自然數的基數意義與大小比較

張新春

自然數的基數意義與大小比較

張新春

自然數的基數意義

有了集合等價的概念，我們就可以定義基數意義下的自然數了。

讓我們想象一下，把所有有限集合進行分類，分類的標準是：凡是互相等價的集合都分為一類。這樣一來，你家那只叫小黃的狗所成的集合｛小黃｝和你家那條沒有名字的金魚所成的集合｛無名金魚｝以及你的一個中指（不妨用字母P表示）所成的集合｛P｝就屬于一類。而｛A，B，C，D，E｝，｛五只羊｝，｛張三左手的五個手指｝，這些集合又屬于另一類。在這里，我們并不關心這些集合中對象的具體屬性是什么。它們之所以屬于一類，是因為它們有不依賴于對象特殊性質的共同屬性。這種共同屬性（或特征）的標志就叫做集合的基數。事實上，“1”就是上述第一類集合的共同屬性，而“5”就是上述第二類集合的共同屬性。對有限集合來說，它的基數就是自然數。或者說，互相等價的一類集合的共同屬性即是自然數。

在｛a｝中添加一個元素b，得到的集合｛a，b｝也是有限集合，與它等價的所有集合的基數記作2；

……

基數意義自然數的大小比較

把自然數定義為集合的基數，解決了“自然數是什么”的問題。只有在此基礎上明確自然數的一些主要屬性，才能應用自然數這個概念。基數意義下的自然數首要的應用就是計數，即數物體的個數。物體的個數有多有少，因此，我們必須規定自然數的大小。

我們不妨先看看小學數學教材上的處理。

下圖是人教版教材中比較自然數大小的處理方式。我們嚴格定義自然數大小的方法與這種處理方法完全類似，只是用的是集合的語言。

上述左圖中兔子集合與籠子集合能建立起一一對應的關系（即兩個集合等價），我們說兩個集合中的元素個數相等，即4=4。而右圖中小豬集合不能與木棒集合建立起一一對應的關系（即它們不等價），但我們可以看出，小豬集合與木棒集合的“一部分”能建立起一一對應的關系。這種一個集合全體與另一個集合的“一部分”建立起一一對應的關系，就規定出了“多”和“少”，也就規定出了這兩個集合所對應的自然數的“大”和“小”。即3＜4或4＞3。為了用集合的語言表述所謂“一部分”，我們建立了子集的概念。如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，我們就說集合A是集合B的子集。比如，集合A=｛1，2，3｝是集合B=｛1，2，3，4｝的子集。特別地，一個集合也是它自己的子集。這一點只要對照子集的定義就可以知道。有時候不需要考慮這種特別的情況。于是我們把一個集合不同于自己的子集叫做真子集。即，集合A是集合B的真子集，就是說集合A中的元素都是集合B中的元素，但集合B中至少有一個元素不在集合A中。一個集合的真子集就是這個集合的“一部分”。

下面我們來定義自然數的大小。

定義：兩個有限集合A和B的基數分別用自然數a和b表示，那么：

當集合A的一個真子集與集合B等價（即能建立起一一對應的關系）時，稱a大于b，記作a＞b。

當集合A與集合B的一個真子集等價時，稱a＜b，記作a＜b。

當集合A與集合B等價時，稱a等于b，記作a=b。

這種比較大小的方式被推廣到了無限。我們說自然數個數與偶數個數一樣多，就是在這種意義上說的。因為自然數集合和偶數集合是等價的——能建立起一一對應的關系。事實上自然數的個數與有理數的個數也一樣多，但實數的個數就多于有理數的個數。