蘭利問題的“姊妹”問題*

●李玉榮

(金陵中學河西分校　江蘇南京　210019)

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蘭利問題的“姊妹”問題*

●李玉榮

(金陵中學河西分校江蘇南京210019)

數學解題研究是數學教師的職責．通過構造等邊三角形求解“蘭利問題”，積累數學活動經驗，遷移數學解題方法，從而解決網絡上提供的蘭利問題的幾道“姊妹”問題．

蘭利問題；構造；等邊三角形；多題歸一

圖1

例1如圖1，在△ABC中，AC=BC，∠C=20°,點D,E分別為邊BC,AC上的點，若∠CAD=20°，∠CBE=30°,求∠ADE的大小．

這是一道保守估計也有上百年歷史的數學問題，其最初的來源現在已無法考證.1922年，英國數學家蘭利在《數學公報》上發表了一篇題為《一個問題》的文章，詳細介紹了這個問題，這可能是該問題第一次正式出現在公眾的視野里，因此它也被人們稱為“蘭利問題”．第一次看到“蘭利問題”，不少人以為不過是一道角度計算題，常常僅僅去尋找角度上的數量關系，將所求角設為x，再列方程但卻無法提供任何有用的信息．事實上，蘭利問題遠沒有那么簡單，以至于很多人都把這個問題稱為“史上最難的初等幾何問題”．

圖2

此題在2008年被選為全國初中數學競賽天津賽區初賽試題，文獻[1]提供的參考答案中添加了2條平行線，構造了2個等邊三角形，使用了全等三角形、相似三角形等知識求出了結果，解法冗長、繁瑣，引發了筆者的思考，能改進解法或有更簡潔的解法嗎？雖然20°,80°不是特殊角，但是它們的差為60°是我們熟悉的特殊角，使我們能聯想到等邊三角形，從而找到解題的突破口．

另解如圖2，在BC上取點F，使AF=AB，聯結EF，由AC=BC，∠C=20°,知

從而

∠FAB=180°-2∠ABC=20°,

故

∠EAF=60°.

因為

∠CBE=30°，

所以

∠ABE=50°，

于是 ∠AEB=180°-∠CAB-∠ABE=

50°=∠ABE，

從而AB=AE=AF，即△AEF為等邊三角形，因此

EF=AF，∠AFE=60°.

又

∠DAF=∠DAB-∠FAB=40°,

∠ADF=∠C+∠CAD=40°，

得

DF=AF=EF，

由

∠EFD=180°-∠AFE-∠AFB=40°，

知

故∠ADE=∠EDF-∠ADF=70°-40°=30°．

此解法的關鍵是構造了等邊△AEF，這突發的解題靈感如果僅僅是一個“孤法”，其價值就不大了．然而，筆者近期有幸見到幾道問題求解，似曾相似的問題情境(筆者將其稱為蘭利問題的姊妹問題)再次激發了征服難題的欲望，所幸的是經過潛心思考，借助方法的遷移，筆者成功地解決了問題，在此與大家分享．

例2如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°,點D,E分別在AB,AC上，∠ACD=20°，∠ABE=10°,求∠DEB的度數．

分析拿到此題，筆者立刻聯想到例1，嘗試在AC上取點N，使BN=BC，再在AB上取點M，使BM=BN，構造出等邊△BMN，接著聯結ME，試圖證明ME=MN，卻無從入手，解題陷入困境．但同時筆者發現若ME=MN，可得ME=AE，那么，能否改為先作ME=AE，再逐步得到等邊△BMN呢？文獻[3]給出了下面的解法:

圖3 圖4

解如圖4，在AB上取點M，使ME=AE，則

∠AME=∠A=20°.

由AB=AC，∠A=20°,知

因為

∠ABE=10°，

所以

∠MEB=∠AME-∠ABE=10°，

故

BM=ME.

在AC上取點N，使MN=MB=ME，則

∠MNE=∠MEN=∠A+∠AME=40°，

于是

∠EMN=180°-2×40°=100°，

從而∠BMN=180°-∠EMN-∠AME=60°，

故△BMN為等邊三角形，從而BN=BM，∠MNB=60°.又

∠BNC=180°-∠MNB-∠MNE=80°=∠BCN,

得

BC=BN=BM，

進而

因為∠MDC=∠A+∠ACD=40°=∠MEC，

所以點E,D,M,C共圓，∠DEC=∠BMC=50°.

由∠BEC=∠A+∠ABE=30°，

得

∠DEB=∠DEC-∠BEC=50°-30°=20°．

評注此題是文獻[2]的“蘭利問題”變式而成，其提供的解法借助“蘭利問題”的圖形及輔助線，通過2次三角形相似求解，解答的“長度”非同一般.而筆者不是先構造“蘭利問題”的圖形，而是先作ME=AE，再逐步得到“蘭利問題”的圖形，求解過程較為簡潔．

例3如圖5，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°,點D,E分別在BC,AC上，∠CAD=40°，∠ABE=20°,求∠DEB的度數．

分析與例1和例2相比，此題圖形有了較大變化，但圖中∠BAD=80°及∠ABE=20°還是引發了筆者的聯想──構造等邊三角形，嘗試在BE上取點M，使BM=AM，得到∠MAD=60°,只要證明AM=AD，即可證明△MAD為等邊三角形.但如何證明AM=AD，卻無從入手，解題陷入困境．但同時筆者發現AD是△ABD的一條邊，且∠ABD=30°，于是可作點A關于BC的對稱點N，構造等邊三角形，從而解決問題．

解由AB=AC，∠A=120°,知

∠ABC=∠C=30°.

因為

∠CAD=40°,

所以

∠BAD=80°.

圖5 圖6

如圖6，作點A關于BC的對稱點N，聯結BN，DN，則

BN=BA，DN=DA，∠BND=∠BAD=80°，

∠ABN=2∠ABC=60°,

故△BAN為等邊三角形,AN=AB，∠BAN=∠BNA=60°，從而

∠DAN=∠DNA=20°.

在BE上取點M,使

∠BAM=∠ABM=20°，

則

MA=MB.

聯結MD，則

△ABM≌AND(SAS)，

從而

AM=AD.

因為∠AME=∠BAM+∠ABM=40°，

所以

AM=AE，

又

∠MAD=∠BAC-∠BAM-∠CAD=60°,

知△MAD為等邊三角形，從而

AD=AM=AE，

于是

故

∠DEB=∠AED-AEB=70°-40°=30°．

評注此題證明△MAD為等邊三角形時，也可以考慮證明MD=AM=BM，即證明點M是△ABD的外心.注意到AM=BM，且

∠AMB=140°，∠ADB=∠CAD+∠C=70°,

則

∠AMB=2∠ADB，

因此點D一定在以M為圓心、MA為半徑的圓上(注：并沒有現成的定理可用，但用反證法可以證明，教師理解，學生不宜)，于是MD=AM．

例4如圖7，D為正△ABC內一點，∠DBC=42°，∠DCB=12°,求∠DAC的度數．

分析此題以正三角形為背景，設置簡潔，通常易想到用旋轉法求解，但嘗試無果．題設中∠DBC=42°，∠DCB=12°,它們的差為30°，依然引發了筆者的聯想——構造等邊三角形，嘗試在∠DBC內作∠MBC=12°，再將△BMC繞點B逆時針旋轉60°，得到△BEA和正△BME，進而問題得解．

圖7 圖8

解如圖8，在DC上取點M，使得∠MBC=∠DCB=12°，則MB=MC.將△BMC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，聯結CE,DE,ME，則△BME為等邊三角形，從而

EM=BM=MC=BE=EA，

∠EBD=∠MBD=30°，

得

△BDM≌△BDE(SAS)，

即

DE=DM.

又

△BEC≌△AEC(SSS)，

得

∠BEC=∠AEC=78°，

∠BCE=∠ACE=30°，

從而

∠MEC=∠MCE=30°-12°=18°，

于是∠DEM=∠DME=∠MCE+∠MEC=36°.

因為∠ACD=∠ACB-∠DCB=48°,

∠AED=∠AEC+∠MEC+∠DEM=132°,

所以

∠ACD+∠AED=180°，

從而點A,E,D,C共圓，故

∠DAC=∠DEC=36°+18°=54°．

或許“蘭利問題”還有更多的“姊妹問題”，合理地利用題目的特定條件構造等邊三角形,為問題的解決打開了突破口，解決了一道題還要聯系類似的題，看看有沒有共同的規律？這其實是“多題歸一”，也是數學解題反思的重要內容之一．“好的題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都成串生長，找到了一個以后，我們應該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的”，波利亞的經典比喻帶給我們的教學啟示：教師要通過自己的親身示范，有意識地引導學生對做過的習題進行分類、歸類，總結出解某類數學題的策略，特別是解題模塊，達到“就題論法”的程度，那么，不論是教師還是學生，都能夠在這個過程中不斷地積累數學的素養以及加深對數學的理解．

[1]2008年全國初中數學競賽天津賽區初賽試題及參考答案[J]．中國數學教育:初中版，2008(4):68-69．

[2]李艷娜.“蘭利問題”求解的多種途徑[J].中學數學:初中版，2016(1):82-83．

[3]李玉榮.也談幾道題的解法[J].中學數學:初中版，2016(4):91-92．

*收文日期：2016-04-11；2016-05-12

李玉榮(1963-)，男，江蘇句容人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-48-03