抓本質　拓思路　求透徹*

●陳衛英

(通州區興仁中學　江蘇南通　226371)

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抓本質拓思路求透徹*

●陳衛英

(通州區興仁中學江蘇南通226371)

對于幾何證明題，很多學生感到頭疼，特別是要添加輔助線的問題更是無從下手.文章結合教學實際中的一例說明如何抓住問題本質，注重一題多解、一題多變的思考，不斷積累解題活動經驗，從而生成問題解決的通性通法.

問題解決；本質；思路；透徹；通法

對于幾何證明題，很多學生往往感覺比較頭疼，特別是要添加輔助線的問題更是無從下手.若能基于題中所涉及的知識點、可能用到的思想方法有效整合，抓住問題本質，注重一題多解、一題多變的思考，力求“做一題，會一片”，徹底弄通搞透，不斷積累解題經驗，自然會生成問題解決的通性通法.下面僅以一例加以說明，供參考.

1　證法展示

題目如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上的一點，聯結AD，過點D作DE⊥AD交MN于點E，聯結AE，∠ABC=45°,求證：AD=DE.

圖1 圖2

證法1如圖2，過點D作DF⊥AB于點F，作DH⊥MN于點H.由∠BAC=90°，∠ABC=45°，MN∥AC，可知

∠ABC=∠NBC=45°，

根據角平分線的性質可知

DF=DH.

而由“等角的余角相等”又可知

∠DAF=∠DEH，

根據“AAS”得

△DAF≌△DEH，

從而

AD=DE.

證法2如圖3，過點D作DF⊥BC交MN于點F.同證法1可得

∠DAB=∠DEF，∠ABC=∠C=∠NBC=45°，

圖3

故

∠BFD=45°，BD=DF，

根據“AAS”或“ASA”得

△DAB≌△DEF，

從而

AD=DE.

證法3如圖4，過點D作DF⊥BC交AB于點F.易知∠DBF=45°，故

DB=DF，∠AFD=∠EBD=135°，

由“等角的余角相等”可知

∠DAF=∠DEB，

或由“同角的余角相等”可得

∠ADF=∠EDB，

根據“AAS”或“ASA”得

△DAF≌△DEB，

從而

AD=DE.

圖4　　　　　　　　　　　圖5

證法4如圖5，過點A作AF⊥BC垂足為點F，過點D作DG∥AB交AF于點G. 可知△ABF,△DGF都是等腰直角三角形，因此

FB=FA,FD=FG，

故

AG=BD.由于DE⊥AD，AF⊥BC，根據“等角的余角相等”可知

∠DAG=∠EDB，

再由∠AGD=∠DBE=135°，可得

△DAG≌△EDB，

從而

AD=DE.

證法5如圖6，設AB,DE交于點F，延長AD交MN于點G，在BN上取一點H使BH=BF，聯結DH.易知

∠FBD=∠HBD=45°，

由“SAS”得

△DBF≌△DBH，

從而

DF=DH，∠BFD=∠BHD.

由“等角的補角相等”可知

∠AFD=∠DHG，

而由“同角的余角相等”可得

∠AFD=∠DGH，

因此

∠DHG=∠DGH，

故

DH=DG=DF，

根據“ASA”得

△DAF≌△DEG，

從而

AD=DE.

圖6　　　　　　　　　　　　圖7

證法6如圖7，在BN上取點G使BG=BA，聯結DG.易知

∠ABD=∠GBD=45°,

由“SAS”得

△ABD≌△GBD，

從而

DA=DG，∠DAB=∠DGB.

由“等角的余角相等”可知

∠DAB=∠DEB，

從而

∠DEB=∠DGB，

得

DE=DG，

于是

AD=DE.

證法7如圖8，過點A作AF⊥BC于點F，交MN于點G，聯結DG.易知

∠ABF=∠GBF=45°，

BF垂直平分AG，故

DA=DG，

因此

∠DAF=∠DGF，

從而

∠DAB=∠DGB，

同證法6可得

AD=DE.

圖8　　　　　　　　　　　　圖9

證法8如圖9，取AE中點O，聯結OB,OD，可知

OA=OE=OB=OD，

因此點A,D,B,E共圓,故

∠AED=∠ABC=45°,

從而

∠EAD=∠AED=45°，

于是

AD=DE.

證法9如圖10，過點A作AF⊥BC于點F，過點E作EG⊥BC于點G. 由于DE⊥AD，AF⊥BC，根據“同角的余角相等”可知

∠DAF=∠EDG，

可得

△ADF∽△DEG，

從而

易知

AF=BF，BG=EG，BF=BD+DF，

從而

因此BD·EG+DF·EG=BD·DF+BG·DF.

又DF·EG=BG·DF,得

BD·EG=BD·DF，

從而

EG=DF，

即△ADF∽△DEG的相似比為1，故AD=DE.

圖10　　　　　　　　　　　　圖11

聯立方程組解得點A的坐標為(a+b,b)，因此

OE=DF=a，OD=AF=b，

由三角形全等或勾股定理或兩點間的距離公式都可證得AD=DE.

2　解題思考

2.1對于一題多解的思考

證法1～6都是構造了全等三角形，利用全等三角形的對應邊相等；證法7構造了等腰三角形，利用等角對等邊；證法8構造了三角形的外接圓，利用同弧所對的圓周角相等；證法9構造了“K型”這個基本圖形，利用相似三角形的性質;證法10則是建立了平面直角坐標系，利用解析法解決問題.從本質上來講，可以說除了證法6、證法7和軸對稱有關外,其余8種證法中都有旋轉的影子，如證法1可以看成是△ADF繞點D逆時針旋轉90°得到△DEH，證法2可以看成是△DAB繞點D逆時針旋轉90°得到△DEF，證法5可以看成是△BDE繞線段AE的中點逆時針旋轉90°得到△GAD,等等.值得一提的是，此題多數學生初始的解題思路是構造“K型”這個基本圖形，看似△ADF≌△DEG，但缺少“邊相等”這一關鍵條件，不得不半途而廢.這時比較熟悉的“K型”這一很多人認可的“通法”似乎遇到了瓶頸，而事實上△ADF∽△DEG是很容易證明的，利用相似巧妙地由相似三角形邊之間的比得到EG=DF，從而相似比為1，即恰好是全等，AD和DE作為對應邊自然相等了.

2.2對于一題多變的思考

變式1(變點)其余條件不變，當點D在如圖12所示的位置時結論成立嗎？其余條件不變，當點D在線段BC或線段CB的延長線上(如圖13，圖14)時結論成立嗎？

圖12　　　　　　　　　　　　圖13

圖12中過點D作DF⊥AB于點F，作DH⊥MN于點H，根據證法1可順利解決，類似地也可根據以上其他多種證法完成，圖13、圖14也是如此.

圖14　　　　　　　　　　　　圖15

變式2(變角)如圖15，當∠ABC=30°時，線段AD與DE有何數量關系？并請說明理由.當∠ABC=α時，請直接寫出線段AD與DE的數量關系(用含α的三角函數表示)．

此時只是將全等變成了相似，而證法仍然類似，有興趣的讀者可以一試．

當然，還可以“變線”，如2014年黑龍江省齊齊哈爾市數學中考第26題就相當于將此題中直線MN變成與BC平行的直線，方法還是類似．

因此，無論哪種證法，無論題目如何改變，只要抓住其本質，必會脈脈相通.

*收文日期：2016-03-02；2016-04-26

陳衛英，(1976-)，女，江蘇通州人，中學一級教師.研究方向：初中數學教學研究.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-12-3