氮化鎵回音壁微腔激光模式方程推導

朱剛毅，王譯畦南京郵電大學通信與信息工程學院；南京郵電大學教育與科學技術學院

氮化鎵回音壁微腔激光模式方程推導

朱剛毅1，王譯畦2
1南京郵電大學通信與信息工程學院；2南京郵電大學教育與科學技術學院

本文從菲涅爾公式推導出圓形，正六邊形，正十二邊形的微腔的激光模式數方程，并且在此基礎上修正了更為普適的被不同介質包圍的正六邊形激光模式數方程。本研究對于氮化鎵回音壁激光的光譜特性研究具有重要的指導意義。

氮化鎵；回音壁激光；全反射；菲涅爾公式；激光模式數方程

GaN基寬禁帶半導體激光器，在高密度光存儲、激光顯示、激光掃描和塑料光纖通信等領域有巨大的應用前景和市場需求。氮化鎵回音壁激光是利用光路在環形微腔或者多邊形微腔中內全反射形成的,具有極低的閾值和極高的激光品質。因此，GaN基回音壁模激光器一直是光電器件研究的熱點。本文利用光程、全反射的概念和菲涅爾公式，結合不同形狀的回音壁激光模型，推導出不同形狀的回音壁微腔激光模式數方程，并對不同介質包圍的不同形狀的回音壁微腔的激光模式數公式進行修正，得到更具普適的激光模式方程。

氮化鎵是一種纖鋅礦結構的雙折射率材料，在紫外光范圍內，TM極化模式的激光強度比較弱，相對于TE極化模式的激光，探測比較困難，為了簡化，在這里我們只討論TE極化模式的激光。TE極化模式的光的色散關系可以用Sellmeier色散方程來表示[1]。

1.圓形微腔激光模式數方程

圖1顯示了不同微腔中，回音壁激光的光學共振機制。對于微腔的橫截面為圓形的微腔，如圖1（a）所示，光循環一周的路徑為橫截面圓周長，因此激光的光程

圖1　不同形狀微腔的橫截面及光路循環圖（a）圓形（b）正六邊形（c）正十二邊形

其中nGaN代表氮化鎵在真空波長λ的折射率，R是圓的半徑，λ是氮化鎵的波長，單位是微米，N激光的模式數，為正整數，所以圓形微腔的激光的模數方程為[2]：

2.正六邊形微腔激光模式數方程

被均勻介質環繞，且橫截面為正六邊形的微腔，激光的微腔中的環繞路徑如圖1（b）所示，光在六個面進行全反射，對于六邊形微腔光程：

nGaN代表氮化鎵在真空波長λ的折射率。公式右邊分為兩部分，第一部分為微腔內部的激光的循環路徑，此時的折射率為氮化鎵的折射率nGaN，，第二部分為微腔在界面全反射的時候,反射光線相對于入射光線相位差，根據菲涅爾公式，TE全反射是反射光線與入射光線的比值[3]：

TE光在全反射時的相位角差：

對于正六邊形微腔，如圖1（b）所示，θ=60°所以全反射光線與入射光線的相位角移動為：

公式中，R是微腔的半徑，nr是微腔界面。

3.十二邊形微腔激光模式數方程

被均勻介質環繞，且橫截面為正十二邊形的微腔，激光的微腔中的環繞路徑如圖1（c）所示，激光要在十二個面進行全反射，十二邊形微腔循環光路的光程為：

nGaN代表氮化鎵在真空波長λ的折射率。公式右邊分為兩部分，第一部分為微腔內部的激光的循環路徑，此時的折射率為氮化鎵的折射率nGaN，，第二部分為激光微腔界面全反射的時候造成的光程差，對于正十二邊形來說，光在微腔界面的全反射的角度為θ=75°，如圖1（c）所示，代入全反射的相位角變化公式（5）和公式（7），光在全反射時的相位角移動為

此時nr為界面的相對折射率對,參數β對于TM和TE極化模分別等于和 nr，所以共振波長λ和對應的激光模式數方程被表達為[6]：

4.六邊形微腔激光模式數修正方程

方程(7)只適用于六邊形微腔被同一種介質包圍完全對稱的情況。如果微腔是一種被不同的介質包圍的非對稱性結構，那么光在每個界面全反射時相位角的改變量將會不一樣，在這種情況下，傳統的方程(7)已不再適用。在這里，我們給出了一種更為普適的針對六邊形微腔的激光模式數方程[7]：

5.小結

本文從最基本的微腔結構出發，結合光程，全反射的概念和菲涅爾公式推導出圓形，正六邊形，正十二邊形的微腔的激光模式數方程，并且在此基礎上修正了更為普適的被不同介質包圍的正六邊形激光模式數方程。本研究有利于深刻理解菲涅爾公式和全反射的概念，對于氮化鎵回音壁微腔激光的光譜特性研究有重要的指導意義。

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王譯畦，女，南京郵電大學，教育科學學院。

朱剛毅，男，南京郵電大學通信與信息工程學院。