在比較中激發學生思考

張莉

近段時間，學校的一位教師正在準備調研課，課題是人教版（2011年版課標教材）小學數學五年級上冊的“小數除以整數”。因為參加了磨課的過程，故有了自己的一點想法。

第一次教學

【教學過程】

一、初步感知，嘗試計算

1.從“體育老師為學校買體育用品”的實際情境引出生活中常常需要用小數除法解決的問題。在解決羽毛球單價和毽子單價的問題中，列出兩個算式：

38.4÷4= 9.6÷12=

2.在初步估算后，嘗試解決38.4÷4。

學生中出現了以下幾種方法：

（1）38.4元=384角，384角÷4=96角=9.6元

（2）38.4÷4=36÷4+2.4÷4=9+0.6=9.6（元）

（3）38.4÷4=9.6 （4）38.4÷4=9.6 （5）38.4÷4=9.6

生匯報自己的想法。

師（追問）：第四種和第五種方法有什么不一樣嗎？

生：一個是2.4，一個是24。

師：那到底是寫2.4還是24呢？

生：我覺得上面就是2.4，下面寫下來也應該是2.4。

生：我覺得這個小數點不用寫，只要在商的上面點上小數點就行了。

兩方爭執不下，都等著教師來定奪。

師：其實，這個小數點可以不寫，因為24表示24個十分之一，除以四，商就是6個十分之一。明白了嗎？

生：明白了！

師：大家想出這么多種方法，真棒！現在我們用第五種方法一起來做一遍。

教師一邊板演方法5，一邊講算的過程。

師：想一想，商的小數點寫在哪里？被除數的小數點在哪里？

師：也就是說商的小數點要和被除數的小數點怎么樣？

生：對齊。

3.引導學生獨立筆算9.6÷12。

反饋時，有學生算對了，也有學生沒有在整數部分寫“0”占位。

師：這兩種方法，哪種是正確的？

生：第一種，因為如果不寫零的話，商就是8了，不可能。

師：是的，當整數部分不夠商“1”時，我們要寫“0”占位。

師：誰來說說，小數除以整數的除法計算方法？（靜默許久）

生：先把小數變成整數，小數點向右移幾位，商的小數點就向左移動幾位。

生：計算時，小數點可以不寫。

師：別忘了商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果整數部分不夠商“1”，要寫“0”占位。

二、練習鞏固

1.估一估，算一算。

34.5÷15 4.08÷8 14.21÷7

反饋中，學生的錯誤率比較高，主要有：

[2.3][15][3 4.5

3 0][4 5

4 5][0][2.3][15][34.5

30][4.5

4.5][0][5.1][8][4.08

40][8

8][0]

于是，教師對每一種錯誤進行再次的講解和糾正，耗費了大量的時間，那些沒掌握的學生還是云里霧里。

……

【課后反思】

聽課后，回顧嘗試計算環節，學生的方法豐富而有價值。而如此豐富的生成，不是偶然現象，是因為學生對小數除以整數已有樸素的認知直覺，這種直覺來自于剛學完的小數乘法和以前的整數除法的經驗，以及平時計算教學中估算經驗的積累。面對這些即時生成，教師也加以關注，并進行了追問和評價，但看似順利的新授環節，在練習時，卻遭到了重創：因為學生出現的算法失誤和不合理，不是個別現象，那么就有必要對教師的新授環節進行剖析和反思了。

而練習中學生出錯的主要原因在于對小數除以整數的算理理解得不夠透徹，關鍵性的算法總結也不是學生自己悟到的。如為什么商的小數點要與被除數的小數點對齊？除到小數部分時，除的過程中為什么不寫小數點？除了先把被除數擴大成整數去除，再縮小的方法，還有其他更方便的計算方法嗎？因為學生對于這些關鍵的問題沒有進行深入思考，所以算法也停留在對教師的模仿上，無法真正內化，一旦碰到新數據和新問題，自然無從應對。

同時，由于沒有展開對每種方法的優劣比較和分析，所以學生最終并沒有在新授中得到什么新發展，練習時，他們還是按照自己原有的認知來解答。

另外，由于教師沒能巧妙而有效地利用學生已有的認知經驗對各種方法之間的內在關聯和區別加以關注，所以學生對每一種方法的理解是孤立的、無關聯的，聽過算數，沒有進一步探究的欲望，那么這些生成也就成了過眼云煙，不但沒有對理解算理、形成一般化的方法起到積極作用，反而引起了干擾，故練習中出現問題也在情理之中了。

第二次教學

在呈現學生原生態的生成時，教師應進行有效整合和引導，即通過有的放矢地“比較”，建立起各種方法之間的聯系和區別，理順看似雜亂的原生態生成；讓反饋交流不僅僅停留在展示和介紹，而是引發學生更深刻地思考，讓學生在對比中理解算理，明確算法的合理性和關鍵性，自然而條理清晰地凸顯重難點。這種通過多次比較而引發的思考，能夠讓學生真正地內化算理，并指導算法。

【教學過程】

在第二次的教學中，我們是這樣實踐的。

呈現例題后，學生的自主嘗試依然出現了5種不同的方法：

（1）38.4元=384角，384角÷4=96角=9.6元

（2）38.4÷4=36÷4+2.4÷4=9+0.6=9.6（元）

（3）38.4÷4=9.6 （4）38.4÷4=9.6 （5）38.4÷4=9.6

[4][96][384

36][24

24][0][4][9.6][38.4

36][2.4

2.4][0][4][9.6][38.4

36][2 4

2 4][0]

第一次比較：類比求同，感悟化歸。

師：仔細觀察，你看得懂別人的方法嗎？哪幾種有點相似？

生：方法1和方法3差不多，方法2和方法4差不多。

師：具體說說，有什么相同和不同的地方。

生：方法1和方法3都是把被除數看成整數來算，因為剛才被除數擴大了10倍，所以商要縮小到原來的十分之一。

生：方法1是用元角分來轉化的，方法3是直接在豎式中擴大。

師：是的，無論是將元轉化成角，還是直接將被除數擴大成整數，他們都想到把小數轉化成已經學過的整數除法來算，這種轉化的意識挺好！

師：那說說方法2和方法4吧。

生：他們方法差不多，就是一個寫成橫式，一個寫成豎式。

師：你很善于透過現象看本質。那這兩種方法，給你什么啟發呢？

生：我覺得可以先用整數部分去除以除數，剩下的數再除。

（比較意圖：第一次比較主要是學生自主類比，方法1和方法3都是利用已有的整數除以整數學習經驗和商的變化規律將新知轉化為舊知加以解決。而方法2和方法4的比較，則突出小數除以整數可以先算整數部分，余下的再繼續往下除。通過比較，滲透轉化思想，并溝通小數除法與整數除法的內在關聯。）

第二次比較：聚焦分歧，理解算理。

師：方法4和方法5一樣嗎？相同處和不相同處都說說。

生：他們都沒有把被除數轉化成整數，而是直接一位一位筆算了。

師：看來不用把被除數轉化成整數，我們也能像整數除法一樣，從高位開始，一位一位往下除。

生：但是方法4一步一步除的時候，下面是寫2.4，而方法5下面寫的是24。

師：觀察得很仔細。現在的兩種豎式的分歧在于2.4的這個小數點要不要寫呢？雙方各自闡述理由來說服對方。

生很賣力地開始辯論：

生：我覺得要寫，因為被除數上面也有小數點的，這個4是十分位上移下來的，不能把小數點去掉。

生：我覺得不用寫，不寫也沒有影響呀，只要商的小數點別忘就行了。

師：態度明確，不影響計算，我們就可以一切從簡了。看來各有各的理，我想分別采訪一下兩種方法的代表，你的2.4和你的24各表示什么呢？

生：2.4就是個位上的余數2加十分位移下的0.4，組成了24個十分之一。

生：這個24就表示除到十分位時，用24個十分之一去除以4。

師：這次意見很一致，這里的2.4和這里的24其實都表示24個十分之一。

生：我覺得都表示24個十分之一，那還寫這個小數點干嗎？還不如不寫更省事呢。（其他學生紛紛表示贊同）

師：但2.4這個小數點真的就只是為了省事而隨意去掉的嗎？

生：不是，它表示24個十分之一，所以寫成24。

師：看來明確了道理和意義，大家就能作出更正確的判斷。

（比較意圖：方法4與方法5的比較，滲透了小數除以整數與整數除以整數的內在結構的一致性，即可以不將被除數轉化成整數，而像整數除法那樣，從高位除起，一位一位往下除。同時旨在引導學生關注整數除以小數的筆算過程中的小數點問題，以此引出商十分位6 的來龍去脈，進而將算理剝離得更清楚。）

第三次比較：有的放矢，凸顯重點。

師：觀察方法3和方法5，說說你的發現。

生：他們就是一個商有小數點，一個沒有。

師：為什么方法5的商有小數點了呢？位置是怎么確定的呢？

生：因為被除數就有小數點。被除數小數點在哪兒商的小數點也在哪兒。

其實方法3橫式里的商也是這么點小數點的。

師：他的意思你明白嗎？

生：就是商的小數點要和被除數的小數點對齊。

師：概括得更到位了。那為什么商的小數點要和被除數的小數點對齊呢？如果不對齊，或者不點小數點，會怎樣？

生：那就全亂了。明明24個十分之一除以4是6個十分之一，應該寫在十分位上，如果不點小數點，6就象方法3這樣，在個位了。

生：我有點補充，就是除到被除數的十分位了，商就要寫在十分位上，沒有這個小數點，怎么表示十分位呢？

師：反問得好！看來，為了確保除到哪一位商就寫在哪一位上面，我們一定要把商的小數點與被除數的小數點對齊。

引導學生選擇和優化，學生順利歸納出小數除以整數可以按照整數除法的算法，從高位算起，除到哪一位商就寫在哪一位的上面，商的小數點要與被除數的小數點對齊。

（比較意圖：方法3與方法5比較，旨在突出算理算法中的重點問題：商的小數點定位。通過比較，讓學生掌握商的小數點和被除數的小數點對齊，并在比較中領悟到背后的算理：只有這樣，才能做到除到哪一位商就寫在哪一位上面。）

第四次比較：對比求異，解決新問題。

新授后，引導學生獨立筆算9.6÷12，并展示學生的筆算過程。

[0. 8][12][9. 6

9 6][0]

師：與例1比較，這次碰到了什么新問題？

生：例1的商是比1大，這次商是比1小了。

師：為什么會產生這樣的情況呢？

生：因為被除數的整數部分比除數小。

（比較意圖：將38.4÷4和9.6÷12兩道例題進行比較，旨在突出“當被除數的整數部分不夠商1時，要在商的整數部分寫0”這種特殊情況。這也是小數除以整數與整數除以整數的異處。）

從課堂練習反饋來看，上述的實踐起到了很好的教學效果。

【再次反思】

上述教學中的四次比較，素材都源自學生自己的生成，再通過教師有的放矢地整合與引導，每一次比較都無不引發學生的思考，具體表現在如下幾方面。

一、通過比較，思考新知的“聯”

新知的學習，很多時候就是轉化和遷移的過程，引導學生思考新舊知識的內在聯系，主動將未知轉化成已知，這是教師需要一直關注和滲透的重要學習方法。而比較，則能很好地承載這一任務。通過比較找關聯，建結構，是數學學習的重中之重。如第一次的自主比較，從相似的方法中，凸顯“將小數除法轉化成整數除法”的轉化思想，溝通新舊知識的聯系。而第二次比較更是由豎式計算過程中的書寫之分歧而引發學生思考，使學生體會到“小數除以整數”與“整數除以整數”內在方法的一致性，即除到哪一位商就寫在哪一位上，只是后者將數位由整數拓展到了小數部分而已。這次的比較較第一次而言，更具有典型性和深入性，其實是將小數除以整數和整數除以整數都歸在了“除數是整數”這一類除法中，為學生今后學習除數是小數的除法埋下伏筆。

二、通過比較，思考新知的“新”

新舊知識之間只可能部分相同或相似，抓住新知不同于舊知的獨特本質，即新在哪里，又是比較的另一重要使命。多次的比較使“小數除以整數”的重點和難點不再是教師強加上去，而是在學生的思考中自然凸顯：如第三次比較，即是引導學生關注新舊知識的“異”——商的小數點問題，同時凸顯算法算理的重點。第四次比較則是引導學生關注特殊情況——整數部分不夠商，需要在商的整數部分寫“0”占位。通過比較，讓學生對新知的“新”有了更準確的體驗和感悟，相應的解決策略也更合理。

三、通過比較，思考新知的“深”

由這次的教學實踐，我們進一步想到了可以在更多的計算教學乃至其他領域的教學中運用比較的方法。當呈現的素材充分時，設計幾次有的放矢的比較，求同存異：可以類比——在“同”中概括規律，把握本質，感悟一般性的方法；可以對比——在“異”中不斷創新，學會猜測，感悟特殊性的方法。最重要的是在比較中，學生的觀察、猜測、分析、類比、歸納等數學素養和能力都在逐步積累，由此，計算教學就不僅僅停留在計算方法的掌握和技能的形成，而是在多次的比較中彰顯其更深的內涵和價值，這也是我們新課標倡導的“四基”的一次成功而有效的嘗試。

（浙江省寧波市愛菊藝術學校 315000）