基于VAR的資產(chǎn)組合中引入期權(quán)的最優(yōu)執(zhí)行價格研究

一、引言

作為不同的風險管理標準，VAR已經(jīng)成為風險度量和管理領(lǐng)域的特殊工具，VAR定義為在特定時間和概率里潛在損失的大小，盡管不是最優(yōu)的風險度量標準但卻是最接近的第一近似。公司和機構(gòu)對沖策略一般會使用期權(quán)，而不是遠期、期貨和互換。當然，除了基本的信用風險，運用遠期、期貨來最小化公司、機構(gòu)資產(chǎn)的風險是非常直觀。有很多因素的影響期權(quán)作為對沖工具。有的時候公司會希望標的資產(chǎn)暴露在風險中，導致現(xiàn)金流的部分對沖。這篇文章在給定風險管理成本和給定的置信水平的情況下，目標是最小化投資組合的VAR，求得最優(yōu)的對沖比率并解釋了最優(yōu)對沖比率小于1的原因。

二、最小VAR求得最優(yōu)執(zhí)行價格

本文探索引入看跌期權(quán)后，資產(chǎn)組合的VAR水平是如何變化。在對沖成本和置信水平給定時，如何確定看跌的執(zhí)行價格使得組合的VAR最小，從而找出最優(yōu)對沖比率。仍然使用布萊克-斯科爾斯模型對看跌期權(quán)進行定價，其中標的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正太分布，波動率和利率均為常數(shù)，這種分析方法同樣適合對沖暴露在匯率、利率等相似分布的資產(chǎn)上。

研究結(jié)果可以概括為如下四條，首先公司或者機構(gòu)用來對沖風險的花費是獨立確定的，存在一個最優(yōu)的價內(nèi)看跌期權(quán)，在給定基本參數(shù)（標的資產(chǎn)的分布函數(shù)、對沖時間以及無風險利率），那么最優(yōu)看跌期權(quán)有相同的執(zhí)行價格。其次比較靜態(tài)的解析解得出最優(yōu)看跌期權(quán)的執(zhí)行價格會隨著標的資產(chǎn)的漂移率的增長而減小，在參數(shù)合理時會隨著會隨著標的資產(chǎn)的波動率的增長而減小，與無風險利率成反比，在執(zhí)行期并不單調(diào)，會隨著保護水平的增加而增加。再次最優(yōu)看跌期權(quán)的選擇和標的資產(chǎn)參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系是可以確定的，標的資產(chǎn)風險暴露的分布是特別關(guān)鍵的，所以最優(yōu)看跌期權(quán)的選擇對標的資產(chǎn)的漂移率和波動率是很敏感的。最后，使用最優(yōu)期權(quán)后的經(jīng)濟意義是顯著的，例如以股票指數(shù)為例，相同參數(shù)情況下使用平價期權(quán)后組合的VAR比使用最優(yōu)看跌期權(quán)后組合的VAR要大15%，或者使用平價期權(quán)為了使VAR達到最低水平則購買期權(quán)的費用比最優(yōu)看跌期權(quán)的高65%。假設(shè)公司可以接觸到各種執(zhí)行價格的看跌期權(quán)，不同執(zhí)行價格的期權(quán)對應(yīng)不同的期權(quán)費用，則相同的風險管理費用可以購買不同期權(quán)的數(shù)量也不一樣。例如公司可以購買虛值期權(quán)來對沖全部資產(chǎn)，或者是購買更期權(quán)高執(zhí)行價格的虛值期權(quán)來對沖部分風險，或是用平值期權(quán)對沖更小部分的風險。一系列的期權(quán)意味著對沖組合在到期時價值分布是不一樣的，例如一個全部對沖的深度虛值期權(quán)對資產(chǎn)組合價值有一個更低的約束，這個更低的價值將會被達到只要標的資產(chǎn)的價格小于執(zhí)行價格，所以對沖組合的分布將會是收尾的對數(shù)正態(tài)分布，并且在執(zhí)行價格處有很高的概率；當使用更高的執(zhí)行價格進行對沖時組合時，分布是兩個對數(shù)正態(tài)分布的結(jié)合，大于執(zhí)行價格時分布就是標的資產(chǎn)的正態(tài)分布，低于執(zhí)行價格時將會是一個轉(zhuǎn)換的正態(tài)分布。因此不同的正態(tài)分布就有不同的VAR水平，對于給定的成本就會有很多執(zhí)行價格對應(yīng)不同的對沖比率，然后就產(chǎn)生不同的VAR水平，選擇最優(yōu)VAR水平，作出VAR/cost邊緣線，邊緣線上的每點就代表最優(yōu)的執(zhí)行價格。

四、結(jié)論

這篇文章用一個簡單的框架用期權(quán)最小化公司VaR求得最優(yōu)執(zhí)行價來管理風險提供了一個正式的解釋。問題的復雜性在于給定風險保護花費的情況下有一系列不同執(zhí)行價格的期權(quán)和相應(yīng)的對沖比率，可以求得不同水平的VaR，計算結(jié)果表明最優(yōu)執(zhí)行價格是獨立風險保護的花費，因此cost/VaR邊界線是線性的。給標的資產(chǎn)的分布函數(shù)的參數(shù)和置信水平，公司將面臨增加最優(yōu)執(zhí)行價格期權(quán)的數(shù)量減少它的VaR，有趣的是最優(yōu)執(zhí)行價格對置信水平很敏感。

這些分析可以擴展到非正態(tài)分布，均值反轉(zhuǎn)過程，固定證券等。最自然的擴展當然是多資產(chǎn)的風險暴露例如不同外匯的匯率、與股票和證券市場有關(guān)的養(yǎng)老基金、能源公司不同的能源成本。少數(shù)的資產(chǎn)可以分別找出與之相對應(yīng)期權(quán)然后分別求出最優(yōu)價格，但是這種方法忽略了資產(chǎn)之間的相關(guān)性，分別得最優(yōu)不能代表整體最優(yōu)。

盡管衍生產(chǎn)品的杠桿作用有加大公司和市場的風險的作用，但是它也成為公司很好的管理各個風險或者起到風險轉(zhuǎn)移的金融工具。正確的風險度量指標更有利于風險的管理，不同的風險管理目標可以對應(yīng)不同的風險解決措施。未來的研究方向可以從公司利潤最大化出發(fā)，不再讓風險管理費用給定，在逆向選擇和道德風險的影響下如何在股東個人和公司之間分配風險很關(guān)鍵。

參考文獻

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作者簡介：金麗（1989-），女，湖北武漢人，北京外國語大學金融工程與風險管理專業(yè)2014級研究生。