觀千劍而后識器*
——記一道不等式題目的品題歷程

●李學軍

(平湖中學　浙江平湖　314200)

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觀千劍而后識器*

——記一道不等式題目的品題歷程

●李學軍

(平湖中學浙江平湖314200)

數學教師要學會研究解題，更要學會從學生的角度去研究解題.數學的解題可以通過審題、觀題、品題、賞題達到一定的境界.文章結合一個引題和一個變式題，通過多角度的剖析，去感知、體驗解題過程中的糾結和成功之后的快樂，從而實現真正意義的數學學習.

審題;觀題;品題;賞題

品茶講究審茶、觀茶、品茶這3道程序.筆者認為做數學題也應該講究程序，即審題、觀題、品題，除此之外還應該增加賞題的環節.在做題過程中，大多數學生能夠達到審題的層次，小部分學生能夠達到觀題的層次，很少有學生能夠達到品題和賞題的層次.數學家克萊因說過：教師掌握的知識要比他所教的知識多得多，才能引導學生繞過懸崖、渡過險灘.因此，作為數學教師，一定要加強試題的鉆研，努力達到“觀”后有“品”，“品”后有“賞”.

下面筆者以一道不等式試題為例，把筆者對該題的品題歷程呈現如下：

1　審題：小荷才露尖尖角

對于二元不等式最值的處理，常規的方法是構造不等式和構造函數.構造不等式的關鍵是：構造形式、配湊系數，這樣的操作流程對于大部分學生來說是能夠理解的，通過一定的訓練，學生可以熟練準確地解決這樣的常規題目.關于構造函數，首先減元，接著尋找主元，然后利用函數的思想求解最值[1].因此，對于大部分學生來說，非常自然地產生了下列的2種解法：

解法1不等式視角

因為a≥0,b≥0,所以

解法2函數視角

解后反思將不等式視角和函數視角這2種方法進行對比，結合結論所求代數式的最大值，學生認為該題是考查有關不等式的知識，因此會首先想到用不等式知識來解決[2].筆者認為：以上2種方法在解決問題的實效上后者更優于前者.

2　觀題：橫看成嶺側成峰

利用解決不等式的常規方法處理好這個問題之后，重新觀察、審視這個題目:已知條件是關于2個變量a,b的二元一次方程,結論要研究的代數式是關于a,b的二次不等式.我們要把代數式想辦法轉化為等式的形式.因此，通過令b(a+1)=t，可以產生以下3種解法.

解法3方程視角

故

圖1

解法4規劃的視角

a2-a-2+2t=0,

解法5“1”的視角

解后反思代數式和等式相比，在解決問題時等式更有利于尋找到解決問題的思路及解決問題的方法(這2個等式可以從方程的角度來看，也可以從函數的角度來看).

3　品題：梅花香自苦寒來

文首的題目研究到此，對于學生來說應該是比較開心和快樂的，但是細品之后，將該題目進行變式，以上解法是否依然高效、實用呢?筆者進行了嘗試，成果展示如下.

解法1函數視角

令ab+b=t(其中t≥0)，則

從而

于是

解法2三角函數視角

t=ab+b=sinθcosθ+cosθ，

求導得t′=cos2θ-sin2θ-sinθ=

-2sin2θ-sinθ+1=

-(2sinθ-1)(sinθ+1).

令t′>0，則2sinθ-1<0，即

令t′<0，則2sinθ-1>0，即

解法3平方的視角

令T(a)=[b(a+1)]2=(1-a2)(a+1)2.

角度1用函數處理

角度2用不等式處理

T(a)=[b(a+1)]2=(1-a2)(a+1)2=

解后反思解法1和解法2構造后的函數不是基本初等函數，因此函數的單調性很難判定，必須要借助導數工具才可以判別函數的單調性.解法3構造不等式時發現：很難構造出定值，但是在通過平方變形之后，可以用基本不等式解決.

4　賞題：吹盡狂沙始到金

對于題干是二次型、結論也是二次型的題目，函數及不等式的構造難度明顯較已知條件中是一次型的要大很多，是否還有其他方法呢？其他方法的效果和難度又如何呢？下面是變式1的其他3種解法.

圖2

解法4規劃的視角

令t=ab+b,則

當2條曲線相切時，t取到最小值.設2條曲線的切點為M(a0,b0),對于⊙O:a2+b2=1來說，過點M(a0,b0)的切線方程為

a0a+b0b-1=0,

即

ta+(a0+1)2b-2ta0-t=0,

因此2條切線為同一條直線,從而

故

解法5“湊”的視角

通過上述分析，可以進行如下構造

解法6構造的視角

由題意構造

從而

于是

因此

從而

即

變式3已知a,b,c>0，a2+b2+c2=1，求3ab+3bc+2c2的最大值.

解后反思解法4利用規劃的視角也就是利用數形結合的數學思想，首先要構建出圖形，然后通過圖形的觀察、分析以及必要的計算得出想要的結論，解決問題的關鍵是把二次問題轉化為一次問題進行求解[3].直接構造不等式求解的難度是相當大的，也是十分不容易想到的，但是仔細品味，似乎又在情理之中，結論是二次與一次的和的形式，要把其中一個二次分為2個部分:一部分與二次結合放縮出二次，另一部分二次與常數結合放縮出一次的形式，最后與結論進行對比.

美國著名作家海明威曾經談到過“冰山理論”，他認為：人們看到的小說只是冰露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得讓讀者自己去體會揣摩.我們的數學教學又何嘗不是這樣的呢？數學教育家波利亞也指出：中學數學教學首要的任務就是要加強解題的訓練.在數學解題過程中，思想方法是解題之魂，有什么樣的思想方法就會產生什么樣的解法，見識廣博了很自然就會產生“神奇”的想法[4]，正所謂：觀千劍而后識器！通過教師的正確引領以及學生的頑強訓練，筆者相信：總有一天，我們的學生在數學學習的舞臺上能夠自信而充滿激情地奔跑！

[1]毛良忠.一道函數問題的多角度探究[J].中學教研(數學)，2015(10):13-15.

[2]吳冠男，沈新權.微過程深反思——記一次數學微課比賽的歷程[J].中學教研(數學)，2015(9):34-36.

[3]李晶，李德安.數學習題課上教師的無為和學生的有為[J].中學教研(數學)，2016(1):7-11.

[4]馮濤.“教”讓道于“悟”——從一節高三復習課談起[J].中學教研(數學)，2015(10):5-8.

*收文日期：2016-01-12；2016-04-06

李學軍(1976-)，男，吉林德惠人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)08-15-04