe地震動作用下為例，提取設(shè)備與結(jié)構(gòu)頂層的位移時程響應(yīng)曲線如圖8所示。從圖中發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)與設(shè)備縮減前的有限元計算結(jié)果與縮減后混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法計算結(jié)果基本吻合在一起，說明了混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法的有效性。

圖8　對比模型1縮減前后結(jié)構(gòu)與設(shè)備頂端位移時程響應(yīng)圖Fig.8 Comparison of top displacement time history curves of the structure and equipment on reduced and full models

名稱自由度數(shù)耗時混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法(模型1)366.96傳統(tǒng)有限元法(模型1) 1209.99傳統(tǒng)有限元法(模型2) 1207.81

從表2中兩種方法的計算耗時與模型自由度個數(shù)對比中發(fā)現(xiàn)，與傳統(tǒng)的有限元分析方法比較，模型1按混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法將設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用體系中線性子結(jié)構(gòu)f保留前12階模態(tài)，使得計算有效自由度數(shù)由120縮減到36個，自由度數(shù)降低到原來的30.0%，計算時間由9.99 s降低到6.96 s，計算時間減少30.3%。此外混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法相應(yīng)處理需額外時間。按照傳統(tǒng)有限元法分別計算模型2與模型1，與模型1相比，模型2的計算時間減小21.8%。因為此時模型2中結(jié)構(gòu)是線性的，只有設(shè)備需要非線性迭代計算，但是計算模型2的中間過程需花費較多時間，此外該模型沒有考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用。結(jié)合上文計算精度分析，應(yīng)用混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法模型1計算結(jié)果在保證計算準(zhǔn)確的前提下，由于混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法采用少量的振動模態(tài)代替過多自由度參與計算，使得計算方程數(shù)量明顯減少，非線性方程迭代數(shù)量降低，計算效率明顯提高，達(dá)到計算可靠高效的目的。

上述分析表明，混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法將不易進(jìn)入非線性階段的部分劃成線性子結(jié)構(gòu)，并采用少量的模態(tài)坐標(biāo)代替過多自由度參與計算，能夠減少計算方程的數(shù)目，而且不必在整體非線性模型中反復(fù)進(jìn)行迭代計算，最后與非線性子結(jié)構(gòu)的綜合來求解整體非線性方程，這樣就以極小的計算成本，得到非線性體系的動力解，從而有效提高了計算效率。

3　結(jié)　論

考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)動力相互作用整體分析模型能夠更準(zhǔn)確反映設(shè)備與結(jié)構(gòu)抗震性能的實際狀況，本文引入混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法求解考慮局部非線性影響的設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用問題，將設(shè)備作為非線性二級子結(jié)構(gòu)參與分析，然后利用MATLAB編程軟件建立基于混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法的設(shè)備-結(jié)構(gòu)動力相互作用模型，對比不同計算模型地震響應(yīng)分析結(jié)果表明：

(1) 考慮設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用對結(jié)構(gòu)與設(shè)備反應(yīng)有不同的影響，具體計算結(jié)果不僅結(jié)構(gòu)自身特性有關(guān)，而且與地震動類型關(guān)系密切。

(2) 考慮非線性設(shè)備與線性結(jié)構(gòu)相互作用時能減小結(jié)構(gòu)的反應(yīng)，因為設(shè)備的塑性變形耗散部分地震能量從而使得結(jié)構(gòu)反應(yīng)有所減小，而相應(yīng)地導(dǎo)致設(shè)備位移反應(yīng)增大，塑性變形增加，設(shè)備的抗震性能將發(fā)生明顯變化。

(3) 與傳統(tǒng)的有限元方法計算相比較，采用混合動態(tài)子結(jié)構(gòu)法在保證計算結(jié)果準(zhǔn)確的前提下，計算效率明顯提高。

以上結(jié)論主要由中震下“強結(jié)構(gòu)弱設(shè)備”情況而得到，然而影響設(shè)備-結(jié)構(gòu)相互作用應(yīng)有諸多因素，因此設(shè)備與結(jié)構(gòu)抗震性能變化需要開展更詳細(xì)的研究。

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The study of equipment-structure interaction considering the effect of local nonlinearity

JIANG Xinliang, ZHANG Chongxiang

(School of Civil Engineering, Tianjin University/Key Laboratory of Coastal Civil Engineering Structure and Safety(Tianjin University), Ministry of Education, Tianjin 300072, China)

Some equipment can be easily damaged in earthquake, it is thus important to analyze equipment-structure interaction with considering the nonlinear effect of the equipment. The mixed dynamic substructure method which considered the local nonlinearity was introduced, and the equipment was simulated as a nonlinear secondary substructure, then the mixed dynamic substructure equation about linear and nonlinear coupling was derived. Time history analysis of equipment-structure systems which involved three calculation models was performed. Results indicate that the structural response decreases in general when the influence of nonlinear equipment and linear structure interaction is considered. Meanwhile, it leads to the larger deformation of the equipment. The results are closely related to the structural characteristics and the types of ground motion. The mixed dynamic substructure method has reliable and efficient characteristics.

mixed dynamic substructure method; secondary substructure; equipment-structure; dynamic interaction; finite element; local nonlinearity

國家自然科學(xué)基金資助項目(51478312)；國家自然科學(xué)基金項目(51278335)

2015-06-19修改稿收到日期：2015-09-05

姜忻良 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1951年生E-mail:jiangxinliang@126.com

TU317

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.018