無(wú)窮個(gè)數(shù)相加，結(jié)果會(huì)無(wú)窮大嗎？

一個(gè)人從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，先走完路程的，再走完剩下路程的，再走完剩下的……如此循環(huán)下去，他永遠(yuǎn)不能到達(dá)終點(diǎn)。

“A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離是一定的，為什么無(wú)法走到終點(diǎn)呢？”你開始這樣自言自語(yǔ)。先別急，請(qǐng)聽我慢慢道來(lái)。路程是固定的，如果行走的速度確定，通過(guò)時(shí)間=路程÷速度，那么從A點(diǎn)走到B點(diǎn)所需要的時(shí)間就是固定的。先走完全程的，則用時(shí)為總時(shí)間的；再走完剩下路程的，則用時(shí)為總時(shí)間的；再走完剩下路程的，則用時(shí)為總時(shí)間的……每次都需要花費(fèi)一定的時(shí)間，雖然時(shí)間越來(lái)越少，但是會(huì)被無(wú)限細(xì)分，無(wú)窮無(wú)盡，沒(méi)有盡頭。

這時(shí)，問(wèn)題來(lái)了。這些時(shí)間的總和會(huì)無(wú)窮大嗎？下面，我們用1秒時(shí)間來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。先過(guò)完一半，即秒；再過(guò)完剩下時(shí)間的一半，即×=（秒）；再過(guò)完剩下時(shí)間的一半，即×=（秒）；再過(guò)完剩下時(shí)間的一半，即×=（秒）……時(shí)間被無(wú)限細(xì)分，但這些時(shí)間的總和沒(méi)有超過(guò)1秒。

為了更清楚地解決上述無(wú)窮個(gè)數(shù)相加的總和問(wèn)題，我們把計(jì)算轉(zhuǎn)化為面積求和。

先畫出一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，然后在這個(gè)面積為1的正方形里依次可以得到面積為、、、、、……的矩形，雖然個(gè)數(shù)有無(wú)限多個(gè)，但是它們的面積和卻不可能超過(guò)1。

烏龜會(huì)一直領(lǐng)先嗎？

讓跑得慢的烏龜先行一段路程，那么阿基里斯將永遠(yuǎn)追不上烏龜。這是芝諾給出的結(jié)論。因?yàn)樗J(rèn)為阿基里斯為了追趕烏龜，必須要先到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，但在阿基里斯前進(jìn)的同時(shí)，烏龜也前進(jìn)了一段距離，阿基里斯又必須跑過(guò)這一小段路，而此時(shí)烏龜又向前走了一段距離。這樣，阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x雖然越來(lái)越近，但是他卻不能追上烏龜，跑得慢的烏龜永遠(yuǎn)領(lǐng)先。

芝諾的結(jié)論，聽起來(lái)似乎是這么一回事。可是仔細(xì)一想，又覺(jué)得這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。因?yàn)橐罁?jù)芝諾的意思，難道連劉翔、博爾特這樣的飛人也追不上烏龜？想想都覺(jué)得不太可能。這其實(shí)就是數(shù)學(xué)上的追趕問(wèn)題，為了解決疑問(wèn)，我們不妨用數(shù)學(xué)方法來(lái)驗(yàn)證。

假設(shè)阿基里斯的速度是10米/秒，烏龜?shù)乃俣仁?米/秒，兩者距離為100米，那么我們根據(jù)追及時(shí)間=路程差÷速度差，計(jì)算得到100÷（10-1）=（秒），即阿基里斯只需要秒便可追上烏龜。我們還可以用列方程的方法解決這個(gè)問(wèn)題。設(shè)阿基里斯追上烏龜需要的時(shí)間為t，則有10t=100+t，得t=（秒），也就是說(shuō)當(dāng)阿基里斯跑過(guò)米的時(shí)候，他追上了烏龜。

當(dāng)阿基里斯在A點(diǎn)時(shí)，烏龜在B點(diǎn)；他追到B點(diǎn)，烏龜爬到C點(diǎn)；他追到C點(diǎn)，烏龜爬到D點(diǎn)……阿基里斯離烏龜越來(lái)越近，但距離不是0，當(dāng)阿基里斯按這樣的過(guò)程去追烏龜，在任何有限次內(nèi)他是追不上烏龜?shù)摹５捎诰嚯x越來(lái)越短，阿基里斯跑完這些距離所用的時(shí)間越來(lái)越少。最后，時(shí)間總和為秒。

事實(shí)證明，阿基里斯能追上烏龜，任何速度快于烏龜?shù)奈矬w，都可以追上在前面的烏龜。這既可以用常識(shí)判斷出來(lái)，也可以通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證。芝諾的推理把時(shí)間分成無(wú)限多份，但所有時(shí)間加起來(lái)是有限時(shí)間，而不是無(wú)限長(zhǎng)，可芝諾卻將無(wú)限份時(shí)間換成了無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間。

看吧，我剛說(shuō)什么來(lái)著，飛毛腿肯定能追上烏龜。龜兔賽跑中，烏龜能勝，純屬意外，誰(shuí)讓兔子半路睡大覺(jué)。

阿基里斯的飛毛腿稱號(hào)總算是保住了啊！