二階自治廣義Brikhoff系統的奇點分岔

曹秋鵬,陳向煒

(1.蘇州科技大學 數理學院,江蘇 蘇州 215009;2.商丘師范學院 物理與電氣信息學院,河南 商丘 476000)

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二階自治廣義Brikhoff系統的奇點分岔

曹秋鵬1,陳向煒2

(1.蘇州科技大學 數理學院,江蘇 蘇州 215009;2.商丘師范學院 物理與電氣信息學院,河南 商丘 476000)

建立二階自治廣義Birkhoff系統的微分方程, 得到了該系統奇點分岔的必要條件.然后利用Lypunov-Schmidt方法對方程降階, 進一步研究了帶參數的二階自治廣義Birkhoff系統的奇點分岔.研究表明奇點的鄰域內如果存在多條解曲線, 那么該點為分岔點.

廣義Brikhoff系統; 奇點; 分岔

分岔是非線性系統所特有的一種非常重要的性質.分岔現象涉及很多科學領域[1-3], 是當今研究的熱門課題之一.文獻[4]綜述了分岔研究的各種方法.Lypunov-Schmidt方法(簡稱L-S方法)是降低非線性方程維數的一種常用方法,在研究非線性系統的靜態分岔問題時可以利用此法對方程先進行簡化[5-6], 然后進一步研究其非線性動力學行為.Birkhoff系統動力學是近年來研究較熱的動力學系統, 作為Hamilton力學的自然推廣[7], Birkhoff系統動力學的研究已取得了豐富的成果[8].文獻[9-10]將微分方程定性分析的基本理論和方法引入到Birkhoff系統的研究中, 討論了二階自治Birkhoff系統的平衡點分岔.文獻[11]得到了二階自治廣義Birkhoff系統平衡點分岔的相關內容.本文探討了二階自治廣義Birkhoff系統的奇點分岔問題.首先給出該系統奇點分岔的必要條件.其次利用L-S方法把系統方程降為較低維方程, 進而研究帶參數的二階自治廣義Birkhoff系統的奇點分岔.研究表明奇點的鄰域內如果存在多條解曲線, 則該點為分岔點.

1　二階自治廣義Brikhoff系統的微分方程

對于二階自治廣義Birkhoff系統有形式：

(1)

(2)

(3)

其中

(4)

如果動力學函數B,Rν或者Λv含有某個常參數μ,那么我們可以將(3)寫成如下形式：

(5)

其中

(6)

2　系統的奇點分岔

下面我們給出二階自治廣義Brikhoff系統奇點分岔的必要條件.

下面我們將方程(5)寫成以下形式：

(7)

(8)

那么, 我們有

(9)

顯然, 當μ=0時有

(10)

(11)

下面我們討論系統(5)的一種特殊情形即

(12)

此時, 二階自治廣義Birkhoff系統(5)的微分方程(7)成為

(13)

3　Lypunov-Schmidt方法降階

為進一步討論高維系統的奇點分岔, 通常情況下會使用Lypunov-Schmidt方法, 將系統在奇點的鄰域約化低維數方程去考慮原問題.L-S方法的基本思想是, 通過將空間分解到兩個子空間上, 將要研究的原方程分解成兩組方程, 其中一組方程由隱函數定理可以解出, 再將解代入第二組方程, 這樣原方程的求解轉化成一組較低維數的求解.

二階自治廣義Birkhoff系統(5)滿足

(14)

(15)

對(15)的第二式因為

(16)

(17)

(18)

這樣我們將方程(15)的研究轉化成僅僅對(18)式的研究, 使得問題大大簡化.我們將(18)稱為二階自治廣義Birkhoff系統(5)的奇點分岔方程.

4　算　例

已知二階自治Birkhoff系統

(19)

試討論該系統奇點分岔問題.

首先由(6)得到二階自治Birkhoff系統微分方程

(20)

顯然對于任一μ, 總有

(21)

(22)

的解.對于(20)式得到

(23)

滿足

(24)

由方程(22)中的f2=0得

(25)

將(25)代入(22)中的f1=0得到該系統(20)的奇點分岔方程

(26)

顯然(26)式有

隱函數定理條件不滿足.令

a1=μy

(27)

代入(26), 那么(26)式變成

(28)

設

(29)

顯然有

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

和

(35)

5　結　論

我們可以利用L-S方法和奇異性理論來研究二階自治廣義Birkhoff系統的奇點分岔問題, 一旦系統奇點的鄰域內存在多個奇點, 那么奇點成為系統的分岔點.我們先得出系統的分岔方程，那么原系統的奇點分岔問題的研究，僅僅只需用隱函數定理對分岔方程的解個數進行研究.

[1]馬知恩, 周義倉.常微分方程定性與穩定性方法[M].北京:科學出版社, 2001.

[2]Wen D Z, Chen Y S.Bifurcation analysis of fan casing under rotating air flow excitation[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2014, 35(9):1099-1114.

[3]Ma M L, Min F H.Bifurcation behavior and coexisting motions in a time-delayed power system[J].Chinese Physics B, 2015, 24(3):030501.

[4]陳予恕.非線性振動、分叉和混沌理論及其應用[J].振動工程學報, 1992, 5(3):235-249.

[5]王超, 張堯, 武志剛.改進LS方法降維電力系統常微分方程的研究[J].電力自動化設備，2008, 28(5):26-28.

[6]曹登慶, 陳予恕, 于海, 秦朝紅.現代非線性動力學的兩個研究主題:降維方法與奇異性理論[A].第八屆全國動力學與控制學術會議論文集, 2008.

[7]Birkhoff G D.Dynamical Systems[M].Providence:AMS College Publisher, 1927.

[8]陳向煒, 傅景禮, 羅紹凱, 梅鳳翔.Birkhoff系統動力學研究進展[J].商丘師范學院學報, 2004, 20(2):5-13.

[9]Chen X W, Mei F X.Existence of periodic solutions for higher order autonomous Birkhoff systems[J].Journal of Beijing Institute of Technology, 2000(2):125-130.

[10]陳向煒, 羅紹凱, 梅鳳翔.二階自治Birkhoff系統的平衡點分岔[J].固體力學學報, 2000, 21(3):251-255.

[11]梅鳳翔.廣義Birkhoff系統動力學[M].北京:科學出版社, 2013.

[責任編輯：王軍]

Singularity bifurcations of second order autonomous generalized Brikhoff systems

CAO Qiupeng1,CHEN Xiangwei2

(1.School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China;2.Department of Physics and Information Engineering, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

The differential equations of second order autonomous generalized Brikhoff systems were established.The necessary conditions for singularity bifurcation of second order autonomous generalized Brikhoff systems were proposed.Singularity bifurcations of second order autonomous generalized Brikhoff systems with parameters were discussed by Lypunov-Schmidt method.The results show that if it exists several solution curves in neighborhood of a singular point then the singular point is a branch point.

generalized Brikhoff system; singular point; bifurcation

2016-04-19

國家自然科學基金(11372169)和蘇州科技學院研究生科研創新計劃資助項目(SKCX14_056).

曹秋鵬(1991-)，男，江蘇南通人，蘇州科技大學碩士研究生，主要從事數學物理的研究.

陳向煒(1967-)，男，河南汝南人，商丘師范學院教授,博士，研究生導師，主要從事非線性動力學的研究.

O316

A

1672-3600(2016)09-0025-05