一個問題的探究過程*
——例談高中數學知識拓展類選修課程素材的選取

●盛耀建

(湖州中學　浙江湖州　313000)

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一個問題的探究過程*

——例談高中數學知識拓展類選修課程素材的選取

●盛耀建

(湖州中學浙江湖州313000)

文章從一個簡單的問題出發，步步深入，通過對問題的挖掘、探究和拓展，展示了一個問題完整的研究過程，形成一節知識拓展類選修課的教案，從一個新的角度認識現階段高中數學知識拓展類選修課素材的選取.

探究;知識拓展類;選修課;素材

在現階段全國上下大力推進深化普通高中課程改革的大背景下，學校日常教學工作中開設選修課成為了流行與必然.浙江省高中課改方案中選修課程分為知識拓展、職業技能、興趣特長、社會實踐這4類，然而改革伊始，部分任課教師對待選修課因苦于沒有內容可上而一籌莫展，為了正視這一問題，筆者以自己設計的一節知識拓展類選修課為例，以此“拋磚”，并希望能影響同仁對知識拓展類選修課素材選取的認識，從而起到“引玉”的作用.

1　背景例題

妙解由橢圓的對稱性，結合圖像和條件可知l1和l2關于y軸對稱，則可設直線l1的方程為：

y=x+h.

3x2+4hx+2h2-2=0.

由l1與E只有1個交點，可得

Δ=6-2h2=0，

解得

2　變式探究

分析此題僅將例題條件中的“過點H(0,h)(其中h>1)”改為“過點H(1,h)(其中h>1)”，但立馬發現上述“妙解”失效，無法解決本題，故尋求該類題型的通法.

通法由條件l1⊥l2，可設

l1：y=kx+h-k，

(1+2k2)x2+4(kh-k2)x+2(h-k)2-2=0，

由Δ=0，化簡可得

(1)

同理可得(因為l2與l1的方程形式有對應關系，所以可直接推得)

(2)

3　深層探究

3.1特殊位置

圖1 圖2

y-y0=k(x-x0)，

即

y=kx+y0-kx0.

代入橢圓方程，整理得(b2+a2k2)x2+2k(y0-kx0)a2x+

(y0-kx0)2a2-a2b2=0,

由Δ=0知

從而

圖3　　　　　　　　　　圖4

故l1⊥l2.

當點P位于(a,b)，(-a,b)，(a,-b)，(-a,-b)處時，顯然l1⊥l2.

解法1解析法

如圖4，設P(x0,y0)，設l1:y-y0=k(x-x0)，即y=kx+y0-kx0,代入橢圓方程，整理得

(3)

(4)

圖5

解法2幾何法

4　外延探究

4.2拓展延伸已知圓x2+y2=r2，則此圓的所有夾角為θ(其中θ≠90°)的切線的交點軌跡為以原點為圓心、分

(提示：不是2個圓.)

設計反思 筆者在設計本節知識拓展類選修課的過程中同時作了如下反思：

1)知識拓展類選修課可以從抓住學生日常學習中的一個簡單數學問題出發進行變形，逐步展開，并深入探究，最后得到一些一般性的結論.

2)在內容的選取上，知識拓展類選修課并不一定要求教師講解未曾被發掘的新觀點、新結論，而僅需遵循知識拓展類選修課屬性的這一原則，即所涉及的知識點在高考范圍內，學生能夠聽懂，但又不是高中數學教學中的必講內容.

3)知識拓展類選修課可采用不同于日常的教學方式，如筆者設計的整節課均在探究的過程中開展，從一個簡單的例題出發，層層遞進，猶如福爾摩斯破案一般，既滿足了學生對內容本身的好奇心，同時也增加了學生的見識，從側面進一步鞏固了學生對橢圓知識的掌握，認識了橢圓的一個新性質，有助于常規課中數學的學習.

*收文日期：2016-04-08；2016-05-15

盛耀建(1982-)，男，浙江湖州人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-04-03