合情推理與演繹推理并重　展現(xiàn)幾何的教育價值
——“直線與平面平行的判定”的教學設計

葉　欣　江用科

(北京工業(yè)大學附屬中學，北京　100022)

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合情推理與演繹推理并重展現(xiàn)幾何的教育價值

——“直線與平面平行的判定”的教學設計

葉欣江用科

(北京工業(yè)大學附屬中學，北京100022)

本節(jié)課教師在立體幾何教學中，以空間點、線、面的位置關系作為學習的出發(fā)點，讓學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，逐步認識直線與平面的位置關系，概括出直線與平面平行的判定定理．引導學生進行合情推理，而不僅局限于演繹推理，更全面地體現(xiàn)幾何的教育價值．

直線平面平行合情推理演繹推理

一、教學設計思想與理論依據(jù)

建構主義提倡在教師指導下、以學習者為中心的學習，也就是說，既強調(diào)學習者的認知主體作用，又不忽視教師的指導作用，教師是意義建構的幫助者、促進者，而不是知識的傳授者與灌輸者．學生是信息加工的主體、是意義的主動建構者，而不是外部刺激的被動接受者和被灌輸?shù)膶ο螅?/p>

《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》(以下簡稱《標準》)中指出，學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式．這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程．

本節(jié)課在建構主義學習理論的指導下，以《標準》為依據(jù)，將空間點、線、面的位置關系作為學習的出發(fā)點，結合相關實物模型，通過直觀感知、操作確認(合情推理，不要求證明)概括出直線與平面平行的判定定理，在不進行證明的情況下，讓學生認可、理解直線與平面平行的判定定理，并能利用定理解決相關問題．

二、教學背景說明

(一)本課時教學內(nèi)容的功能和地位

本課時選自高中數(shù)學人教A版《必修2》第二章“點、直線、平面之間的位置關系”的第二節(jié)第一課時“直線與平面平行的判定”．

本節(jié)課以空間點、線、面的位置關系作為學習的出發(fā)點，結合相關實物模型，學生通過直觀感知、操作確認(合情推理，不要求證明)概括出直線與平面平行的判定定理．直線與平面平行的判定定理的探究與應用過程中，蘊含著轉(zhuǎn)化與化歸、有限與無限等豐富的數(shù)學思想，是直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的核心．一方面，為下一步學習平面與平面平行的判定、直線與平面平行的性質(zhì)等內(nèi)容奠定了知識與能力的基礎；另一方面，在方法與思想上發(fā)揮著承上啟下的重要作用．可以說本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生準確地使用數(shù)學語言表述幾何對象的位置關系，發(fā)展學生的空間想象能力、合情推理能力和思辨論證能力的重要載體之一．

(二)教學準備

課前由學生每人準備一個梯形模板．

三、教學內(nèi)容與方法說明

(一)教學目標

1．通過對生活實例的直觀感知、對幾何模型的操作確認、對數(shù)學圖形的辨析，概括出直線與平面平行的判定定理，并能進行簡單應用；

2．通過對定理的探究，經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、歸納、概括等合情推理過程，體驗這種重要的推理方式，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；

3．通過對定理的探究與應用，體會空間問題平面化過程中的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，獲得研究立體幾何問題的一般規(guī)律．

(二)教學重點和難點

1．教學重點：直線與平面平行的判定定理及其應用.

2．教學難點：直線與平面平行的判定定理的形成過程及其應用.

(三)教學手段與方法

1．教學手段：本節(jié)課借助生活中的實例、數(shù)學中的基本圖形讓學生動手操作、觀察、歸納定理，教師適時利用幾何畫板進行動態(tài)演示，幫助學生更好地理解定理．因此本節(jié)課將現(xiàn)代信息技術與傳統(tǒng)教學手段相結合，展示運動與變化過程，并增強師生互動．

2．教學方法：本節(jié)課堅持“傳授知識與發(fā)展能力相統(tǒng)一”的教學原則，采用啟發(fā)與探究相結合的教學方法．

四、教學過程說明

在學習直線與平面平行的判定定理這一內(nèi)容的過程中，為了突出直觀感知—操作確認—思辨論證—強化應用的認知過程和研究思路，使學生親歷觀察、實驗、猜想、理性思考和歸納概括的合情推理過程，體驗合情推理這種重要的推理方式，在應用定理的過程中感受演繹推理，筆者將本節(jié)課的教學過程分為6個環(huán)節(jié)(如下)，在每個環(huán)節(jié)中又通過若干問題，引領學生在原有認知基礎上展開新知識的學習．

(一)溫習舊知，引出新課

在教學的過程中，不僅要教給學生新的知識，同時要讓學生清楚為什么要研究學習新的內(nèi)容．因此在本環(huán)節(jié)中，首先提出兩個簡單的問題幫助學生回顧已有知識：

①空間中直線與平面有哪幾種位置關系？(這里指出：其中平行是一種非常重要的關系，它的應用較多，是后面學習的基礎．)

②怎樣判定直線與平面平行呢？(有的學生會用“直線與平面平行的定義”，它可以作為判定直線與平面平行的一種依據(jù)，但是直線無限延長，平面無限延展，要說明直線與平面沒有公共點，不易操作，需要尋找其他的辦法，從而順理成章地提出本節(jié)課的任務．)

那么又該如何進行研究呢？類比是合情推理中的一種重要的方式，因此提示學生回顧初中學習判定兩條直線平行的情況，并指出當時是通過引入第三條直線，得到了判定兩條直線平行的三個定理．那么，在判定直線與平面平行時，是否也可以通過引入新的元素呢？

(二)觀察歸納，形成定理

《標準》中也指出幾何教學應注意引導學生通過對實際模型的認識，學會將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言；通過對圖形的觀察、實驗和說理，使學生進一步了解平行、垂直關系的基本性質(zhì)以及判定方法，學會準確地使用數(shù)學語言表述幾何對象的位置關系．

基于以上分析，在本環(huán)節(jié)中設計了如下5個步驟，讓學生在實際生活中感受直線與平面平行及其判定方法的基礎上，利用數(shù)學中的簡單圖形——梯形進行操作確認、說理思辨，并回歸到數(shù)學中讓學生辨認，最終由學生自己歸納出直線與平面平行的判定定理．

1．直觀感知

首先讓學生觀察打開的教室門，并思考門邊CD為什么與門框所在墻面平行？然后安排學生活動并回答問題：如果我們將一本數(shù)學書放在桌面上，翻動書的封面，封面邊緣AB與桌面具有什么樣的位置關系？它又是為什么呢？

這兩個生活中的實例，學生非常熟悉但平時又沒有引起重視，用它們作為本課的引例，學生感到親切的同時又能激發(fā)學生的好奇感，從上課伊始就緊緊抓住學生．另外，它們雖然是看似相同的兩個例子，但是一個直立、另一個平放，對于剛開始接觸立體幾何的學生而言，這種位置的變化也是必要的．

2．操作確認

有了“直觀感知”的基礎，下面安排學生利用數(shù)學中的簡單圖形——梯形，進行實踐活動．

活動(1)：將梯形模板的腰BC放在桌面上，觀察另一腰AD與桌面的位置關系．在這個活動中，通過學生動手實踐、觀察，教師利用幾何畫板動態(tài)演示，讓學生認識到雖然線段DA與桌面沒有公共點，但是梯形兩腰所在的直線相交，因此直線DA與平面相交，由此讓學生突破由有限到無限的思維障礙．

活動(2)：將梯形模板的一條底邊CD放在桌面上，觀察另一條底邊AB與桌面的位置關系．讓學生再次感知直線與平面平行．另外，在這個活動中，學生隨意擺放梯形，由于梯形是繞直線CD轉(zhuǎn)動的，因此梯形所在平面與桌面所在平面有可能重合，借此讓學生注意到AB若與桌面平行，AB首先要在桌面外這一重要條件．

3．說理思辨

由于在新教材中，對“直線與平面平行的判定定理”不要求證明，只要求直觀感知、操作確認．因此，如何讓學生認可定理的正確性就是在教學中必須要注意和解決的問題．為此，在活動(2)后，引導學生思考如下問題：①直線AB，CD是否共面？②直線AB與平面α相交嗎？③如果直線AB與平面α有公共點，結果會怎樣呢？對于問題③，引導學生說出如果相交則交點在兩個平面的交線上，即在CD上，這是不可能的．滲透反證法的思想．

在這個環(huán)節(jié)中，利用數(shù)學中的簡單圖形——梯形，以上述兩種情況為載體，通過學生的自主探究、動手操作、合作交流，進一步發(fā)現(xiàn)定理，同時培養(yǎng)學生的空間想象和思辨論證能力，體驗合情推理這種重要的推理方式．

4．回歸數(shù)學

有直觀感知、操作確認作為基礎，學生對如何判定直線與平面平行有了初步的感性認識，此時有必要引導學生從生活實例中回歸到數(shù)學．于是提出問題：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，與AB平行的平面有哪些？與DD1平行的平面又有哪些呢？

利用正方體這個熟悉而又抽象的數(shù)學模型讓學生對判定直線與平面平行提高到理性認識，為進一步歸納定理奠定基礎．

5．歸納定理

此時歸納定理已是水到渠成的事情了．首先要求學生根據(jù)以上討論，用自己的語言說出直線與平面平行的一個判定方法．學生開始可能對條件歸納得不夠準確，讓學生討論后，師生共同給出定理的文字內(nèi)容：

判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．

然后要求學生用幾何圖形和數(shù)學符號語言進行表達．

圖形語言：

符號語言：a?α，b?α，且a∥b?a∥α

得到定理后，再要求學生用定理解釋生活中的實例，幫助學生加深對定理的理解，同時引導學生將數(shù)學與實際生活相聯(lián)系，培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識和能力．

(三)剖析定理，深化理解

雖然在第二環(huán)節(jié)中學生已經(jīng)通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面平行的判定定理，但是對定理的條件及其作用理解得還不到位，為此安排學生對如下問題進行思考：

(1)如圖，c，d是兩條直線，α是平面，已知c∥d，請補全條件，使c∥α．

(2)c是平面α外的一條直線，請補全條件，使c∥α，并畫出相應的圖形．

(3)直線a與平面α內(nèi)的一條直線b平行，則a與α具有怎樣的位置關系？并畫出相應的圖形．

通過學生對這三個問題的討論，讓學生加深對定理中的限制條件的認識．同時點明定理是判定或證明直線與平面平行的依據(jù)；應用定理的關鍵是在平面內(nèi)找(或作)出一條直線與平面外的直線平行．在討論的過程中，讓學生認識到此定理實際是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，這也是處理空間位置關系的一種常用方法．

(四)鞏固練習，加深理解

在學生對定理初步掌握的基礎上，為鞏固學生所學，本環(huán)節(jié)中，安排了如下的典型例題和練習．讓學生在應用定理的過程中，進一步理解定理，體會定理的作用、價值，并培養(yǎng)學生的理性精神和嚴謹?shù)乃季S習慣．

例1求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面．

已知：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求證：EF∥平面BCD.

證明：連接BD，

∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，

∴EF∥BD，

∵EF?平面BCD，BD?平面BCD，

∴EF∥平面BCD.

本例題首先需將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言，進一步培養(yǎng)學生將各種數(shù)學語言進行轉(zhuǎn)化的能力．此題比較簡單，可以讓學生說出證明方法，熟悉定理條件及使用方法，教師在黑板上進行板演，起到很好的示范作用．

練習如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為DD1的中點，試判斷BD1與平面AEC的位置關系，并說明理由．

本題較為開放，在判斷BD1與平面AEC的位置關系時培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，而證明過程則是對例題1的鞏固．

例2在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，G分別是BC，C1D1的中點，求證：EG∥平面BB1D1D．

證明：取B1D1的中點H，連接BH、GH.

∵G是C1D1中點，

∵E是BC中點，且BC∥B1C1，BC=B1C1,

∴GH∥BE，且GH=BE，

∴四邊形BEGH是平行四邊形,

∴GE∥BH.

∵GE?平面BB1D1D，BH?平面BB1D1D，

∴GE∥平面BB1D1D.

在例1的基礎上，本題可以讓學生獨立思考并講述自己的想法，本題有兩種解題思路可以拓展學生思維．

結合例1和例2歸納得到線線平行的常用方法，即中位線法和平行四邊形法．

(五)歸納小結，提高認識

歸納小結是鞏固新知不可或缺的環(huán)節(jié)之一，這個教學環(huán)節(jié)對培養(yǎng)學生的歸納概括能力、自我獲取知識能力和語言表達能力是十分重要的．在本環(huán)節(jié)中引導學生進行以下方面的思考：

(1)本課通過觀察打開的門、翻開的書的封面，感受到生活中存在的直線與平面平行的實例；然后利用梯形模板完成了兩個實踐活動，并思考了為什么把梯形的一條底邊放在桌面上，并讓它立在桌上時，它的另一條底邊所在直線會與桌面所在平面平行；接著又在我們熟悉的正方體中找到與棱平行的平面，最后歸納出判定直線與平面平行的定理．

(2)判定直線與平面平行的兩種方法：其一是使用定義，證明直線與平面沒有公共點，但實際操作不太容易；其二是使用判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．在使用該定理證明直線與平面平行時，要注意定理中的三個條件缺一不可．

(3)使用判定定理證明直線與平面平行時，關鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與平面外的直線平行，從而將直線與平面平行的問題轉(zhuǎn)化為直線間的平行，這實際上是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，它也是處理空間位置關系的一種常用方法．

(4)找這條平行直線主要是利用平面幾何的知識：常用的方法是構造三角形中位線、根據(jù)比例線段得到相似三角形，進而用三線八角，以及構造平行四邊形得到平行的兩條直線．

(5)就像我們每天開關門一樣，生活中，還有很多實例在不經(jīng)意間隱藏著很多奇妙的數(shù)學問題，希望同學們用你的一雙慧眼去發(fā)現(xiàn)它們、研究它們、應用它們．

(六)布置作業(yè)

本課安排了兩項作業(yè)，一項是課本中的習題第61頁——第1、2、3題，通過完成這三個題目，幫助學生鞏固課上所學習的內(nèi)容．另一項是一個發(fā)散性問題：在例1中，如果E，F(xiàn)不是中點，那么它們滿足什么條件時，仍然能得出EF∥平面BCD？請你編一道題，并進行證明，通過完成此題拓展學生思維．

五、教學反思

本節(jié)課學生通過對生活中的實例進行觀察、分析，直觀感知定理；通過動手操作、歸納、概括等活動認識定理；在經(jīng)歷觀察、實驗、思考、說理等合情推理過程中得出定理，通過辨析和應用定理證明問題等過程理解定理．上述環(huán)節(jié)的實施使學生切身體驗了直觀感知、操作確認、思辨論證、強化應用這一學習定理的一般過程，獲得了較好的教學效果．

1.在教學中重視幾何的教育價值

判定定理不要求證明了，那么我們觀察得出的結論是否正確？為解決這一問題，本課安排了實踐活動及說理思辨環(huán)節(jié)，即為什么把梯形的一條底邊放在桌面上，并讓它立在桌上時，它的另一條底邊所在直線會與桌面所在平面平行．學生在不斷地思考中確認定理的正確性，在這里引入合情推理就顯得至關重要.

從幾何推理的角度來看，既有演繹推理，又有合情推理．在《標準》中，對立體幾何初步的要求也可以看出：要讓學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，逐步認識直線與平面、平面與平面的位置關系，進行合情推理而不僅局限于演繹推理，這也更全面地體現(xiàn)幾何的教育價值，是《標準》在立體幾何教學中的一大突破．在本課的教學中，充分重視和體現(xiàn)了幾何的教育價值．

2.尋找好立體幾何教學的邏輯起點

現(xiàn)在很多教師在“引入環(huán)節(jié)”的教學中，愿意使用實際問題引入，這可以在一定程度上說明要學習新知識的必要性，也可以激發(fā)學生學習的積極性．但是，對于高中生而言，從數(shù)學現(xiàn)實引入、從學生已經(jīng)掌握的數(shù)學基礎引入、從數(shù)學的發(fā)生發(fā)展過程自然而然提出數(shù)學問題，更為重要．這樣可以讓學生明確為什么學、怎樣學，在傳授學生新知識的過程中，也將知識網(wǎng)絡建構起來，還教給學生研究新問題的方法．

本課從回顧學生已經(jīng)學習的直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系入手；幫助學生搞清已經(jīng)研究過什么，還需要研究什么．

3.在教學中，堅持多用實例，多用模型的原則

幾何學是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置間相互關系的科學．人類認識和探索幾何圖形及其性質(zhì)通常是采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法．在《標準》中反復強調(diào)：在立體幾何初步部分，學生應先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系．在《標準》中也多次提到“數(shù)學模型”一詞，旨在進一步加強數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系．

本節(jié)課通過讓學生觀察打開的門、翻開的書的封面，感受到生活中存在的直線與平面平行的實例；然后利用梯形模板完成了兩個實踐活動；接著又讓學生在熟悉的正方體中找到與棱平行的平面，最后根據(jù)這些，歸納出判定直線與平面平行的定理．本課通過學生身邊的實際例子感知直線與平面平行的判定定理；再利用正方體這一學生熟悉的立體幾何模型進一步抽象出直線與平面平行的判定定理．從生活實例到立體幾何模型逐漸上升層次，升華學生的感知．

4.組織學生進行協(xié)作、會話等活動

在定理探究的過程中，由于給出的實例都是學生身邊的例子，學生感到親切、熟悉，熱情很高；安排的用梯形做模型進行探究的活動，學生以小組為單位，積極進行活動，對思考問題積極討論．在這個過程中學生獨立思考、合作交流的意識和能力得到了鍛煉；在定理應用的過程中，學生對空間圖形平面化的化歸思想強化了認識；在歸納小結的過程中，學生理性思維水平得到了發(fā)展．教師在教學過程中，創(chuàng)設問題情境，引導學生思考，對學生的閃光點及時表揚、激勵，增強學生的自信心，促進學生自主全面發(fā)展.

5.不足

(1)在定理探究的過程中，更多地引導學生關注了實例中直線與平面內(nèi)的直線平行，而忽略了直線在平面

外這一條件的梳理，因此學生在歸納定理和應用定理時常常遺漏這一條件.

(2)定理在應用過程中，更注意學生獨立思考，沒有安排足夠的時間進行學生間的討論，造成個別學生對本節(jié)內(nèi)容理解不到位．

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]人民教育出版社課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學2必修(A版)[M] .北京：人民教育出版社，2014.

[3]人民教育出版社課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學2必修(A版)教師教學用書[M] .北京：人民教育出版社，2014.

[4]陳越.建構主義與建構主義學習理論綜述.[DB/OL].[2006-11-06].http:∥tieba.baidu.com/p/145698311.