運用“圖式”表征優化小學高年級數學學困生認知結構

祝菊榮

以往對數學學困生的轉化研究，比較多的是著重從非認知的角度轉化，以激發學習興趣，糾正學習習慣，強化學習動機等方面下功夫。或者側重于創設適合學困生的學習情境，加強師生之間的溝通，了解學困生學習狀態來解決問題。以上這些方面的努力，只是從非智力因素的角度解決學困生的學習困難。但是在教學中我們發現，數學學困生掌握的數學知識往往呈現片面和斷塊現象，使之無法應用到問題解決中去。這就導致他們學習能力下降，成績不能達標，數學學習產生諸多困難。

一、小學高年級數學學困生認知的薄弱點

在認知學習方面，高年級的學困生，在數學教學中表現出的薄弱點主要有這幾個方面：

1.數學基礎知識掌握差

學生到小學高年級已經積累了部分數學基礎知識，而學困生則對一些必要的數學基礎知識并沒有系統掌握好。在一至四年級的學習中，有些很重要的在高年級需要運用的知識點，這些學生常常表現得殘缺、遺漏，有的已經忘記了。對高年級的知識體現更多綜合性的要求而言，這些學困生的數學學習就會更困難了。

2.認知觀察能力差

主要表現在觀察比較片面，不具有整體性，不能把握問題動態的變化，對數學問題的感知膚淺，而且思維的指向性不強。他們不善于將分析對象從復雜的系統中分離出來，從而排除視覺干擾，聚焦條件，對對象進行清晰的“數或形”分析。

3.理解能力薄弱

高年級學困生對數學知識的理解還停留在表面，往往很難做到理解的綜合，大多數都是采取機械式的記憶。而大部分數學問題解決，需要做到有意義地理解和分析。因此，他們的數學學習無論是效率還是效果，都會與目標和一般水平存在顯著差異，不能像學優生那樣深刻分析其內涵，找到知識的內部聯系和外部結構，以達到融會貫通、順利高效地解決數學問題的程度。通常情況下，學優生都是試圖尋找知識的互通點，以求節省大量時間而且達到一通百通的目的。“理解”是掌握數學知識的最短途徑，學困生缺乏的正是這些必要的思維。

二、以圖式表征數學優化認知結構的優勢性

數學知識結構和認知結構是兩個既有聯系又有區別的概念。學生的認知結構并不是指他的知識體系，數學知識結構是由數學基礎知識構成的知識體系，它以最簡約、最概括的方式反映人類對數學的認識成果。高年級學生的數學認知結構是一種經過他們主觀改造過的數學知識結構，它是學生知識結構和學生心理活動高度融合的結果，更多地體現認知主體的個別性。

1.以“圖式”表征數學，凸顯新舊知識之間的內在聯系

在新知的學習中，學困生原有認知結構中是否具有用來同化新知的適當觀念，是決定新舊知識能否連成一個系統的關鍵，新的認知結構總是以其已經具有的認知結構中的有關內容為基礎。新內容輸入頭腦中必須有相應的舊知與之發生相互作用，使得原有的認知結構得到擴充或者產生新的認知結構。用“圖式”的方式構建原有的認知結構，當新的知識被納入原有的認知結構中時，新的“圖式”就會產生。例如，六年級上學期學生學習了長、正方體的知識，就可以形成這個單元的知識結構圖。六年級下學期學習圓柱和圓錐的相關知識后，學生再把這部分知識納入原來的立體圖形的認知結構中，就可抓住立體圖形三維計量的新舊聯系，進一步形成完整的認知結構圖式。最新的立體圖形認知“圖式”是建立在原來長、正方體圖式基礎上的，不斷的學習過程中融入圓柱和圓錐的相關圖式，進行完整整合凸顯三維立體的內在聯系，同時在完整組合的過程中，就能夠形成對立體圖形共同特征的度化理解。

2.以“圖式”表征數學，逐步鞏固精確分化兒童認知結構

學生的數學認知結構不僅保留了數學知識結構的抽象性和邏輯性等特點，同時又融進了學生的感知、理解、記憶、思維和想象，它是數學知識結構和學生心理結構相互作用、協調發展的結果。正是因為學生心理結構對知識結構的主觀改造，導致學生數學認知結構的個體差異，通過“圖式”，穩定其認知結構，把泛化和模糊的認知結構不斷清晰化，再通過認知活動的深入，使得學困生的認知結構逐步鞏固，并不斷精確并完善。

例如，學生在六年級上學期學習“長正方體和正方體”單元時，這個單元的內容非常多，對于學困生單個記憶所學習的知識點，肯定會有遺漏。如果利用這個單元知識點“圖式”，學生會在思維的條理上比較清晰，會明確這個單元分為三塊：第一是長、正方體特征，第二是長、正方體表面積，第三是長、正方體體積。每一塊，再用“圖”的方式進行“描述”，這樣要比用文字描述清晰很多。

3.以“圖式”表征數學，顯露問題解決中對知識點的需求

數學學習的目標之一是利用掌握的數學知識解決相應的數學問題，高年級學困生在高效、正確解決數學問題時難度較大的原因之一就是不知道要用什么知識。而圖式將知識整理成系統的狀態，學生遺忘的就比較少，這些知識點可以比較容易地“提取”出來，相應地也能比較容易地解決數學問題。長期訓練下去，可以提高學生的數學學習能力。

例如：“圓的周長和直徑成正比例還是反比例？”對于學困生而言，這道題隱藏著圓周率一定，然后再判斷圓的周長和直徑的關系。這時候，學生可以在正比例和反比例的對比認知圖式中“提取”兩者的區別作為判斷的依據，這樣可以避免學困生根據機械記憶的部分知識就隨便給出問題的結果，造成錯誤答案的情況。

三、指導運用“圖式”表征，優化認知結構的策略

數學教學中的課型決定了各節課數學學習特點的不同。根據小學數學的教學方式，可以將小學數學課分為新授課、練習課和復習課三種主要類型。不同課型學生所要構建的知識結構不同，形成的認知結構的復雜程度不同，需要解決的數學問題要求和類型不同，所以從不同課型的角度來研究高年級學困生巧用“圖式”調整認知結構，提高數學學習能力是十分必要的。

1.新授課運用“圖式”讓學生獲取多樣化學法切入新知，解除困惑

新授課的知識點正是學生需要納入認知結構的重點內容，新授課以知識教學為主要構成，學困生對新的認知容易模糊殘缺，支離破碎，無法形成整體，用“圖式”簡要概括出新知，利于學困生建立完整認識，因此在新知學習的過程中就進行干預，這樣效果會更好。

例如，在新授課《圓的認識》學習結束的時候，老師通過引導和逐步板書，形成一節課知識點完整的板書，同時巧妙利用一個圓，將這一課時的知識點“畫”出來。學生一旦遇到涉及解答圓相關的問題，就可以在腦海中浮現出這幅“圖式”，上面有相關的比較全面的知識點，克服學困生知識模糊殘缺的缺點，可以提取相關的知識解答問題。

2.練習課運用“圖式”辨析知識，促使認知結構清晰化，避免混淆

學困生學習困難表現之一就是對于聯系緊密、相似的知識點最容易混淆，分不清楚。在練習課中，常常可以通過“圖式”的方式進行對比，簡化語義的表達，促進學困生抓住知識之間的聯系，加強練習中的應用，效果會更好。

例如，在教學《比的整理與練習》時，學困生對于比值和化簡比的含義已經理解，但是練習時他們又會因無法真正識別兩者的區別造成錯誤。采用“圖式”糾錯辨析，進行直觀形象的對比，有利于知識點的鞏固。練習課的教學課件中出示兩幅圖。

第一幅圖出現整數比、小數比和分數比三種類型，要求學生完成這三種類型的比的化簡和求比的值，學生因混淆化簡比和求比值的概念而造成錯誤。將學生的這些錯誤拍成圖片，展示在教學課件中，以做直觀的辨析，2：3比值是，而不是，對于120：5，化簡比要寫成24：1，而寫成24是它的比值。通過“圖式”展示學生的錯題，直觀分析化簡比和求比值的區別和聯系，去除文字比較的抽象性，更直觀，更符合數學學困生的思維特征。

第二幅圖呈現的是學生自主整理化簡比的三種情況拍成的圖片。整數比、小數比和分數比分別怎樣化簡，學生通過整理和舉例說明的方法，理清了知識的發展：小數比化簡和分數比化簡都以整數比化簡為基礎。這也是學習數學的方法的滲透，數學新知的學習總是建立在舊知的基礎上。

通過這兩幅圖，指導學困生優化化簡比和求比值的概念，明晰兩者的區別和聯系，如24：1和24的不同。化簡比的三種類型，分數比化簡和小數比化簡是在整數比化簡上發展得到的。學困生分級抓住相似知識點之間的聯系，以圖幫助建立新的認知，使概念清晰化。

3.復習課運用“圖式”梳理知識脈絡，整合思路溫故知新，促進探究

復習課最重要的目標就是讓學生溫故而知新，而學困生恰恰缺乏梳理知識的能力，從而導致不能靈活運用。用“圖式”梳理學困生的知識結構，讓其認知結構脈絡清楚，需要細心個別指導，可以是單元結束的整理，也可以是對整個小學階段所學知識分塊進行整理。

例如，在六年級下學期，“幾何平面圖形的整理”教學時，學生在小學階段各年級都學習過有關平面圖形的知識，學困生的認知特征會造成對平面圖形之間的聯系不能做到思維清楚，那么在上這節復習課的時候，可以一邊復習平面圖形的學習順序以及知識的發展，一邊畫出以下圖式。復習課結束時，學生全部的思維都在這幅“圖式”上，對新舊圖形之間的聯系就很清楚了，這樣做強化了學困生在腦中形成清晰的知識鏈。

四、運用“圖式”調整認知結構轉化數學學困生的初步成效

1.學困生以圖助學，對數學學習研究發生興趣，增強學習的自信心

在重點知識的學習過程中，學困生也能用“圖”來指導自己的學習，并參與到團隊學習中。學困生有了學習的依據，自己也能夠掌握，愿意加入學習小組的研究中。

2.學困生在圖式表征中，通過數學研究能夠解決部分數學學習的困難

在復習當天學習的知識中，學困生愿意花時間進行“圖”的總結。原來回家能逃避數學就逃避數學，覺得是個非常繁重的學習負擔，現在有方法可以依據，愿意進行復習總結，對于提高認知結構的建構質量是有很大促進作用的。

3.學困生運用圖式表征，使得自己數學學習成績獲得了明顯的提高

學困生認知結構的進一步建立、清晰，新舊知識生長點的鏈接比較好等狀況，促進學困生在解決數學問題時，主動思考調用相應的數學知識，并能夠做到這一點，進行正常的數學思維，提高學習成績，提高學習數學的能力。例如在教學中，遇到一位學生，他在解答圓錐的體積相關問題時，經常會忘記對于公式中的理解。每次和他談到這個問題，他都感到很沮喪，他自己也說公式都能記得，老師說的時候也能聽得明白，但是一到自己解答的時候就會忘記。在這次單元復習課上，老師讓學生用“圖式”來梳理單元知識，小組合作。小組中有一個學生畫了一個圓柱，其中套著一個等底等高的圓錐，并在小組交流時用這幅圖說明了圓錐的體積計算公式是怎么推導出來的，后面的一次小練習中，有一道題是關于求圓錐的體積的，這個學生就沒有出現忘記除以3的情況。問他是怎么避免前面的錯誤的，他說在測試的時候就想到這幅圖，理解并記住了圓錐的體積是怎么來的，因此就沒有忘記除以3。從中可以看出，學困生機械、模糊、分散地記憶知識，可通過“圖式”促進思維，使得知識產生聯系，認知結構得到部分優化，增強學習的自信，促進數學學習成績的提高。

教育是一門科學，是科學就得研究。在不同數學課型中巧用“圖式”，調整學困生“孤立”狀態的知識結構，形成“網狀”認知結構，并利用這樣的認知結構解決數學問題時，可以隨時提取相應的概念、公式、方法等解決數學問題，并不斷熟練化，提高數學能力。當然在優化學困生認知結構的過程中，也要看到非智力因素的作用。只有將學困生學習過程中的非智力因素和優化學困生認知結構，相互配合，才能取得最好的效果。