一類具有免疫反應的傳染病模型的穩定性

田海燕，郭建敏，郭彩霞

(山西大同大學 數學與計算機科學學院, 山西 大同 037009)

?

一類具有免疫反應的傳染病模型的穩定性

田海燕，郭建敏，郭彩霞

(山西大同大學 數學與計算機科學學院, 山西 大同 037009)

建立了具有Holling II感染率且考慮免疫反應的動力學模型，討論了系統解的非負性和有界性，最后通過構造適當的Lyapunov函數，應用LaSalle不變原理，證明了無病平衡點是全局漸近穩定的.

病毒感染；全局穩定性；免疫反應；李雅普諾夫函數

0　引　言

目前，傳染病仍然是人類身體健康的一大公敵，因為一些傳染病傳播速度之快，直接影響到人類的生存和發展.因此，建立傳染病模型，研究其發病原因，流行規律，尤其是找尋相應的防治措施和預防策略，已然成為當今世界迫切解決的一個重大問題.國內外諸多學者在這方面也做了大量的研究(見文獻[1-4]).為了描述易感染細胞，感染細胞以及病毒顆粒之間的關系，早在1996年，學者就建立了基本的病毒動力學模型(見文獻[1]).

然而考慮到病毒產生時存在時滯，并且對于細胞的感染率多考慮的是雙線性函數，因此，文獻[2]建立了如下的時滯動力學模型：

(1)

然而要為病毒感染提供更精確的模型，免疫反應必須被考慮.本文在模型(1)的啟發下，建立了考慮CTL免疫作用的動力學模型，如下：

(2)

1　基本性質

假設系統(2)的初值為

x0=x(0)>0，y0=y(0)≥0，v0=v(0)≥0，z0=z(0)≥0.

根據泛函微分方程的基本理論，在上述初始條件下，系統(2)的所有解都是非負的，且是有界的.即有如下的結論：

定理1在上述初始條件下，系統(2)的所有解都是非負的，并且一致有界，即存在M>0使得x(t)

證明由系統(2)的每一個方程得：

顯然x(t)>0，z(t)≥0.若y(t)>0，則有v(t)>0成立.下面證明y(t)>0.

2　無病平衡點的穩定性分析

證明構造Lyapunov函數如下:

結合系統(2)有：

3　結　論

本文討論了一類具有免疫反應的Holling II動力學模型，給出了在給定的初始條件下，模型解的非負性和有界性.最后利用Lyapunov函數方法，應用LaSalle不變原理，證明了當基本再生數R0<1時，無病平衡點全局漸近穩定.

[1]Nowak M A, Bonhoeffer S, Hill A M, et al.Viral dynamics in hepatitis B virus infection [J].Proceedings of the National academy of Sciences of the United States of America, 1996, 93(9):4398-4402.

[2]鄭重武，張鳳琴.一類具有感染時滯的HIV模型的穩定性分析[J].數學的實踐與認識, 2010,40(13):247-252.

[3]Elaiw AM and Azoz SA.Global properties of a class of HIV infection models with Beddington-DeAngelis functional response[J].Mathematical Metheods in the Applied Sciences,2013,36(4):779-794.

[4]Korobeinikov A.Global properties of basic virus dynamics models[J].Bulletin of Mathematical Biology,2014,66(4):879-883.

[5]張少輝 靳禎．具有非線性發生率的傳染病模型性態分析[J].中北大學學報(自然科學版), 2012,33(4):353-357.

[6]馬知恩 ,周義倉,王穩地,靳禎 .傳染病動力學的數學建模與研究 [M ].北京:科學出版社, 2004.

[責任編輯：王軍]

The stability of a virus model with immune response

TIAN Haiyan, GUO Jianmin, GUO Caixia

( School of Mathematics and Computer Science, Datong University, Datong 037009,China)

In this paper, we built a virus dynamics model with Holling Ⅱinfection rate and immune response.We discussed the nonnegativity and boundedness of the solution.By constructing suitable Lyapunov functions and applying LaSalle’s invariance principle we have proven that the infection-free equilibrium is globally asymptotically stable.

virus infection; global stability; immune response; Lyapunov function

2016-03-01

國家青年科學基金資助項目(11301312)；山西大同大學青年科學基金資助項目(2014Q10)；

田海燕(1984-),女，山西朔州人，山西大同大學助教，碩士，主要從事微分方程的研究.

O175

A

1672-3600(2016)09-0012-03

山西大同大學青年科學基金資助項目(2015K5)