淺析高中數學中四種證明方法的異同

高燕燕（山西省呂梁市離石區江陰高級中學）

淺析高中數學中四種證明方法的異同

高燕燕
（山西省呂梁市離石區江陰高級中學）

在證明一個命題成立時，可以證明原命題成立，可以證明它的逆否命題成立，也可以通過證明命題的否定為假來證明原命題為真。當從正面證明一個命題不太容易時，往往用反證法來證明，通過推出矛盾證明假設不成立來證明原命題成立。獨立性檢驗原理也提供了一種證明兩個變量有關的方法，這些證明方法有相同之處，也有細微的不同，通過原理與實例相結合來展示逆否命題證法與命題的否定證法、反證法與命題的否定證法和逆否命題證法、獨立性檢驗原理和反證法原理之間的異同。

原命題；命題的否定；逆否命題；反證法；獨立性檢驗原理

在選修1-1第一章的命題及其關系這一節中我們學習了四種命題及其它們之間的關系，通過研究我們得知，原命題和逆否命題具有相同的真假性，當原命題的證明比較困難時，我們往往選擇通過證明原命題的逆否命題成立來證明原命題的成立。在本章的第三節中我們可以得到，命題和命題的否定具有相反的真假性，當證明原命題比較困難時，我們也可以通過證明原命題的否定為假來證明原名題的成立。在選修1-2第二章的直接證明和間接證明這一節我們又學了一種證明方法——反證法。在本書第一章的獨立性檢驗的基本思想及其初步應用這一節中證明兩個變量有關的獨立性檢驗原理又是另一種證明的方法。這四種證明方法之間有聯系也有區別，極容易混淆，下面通過具體的例子來說明它們之間的差異。

一、逆否命題證法與命題的否定證法

原命題：若p則q（p為條件q為結論）

逆否命題：若┐q則┐p

命題的否定：若p則┐q

1.逆否命題證法

證明若p則q為真，等價于證明若┐q則┐p，而在證明若┐q則┐p為真就是要證明┐q?┐p，條件是┐q，要證明的結論是┐p。

例.證明：已知函數f（x）在（-∞，+∞）在上是增函數，a，b∈R，若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），則a+b＜0

證明：逆否命題：已知函數f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，a，b∈R，若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）。

∵一個命題和它的逆否命題是等價的

∴可證明逆否命題為真命題

∵a+b≥0，∴a≥b，b≥-a

又∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函數

∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）

∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）

2.命題的否定證法

證明若p則q為真，等價于證明若p則┐q為假。這種證明命題真假的方法常用于全稱命題和特稱命題的證明。

例.證明命題p：對任意實數a，b，|a-1|+|b-1|＞0是假命題

證明：∵命題和命題的否定具有相反的真假性

∴只需證明┐p：存在實數a，b，使得| a-1|+|b-1|≤0

當a=b=1時，┐p成立，即┐p是真命題，所以p是假命題

命題的否定和否命題是兩個完全不同的概念，并且原命題和否命題的真假性是沒有關系的，故不可以用否命題的真假性來判斷原命題的真假性。

異同點：都把原命題的結論進行了否定，但否定后一個作為條件，另一個作為待證的結論。

二、反證法與命題的否定證法和逆否命題證法

一般的，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

用反證法證明數學命題的步驟：

（1）反設——假設命題的結論不成立，即假定結論的反面成立；

（2）歸謬——從“反設”和已知條件出發，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果；

（3）結論——因為推理正確，由矛盾結果斷定“反設”不真，從而肯定原結論成立。

故假設不成立，所以原命題成立

在閱讀時，讀到精妙處，忍不住擊節叫好；讀到傷感處，忍不住淚眼婆娑；讀到激憤處，耐不住拍案而起；讀到詼諧處，禁不住啞然失笑。有了知識的滋潤，視野也開闊了許多，人也就逐漸強大起來。

異同點：反證法的實質與命題的否定證法的實質一樣，都是證明命題的否定為假，從而得到原命題為真。不同之處在于反證法在證明的過程中，反設的結論和已知條件一起作為已知條件，導出與假設、公理、定理、定義或已被證明的結論矛盾，從而證明假設不成立，而命題的否定證法在對結論進行否定后，否定的結論仍然是待證的結論。反證法和證逆否命題是完全不同的。

三、獨立性檢驗原理和反證法原理

反證法原理：在假設下，如果推出一個矛盾，就證明了H0不成立。

獨立性檢驗原理：在假設H0下，如果出現一個與H0相矛盾的小概率事件，就推斷H0不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率。

例.某大型企業人力資源部為了研究企業員工工作積極性和對企業改革態度的關系，隨機抽取了189名員工進行調查，所得數據如下表所示:

積極支持企業改革　　不贊成企業改革　　合計工作積極　54　40　94工作一般　32　63　95合計　86　103　189

對于人力資源部的研究項目，根據上述數據能得出什么結論？

因10.76＞7.879，所以有99.5%的把握說：員工“工作積極”與“積極支持企業改革”是有關的，可以認為企業的全體員工對待企業改革的態度與其工作積極性是有關的。

逆否命題證明法、命題的否定證明法、反證法和獨立性檢驗原理有相同之處，也有細微的不同之處，學生非常容易混淆，導致證明時模模糊糊無從下手，但只要細心體味其不同之處，還是比較容易掌握的。

·編輯魯翠紅