由橢圓的一個最值問題引發的探究*

●鄧真崢

(四川師范大學數學與軟件科學學院　四川成都　610068)

●鄧建華

(廣羅鄉小學校　四川廣安　638309)

●鄭　江

(成都七中嘉祥外國語學校　四川成都　610068)

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由橢圓的一個最值問題引發的探究*

●鄧真崢

(四川師范大學數學與軟件科學學院四川成都610068)

●鄧建華

(廣羅鄉小學校四川廣安638309)

●鄭江

(成都七中嘉祥外國語學校四川成都610068)

圓錐曲線在歷年高考中占有重要地位，其中最值問題幾乎是高考的必考點.圓錐曲線問題的難點在于:幾何關系錯綜復雜以及運算煩瑣.在橢圓的一個最值問題的解答過程中，發現其中隱藏著某些可推廣的結論.因此，文章在猜想的基礎上進行驗證，得出了3個一般性的推論.

橢圓；圓錐曲線；最值問題

1　原問題

圖1

分析由于點A,C確定，故直線AC確定.要求四邊形ABCD的最大面積，即求點B,D到直線AC的距離d1,d2之和最大值.

解法1(幾何法)由A(5,0)，C(0,4),知

設與AC平行的直線l方程為

當l與橢圓相切時，即為所求.聯立

整理得

32x2-40mx+25m2-300=0.

由Δ=0，得1 600m2-4·32·(25m2-300)=0，

得

此時

解法2(參數法)由A(5,0)，C(0,4),知

從而當四邊形ABCD面積最大時，點B,D到直線AC的距離d1,d2之和最大.

此時

2　推廣

得

2b2x2-2abtx+a2(t2-b2)=0,

從而

解得

故

評注此推廣用參數法也可證明，這里不作詳細證明.

證明不妨設A(x1,y1)，B(x2,y2)，kAC=k,設與AC平行的直線l:y=kx+m.只要AC的位置確定，則|AC|確定，要求四邊形ABCD的最大面積，即求點B,D到直線AC距離d1,d2之和的最大值.聯立

得

(a2k2+b2)x2+2ka2mx+a2(m2-b2)=0.

從而

圖2

(2015年天津市天津一中高三月考改編)

證明設A(x1,y1)，B(x2,y2),不妨設x1>0，x2>0，kAC=k.因為

聯立

得

于是

根據橢圓圖形的對稱性知：OA=OC,OB=OD，從而

4·|OA|2·|OB|2(1-cos2∠AOB)=

故

*收文日期：2016-04-20；2016-06-01

鄧真崢(1995-)，女，四川岳池人，碩士研究生.研究方向：數學史與數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-29-03