基于混沌差異進化算法的有功優化仿真研究

陳功貴, 陸正媚, 郭艷艷, 郭　飛, 唐賢倫

(1. 重慶郵電大學 自動化學院, 重慶　400065；2. 武漢鐵路職業技術學院 機車車輛工程系, 湖北 武漢　430205)

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基于混沌差異進化算法的有功優化仿真研究

陳功貴1, 陸正媚1, 郭艷艷2, 郭飛1, 唐賢倫1

(1. 重慶郵電大學 自動化學院, 重慶400065；2. 武漢鐵路職業技術學院 機車車輛工程系, 湖北 武漢430205)

差異進化(differential evolution,DE)算法在求解電力系統有功優化的問題上易陷入局部最優,因此在其基礎上引入混沌算法的Logistic映射,形成混沌差異進化(chaotic differential evolution,CDE)算法。該算法在迭代后期,使固定取值的搜索步長和交叉算子在一定范圍內隨機取值。為驗證算法的實用性,利用Matlab軟件,將DE和CDE在IEEE30節點測試系統上進行電力系統有功優化仿真。仿真結果表明,CDE算法擴大了搜索范圍并且增加了種群多樣性,能獲得搜索質量更高的最優解,即考慮閥點效應的燃料費用更低。通過此次仿真,既可加深學生對有功優化的認識和理解,又可提高學生運用仿真技術為改進算法提供理論依據與評價的能力。

電力系統仿真; 有功優化； 混沌差異進化算法； Matlab

電能是國民經濟與生活的主要動力,因此提高電力系統的安全性、可靠性以及經濟性尤為重要。頻率是衡量電能質量的關鍵指標,其與有功功率相關,有功功率是否平衡,是否合理分配也就直接影響電力系統安全運行,所以有功優化是電力系統運行的重要控制方式[1-3]。由于系統結構的復雜性,有功優化問題成為了一個非線性、多約束、包含離散變量的全局優化問題。

差異進化算法(differential evolution,DE)是一種簡單的基于隨機種群的搜索方法,被成功應用于現實生活中很多全局優化問題[4-6]。將DE算法與混沌算法的Logistic映射相結合,形成混沌差異進化算法(chaotic differential evolution,CDE)。CDE算法保留了DE算法的3個算子,即變異算子、交叉算子以及選擇算子,在算法迭代后期,用Logistic映射改變DE算法里固定取值的搜索步長F和交叉算子CR,由此增加了種群多樣性。為了驗證算法的實用性和高效性,利用Matlab軟件[7-10],將DE和CDE算法在IEEE30節點測試系統上分別進行20次電力系統有功優化仿真。該測試系統包含41條支路、21個負荷節點、6臺發電機、4臺變壓器和9臺無功補償裝置,具體數據見文獻[11-12]。由有功優化的數學模型可知,該仿真有24個控制變量,即種群內的每一個粒子為24維列向量。仿真結果表明,CDE算法不僅能夠使有功優化問題得到收斂,還能找到比DE算法更為理想的最優解。Matlab仿真結果中包含大量的實驗數據和仿真圖形,使學生能更牢固地掌握有功優化過程和CDE算法特性。

1　有功優化的數學模型

在電力系統的系統參數及負荷情況都明確的情況下,有功優化就是改變發電機的有功功率輸出P、電壓幅值V、可調變壓器的抽頭選擇T以及無功補償器的無功投切C4個參數,使系統安全運行并且使某目標函數達到最優[13]。有功優化的數學模型包含約束條件和目標函數。

1.1約束條件

約束條件又分為不等式約束和等式約束。

等式約束即每個節點的功率平衡:

(1)

式中,QGi,PGi,QLi,PLi分別代表節點i的發電機的無功功率輸入、有功功率輸入、負荷的無功功率消耗和有功功率消耗；Gij為節點i、j間的電導；Bij為節點i、j間的電納；Vi為節點i的電壓幅值；δij為節點i、j間的電壓相角差；n為電力系統的節點數。

不等式約束條件:

(1)節點的電壓幅值:

(2)

(2) 發電機的有功功率與無功功率:

(3)

(3) 各支路視在功率:

(4)

(4) 變壓器變比:

(5)

(5) 電容器無功補償:

(6)

式中,QCi為第i臺無功補償器的無功投切,NG為發電機數,NB為支路數,NT為變壓器數,NC為無功補償器數。

1.2目標函數

在本文研究中,優化的目標函數為考慮閥點效應的燃料費用f為

(7)

(8)

式中fi是每臺發電機考慮閥點效應的燃料費用,ai、bi、ci、di和ei分別是發電機燃料費用系數。

控制變量在給定時就滿足系統約束條件。為了使狀態變量也滿足,就引入了罰系數。罰系數將懲罰超過約束的狀態變量,越限越多,其目標函數值越大,即適應值越差,就越容易被淘汰,其構成的目標函數F為

(9)

式中,KV為節點電壓越限的罰系數,KQ為發電機無功功率越限的罰系數,KS為平衡節點有功功率越限的罰系數,KL為各支路視在功率越限的罰系數。

由目標函數可以看出,罰系數的選擇對最終結果影響很大,若取值不當還會導致最優解不滿足系統安全運行的約束。為了避免這種情況,本文對罰系數取動態值,其表達式為

(10)

其中:KFk為各罰系數(KV、KQ、KS、KL)在第k次迭代的取值；KFmin、KFmax分別為各罰系數的最小值和最大值,k為迭代次數,kmax為最大迭代次數。

在初期時罰系數的取值較小,隨著迭代次數的增加,罰系數的取值也逐漸增大,這樣可以減少算法陷入早熟的概率。另外,式中Vlim、Qlim、Plim、Slim是根據因變量的范圍而判定:

(11)

2　CDE算法

2.1CDE算法的數學模型

CDE算法的數學模型包含標準DE算法的變異算子、交叉算子、選擇算子3個重要算子以及混沌算法的Logistic映射。

(12)

需要強調的是xr1,g、xr2,g、xr3,g為種群內的不同向量；并且種群內的每一個向量都必須至少參與1次變異。F為搜索步長,為了制定合適的變異擾動范圍,其值一般控制在[0,2],通過查閱文獻[14],可知在這范圍內的搜索步長可能提高算法的收斂性。

(13)

其中:Np為種群個數；D為每個粒子的維數；CR為交叉算子,一般介于[0,1],該參數可以掌控種群的多樣性,并且減少優化中出現局部最優的概率；q是介于[1,D]之間的隨機數,為了保證變異后的中間個體至少有一維參與了交叉；x″ij,g+1為經過變異、交叉兩項操作后的第g+1代的第i個中間個體。

(3) 選擇算子。選擇算子在探索最優解時提升種群內個體的適應度。針對父代群體和產生的中間個體,進行一對一的貪婪選擇,選擇具有更好適應度的個體作為第g+1代新個體,有:

(14)

其中f為目標函數；xij,g+1為經過變異、交叉、選擇3項操作后得到的第g+1代的新個體。

(4) 混沌算法的Logistic映射。利用混沌算法的隨機性、遍歷性和規律性,可以擴大搜索范圍,增加種群多樣性,避免算法陷入局部最優。混沌現象有很多種形式,其中Logistic映射是由荷蘭生物學數學家Verhulstt提出的[15],其表達式為

(15)

當μ為4時,為完全混沌。本文就是利用完全混沌現象使DE算法中的F和CR由固定值變為在一定范圍內的隨機動態值。其表達式為:

(16)

式中k為迭代次數。

需要強調的是,為了避免Logistic映射使參數趨于某一常數,所以在初始化時F與CR不取0.25、0.5、0.75。

2.2CDE算法的求解步驟

DE算法在迭代后期容易出現局部收斂現象,于是在一定迭代次數以后,引入Logistic映射,加強算法的搜索能力,并且增加算法的高效性以及準確性。CDE算法的求解步驟如圖1所示。本文中,CDE算法將在迭代次數大于500時引入Logistic映射改變參數F與CR。

圖1　CDE算法的求解步驟

3　基于Matlab的有功優化仿真實驗

本文將IEEE30節點的標準測試系統用以測試兩種算法的有功優化效果。在仿真開始前, DE和CDE算法的初始參數的設定見表1。

表1　兩種算法初始參數設定

其中,Np為種群個數,kmax為最大迭代次數,G為優化次數,F為搜索步長,CR為交叉算子。由于CDE算法中的F、CR為動態隨機取值,所以表內省略。程序將每次計算結果都掃描到相應的表格中保存起來,從所得數據中,記錄下每種算法的最優值、最差值和平均值,具體數據見表2。

表2　兩種算法優化結果比較　$/h

仿真結果表明,CDE算法考慮閥點效應的平均燃料費用和最優燃料費用均比DE算法低,并且用時與DE算法相差甚少,即優化效果與搜索效率均高于DE算法。其中CDE算法每小時的平均燃料費用比DE算法低了0.8999$/h,這個數目從經濟角度來看是十分可觀的。

根據兩種算法20次的運行結果,每種算法的平均收斂曲線見圖2,每種算法的最優解收斂曲線如圖3。

圖2　兩種算法的平均收斂曲線圖

圖3　兩種算法的最優效果收斂曲線圖

由圖2和圖3可知,兩種算法都能使電力系統有功優化問題得到收斂,但CDE算法的收斂結果更優。算法迭代到800代時,DE算法已經找到局部最優值,而CDE算法仍然還在更新全局最優,說明DE算法在迭代后期出現了早熟現象,CDE算法由于局部搜索能力變強,陷入局部最優的概率減小。值得強調的是,兩種算法各自選取的結果,其控制變量和狀態變量均滿足約束條件,即滿足系統安全運行。

基于兩種算法優化后的最優控制變量見表3和表4。其中P為發電機有功功率輸出,V為發電機節點電壓幅值,T為可調變壓器變比,C為無功補償器的補償容量。表中的下標分別對應于IEEE30節點測試系統里的相應節點號；Pi max和Pi min分別代表系統中各發電機的有功功率輸出最大值和最小值,Xi max和Xi min分別代表系統中各控制變量標幺值的最大值和最小值。以下數據中的標幺值以100 MVA作為功率基準值。由表3和表4可知,兩種算法的最優解均滿足系統安全約束。

表3　兩種算法最優解中的發電機有功功率輸出

表4　兩種算法最優解中的部分控制變量

4　結語

為了避免DE算法求解有功優化問題時陷入局部最優,提出了結合混沌算法的CDE算法,并將此算法成功應用于電力系統有功優化。利用Matlab進行仿真實驗,模擬現實生活中的電力系統,通過數據記錄和收斂曲線可以直觀地看出DE和CDE算法均能在保證系統安全運行的情況下求解優化問題,并且CDE算法具有更好的收斂結果和更高的搜索效率。通過將理論知識和實踐仿真相結合,使學生對有功優化的動態過程有了更直觀的理解,并對CDE算法有了更深刻的認識。

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Research on active power optimization based on chaotic differential evolution algorithm

Chen Gonggui1, Lu Zhengmei1, Guo Yanyan2, Guo Fei1, Tang Xianlun1

(1. School of Automation, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China; 2. Department of Locomotive and Vehicle Engineering, Wuhan Railway Vocational College of Technology, Wuhan 430205, China)

The differential evolution(DE) algorithm deals with the problem of active power optimization of power system easily to fall into local optimum, for this reason, it is combined with the Logistic mapping of the chaotic algorithm to form the chaotic differential evolution(CDE) algorithm. In later iterations, the search step and crossover of the chaotic differential evolution algorithm are changed from fixed value to a certain range of random value. In order to illustrate the practicability of algorithms, by the Matlab software, using the differential evolution algorithm and the chaotic differential evolution algorithm can implemente an active power optimization simulation on the IEEE30 bus test system. Simulation results show that the chaotic differential evolution algorithm expands the search range and increases the diversity of the population, so it can get the optimal solution of higher quality, namely it can get a lower fuel cost considering the effect of valve point. The simulation experiment can not only strengthen the students’ understanding of active power optimization, but also improve their ability of using the computer technology to provide theoretical basis and evaluation for the improved algorithms.

simulation of power system; active power optimization; chaotic differential evolution algorithm; Matlab

10.16791/j.cnki.sjg.2016.03.010

2015- 08- 28修改日期:2015- 09- 27

重慶郵電大學教育教學改革項目(XJG1522,XJG1416);重慶市高等教育教學改革研究重點項目(132016)

陳功貴(1964—),男,重慶,博士,教授,主要從事電氣工程專業的教學和科研工作.

E-mail:chenggpower@126.com

TM732

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1002-4956(2016)3- 0034- 05