基于RBF核支持向量回歸的模型預測控制仿真

唐賢倫, 劉念慈, 嚴　冬, 陳功貴

(重慶郵電大學 自動化學院, 重慶　400065)

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基于RBF核支持向量回歸的模型預測控制仿真

唐賢倫, 劉念慈, 嚴冬, 陳功貴

(重慶郵電大學 自動化學院, 重慶400065)

RBF核函數的表達式較復雜,用于模型預測控制時滾動優化求解困難。該文建立一種基于RBF核SVR的預測控制模型,利用多智能體粒子群(MAPSO)算法求解模型預測控制中的滾動優化,推導出最優控制律,對其進行Matlab仿真并與其他方法進行比較。選取一個非線性系統及連續攪拌槽式反應器進行測試分析,結果表明:該預測模型能迅速抑制干擾,較快返回預設跟蹤軌跡,展現了良好的抗噪、抗干擾能力。

模型預測控制； 支持向量回歸； 仿真實驗； 控制系統； RBF

模型預測控制[1-2]是基于預測模型、滾動優化和反饋校正的優化控制算法,其本質是根據對系統未來狀態的預測來優化系統行為[3]。支持向量回歸機(SVR)[4-6]是一種建立在統計學習理論上的“小樣本”學習機,可以很好地解決非線性、高維數、小樣本問題。SVR的預測和泛化能力很大程度上取決于其核函數的選取,而傳統的SVR憑經驗選取核函數使其在具體應用中存在一定風險。RBF核函數是目前應用廣泛、預測精度相對較高的SVR核函數,但是由于其本身表達式復雜,在用于模型預測控制時滾動優化求解困難。采用表達式簡單的二次核SVR進行預測控制,雖然有較好的效果,但不能避免初期振蕩等問題[7]。

為了改進預測控制系統的性能、提高學生的分析能力和理解能力,我們在控制類研究生課程的模型預測控制系統部分的教學中,采用基于RBF核SVR的模型預測控制算法,選取適應性強的RBF核函數作為SVR核函數,將SVR與模型預測控制相結合,對非線性系統進行預測控制。考慮到RBF核自身復雜的表達式,在滾動優化過程中需要數學推導,要求學生將相關算式經泰勒展開后,利用MAPSO算法求出最優控制輸出。最后,將該算法與基于二次核支持向量回歸的模型預測控制方法進行Matlab仿真并進行比較。

1　多智能體粒子群優化(MAPSO)算法

粒子群算法(PSO)視每個個體為一個粒子,通過迭代尋找最優值。每一次迭代中,粒子通過跟蹤個體極值和全局極值更新自己。每個粒子根據如下公式來更新自身速度和位置:

(1)

式中,下標k為當前迭代次數,Xk和Vk分別表示第k次迭代時粒子的空間位置和速度,pk、gk分別代表當前時刻粒子個體最優位置和全局最優位置,c1、c2為加速度因子,r1,r2是分布于[0,1]之間的隨機數,w為慣性常數。

在標準粒子群算法基礎上,MAPSO算法是結合PSO算法和多智能體(多Agent)的主要特性而構造的一種新算法[8]。在MAPSO算法中,每個粒子(Agent)通過與其鄰居粒子的競爭與合作修正自身行動策略,并利用公式(1)與粒子群中最優粒子(最優Agent)進行信息交換,這樣能夠彌補單個Agent有用信息傳遞的環境局限性和信息流傳遞效率低的不足,加快信息在多Agent系統中的流動,提高算法的收斂速度。

2　基于MAPSO的RBF-SVR預測控制

2.1支持向量回歸機(SVR)

支持向量機(SVM)可以分為支持向量分類機(SVC)和支持向量回歸機(SVR)兩種,前者主要應用于辨識分類,后者主要應用于函數逼近。

支持向量回歸機的估計函數一般寫為

(2)

其中Φ(x)是向量x在高維特征空間的非線性映射,w?Rn,b?Rn為函數系數。根據結構風險最小化一致性原則,可以確定w和b,向量x可由下式確定:

(3)

式(3)中,Rref(·)是結構風險,Γ(·)為損失函數,C為懲罰系數(C≥0),l為樣本數。向量w可以寫為

(4)

根據式(4),可將式(2)轉化為

(5)

從上述式子中不難看出,SVR核函數的選取直接影響其預測精度和泛化能力。

SVR常用的核函數有sigmoid核函數、多項式核函數及徑向基(RBF)核函數。其中RBF核函數應用廣泛、適用性強、具有較寬收斂域,幾乎任何情況(維數過高過低、樣本數據過多過少等)下,均能表現出較理想的效果,因此為本文所選用。考慮其復雜表達式在滾動優化部分不易化簡求取最優控制律,在滾動優化部分,先將RBF核函數利用泰勒公式展開成多項式后,再引入多Agent粒子群算法求解滾動優化，進而得到控制律。

2.2非線性預測模型

通常離散被控對象的輸入輸出關系可以描述為[8]

(6)

式中f是非線性函數,n和m分別為輸出信號和控制信號對控制系統輸出的最大影響時域長度。

利用SVR對上述被控對象建模,模型的表達式為

(7)

(8)

式中,ym(k+1)表示k+1步模型預測輸出,nsv為支持向量總數,Ii為第i個支持向量,ai是Ii相對應的權重系數,b為偏移量,均可通過支持向量回歸算法獲得。γ是核參數,由MAPSO算法優化確定。式中含未知變量的I(k)可表示為

(9)

故

(10)

即

(11)

從式(8)不難看出:含有唯一未知量u(k)的I(k)處在一個尷尬難求解的位置,因此利用泰勒公式將式(8)在零點展開以便求解,式(8)展開后得

其中,x=‖I(k)-Ii‖2。

結合式(11)、(12)不難看出,經過泰勒公式展開后的式(8)中唯一的未知變量u(k)可以輕松地被分離出來,即‖I(k)-Ii‖2可以表示為

(13)

其中,

(14)

把式(13)代入式(12)中可得:

(15)

其中,

為了消除模型的失配和系統的隨機干擾等不確定因素對控制系統的影響,借助以前的經驗值對模型預測值進行校

(16)

式中,y(k)為k時刻被控對象實際輸出值,ym(k+1)為k+1時刻的模型預測輸出值,yp(k+1)為k+1時刻的校正預測輸出值,h為誤差權重系數。

2.3滾動優化

滾動優化的目標函數為

(17)

其中,q代表誤差權重系數,p代表控制權重系數。yr(k+1)為k+1時刻的參考輸出值,一般表示為

(18)

其中,ar為柔化系數(取值范圍設定為(0,1)),ysp為真實的設定值。

將式(15)、(16)代入式(17)中得到:

(19)

從式(19)的形式可以看出,這是一個變量有界多項式極值問題,可以通過MAPSO優化算法求取其最小值。具體算法步驟如下:

(1) 種群初始化,初始化粒子和速度,設置相關參數；

(2) 根據適應度函數計算適應值；

(3) 根據鄰居信息,更新粒子的個體最優位置；

(4) 根據公式(1)更新粒子的位置和速度；

(5) 判斷是否滿足終止條件,滿足則運算終止,否則轉至步驟(3)。

根據以上分析可得基于RBF核支持向量回歸的非線性系統模型預測控制的結構框圖見圖1。

圖1　基于RBF-SVR的預測控制結構框圖

3　實例分析

為了驗證基于RBF核支持向量回歸的模型預測控制算法在非線性系統中的預測控制性能,選取一個非線性系統及連續攪拌槽式反應器(complete stirredtank reactor , CSTR)要求學生進行測試分析。實驗中,SVR的參數根據經驗設定為:C=50,ε=10-4,γ=2.5.

3.1仿真實例1

考慮非線性系統為

(20)

其中,y是被控對象輸出,u為控制信號輸入。

選取該模型隨機生成的100個數據,歸一化后分別作為訓練集和測試集；跟蹤信號分別選取幅值為1的方波和正弦波(見圖2)。將基于RBF核的SVR和基于二次核(QP)的SVR兩種方法分別代入非線性系統中,模型預測控制效果如圖2所示,其跟蹤誤差(絕對值)如圖3所示。

圖2　不同核函數的跟蹤性能

圖3　不同核函數模型的跟蹤誤差

圖2說明基于RBF核的SVR方法在跟蹤方波時除了在低位有較明顯小幅度超調現象外,都能夠很好地跟蹤波形,在跟蹤正弦波時更是幾乎零誤差；而基于二次核(QP)的SVR方法則在跟蹤方波時高位、低位都出現了較RBF-SVR明顯的誤差,在超調性、穩定性上都有明顯的劣勢。圖3清晰地顯示了基于RBF核的SVR相較于基于二次核的SVR在整體跟蹤誤差上的明顯優勢。

3.2仿真實例2

連續攪拌槽式反應器[10](CSTR)是廣泛應用于過程工業的非線性化學反應器,可以將其簡化為一個非線性系統模型。

一個不可逆的化學反應在CSTR中發生,具體的反應過程可由下式表示:

(21)

若只考慮反應物的濃度,那么有:

(22)

通過CSTR數學模型隨機產生100對數據作為SVR模型預測控制算法的訓練數據。同理,將兩種方法分別代入CSTR模型中,兩種算法的模型預測控制效果如4所示,相應的跟蹤誤差如表1所示。

圖4　CSTR跟蹤性能

算法最大誤差最小誤差平均誤差RBF-SVR10-32*10-43*10-4QP-SVR0.030.010.02

結合圖4及表1可以明顯看出基于二次核(QP)的SVR算法在最初響應階段出現了較明顯的振蕩現象,而且在后續跟蹤響應過程中也出現了明顯的超調現象。相較而言,基于RBF核的SVR算法除了最初時的微小誤差,其余時刻均能很好地跟蹤模型參考輸出,誤差幾乎為零。

為了驗證兩種方法的抗干擾性能,在基于RBF核SVR的模型預測中，k=20時刻加入干擾信號,其跟蹤效果如圖5所示。

圖5　CSTR抗噪性能

從圖5能明顯看出,基于RBF核的SVR算法在k=20時刻受到干擾后能迅速抑制干擾,較快地返回到預設跟蹤軌跡,從而展現了該方法良好的抗噪、抗干擾能力。

4　結語

基于RBF核支持向量回歸的模型預測控制算法,能有效解決非線性系統模型預測控制無法得到精確模型、滾動優化求解困難等問題,對非線性系統具有很好的控制性能。通過Matlab仿真實驗,學生對基于RBF-SVR的模型預測控制系統有了更深的理解,并根據與基于二次核支持向量回歸的模型預測控制算法比較，加強了對預測控制系統的認識。將Matlab仿真技術引入課程教學,提高了學生的實踐能力、教學效率和教學質量[11-12]，且仿真實驗中豐富和直觀的圖形及數據,使學生對系統的動態過程有更進一步認識。

References)

[1] 席裕庚,李德偉,林姝.模型預測控制:現狀與挑戰[J].自動化學報,2013,39(3):222-236.

[2] Ding B. Dynamic output feedback predictive control for nonlinear systems represented by a takagi-sugeno model[J].Fuzzy systems IEEE transactions on,2011,19(5):831-843.

[3] 舒迪前.預測控制系統及其應用[M].北京:機械工業出版社,1996.

[4] Vapnik V N.The Nature of Statistical Learning Theory[M].New York:Springer-Verlag,1995.

[5] Cui Guimei, Sun Tong,Zhang Yong.Application of Suport Vector Machine (SVM) in Prediction of Molten Iron Temperature in Blast Furnace[J].Control Engineering of China,2013,20(5):809-817.

[6] Lai Jinhui,Liang Song.Application of GCS-SVM model in network traffic prediction[J].Computer Engineering & Applications,2013,49(21):75-78.

[7] 包哲靜,皮道映,孫優賢.基于并行支持向量機的多變量非線性模型預測控制[J].控制與決策,2007,22(8):922-926.

[8] 唐賢倫,張衡,周家林,等.多Agent結構的混沌PSO在無功優化中的應用[J].電機與控制學報,2013,17(6):15-21.

[9] 穆朝絮,張瑞民,孫長銀.基于粒子群優化的非線性系統最小二乘支持向量機預測控制算法[J].控制理論與應用,2010,27(2):164-168.

[10] Zhang Jianzhong, Wang Qingchao. Hammerstein Model Identification of Continuous Stirred Tank Reactor Based on Least Squares Support Vector Machines[C]//2009年中國控制與決策會議(2009 Chinese Control & Decision Conference)論文集.2009:2858-2862.

[11] 劉金頌,張慶陽,蘇曉峰,等.Matlab軟件在自動控制原理實驗中的應用[J].實驗技術與管理,2014,31(6):138-140,145.

[12] 李建海,皮之軍,張晨亮,等.Matlab/Simulink仿真技術在電機實驗教學中的應用[J].實驗技術與管理,2011,28(8):79-82.

Study on simulation of model predictive control based on RBF-SVR

Tang Xianlun, Liu Nianci,Yan Dong, Chen Gonggui

(College of Automation,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China)

Although the RBF is the most widely used SVR kernel function, the expression complexity of RBF makes it difficult to get analytical formula of rolling optimization in model predictive control. A model of predictive control based on RBF-SVR is established, the multi-agent particle swarm optimization (MAPSO) algorithm is used to obtain the optimal control inputs. For nonlinear systems, Simulation results show that the proposed algorithm has demonstrated excellent adaptive ability and robustness and can be effectively applied to the nonlinear system.

model predictive control; support vector regression; simulation experiment; control system; RBF

DOI:10.16791/j.cnki.sjg.2016.06.027

2015-12-01

重慶市研究生教育教學改革研究項目(yjg143061)；重慶郵電大學校級教改項目(XJG1523)

唐賢倫(1977—),男,四川安岳,博士,教授,主要從事智能控制、系統工程方面的教學和科研工作.

E-mail：tangxl@cqupt.edu.cn

TP273; G434

A

1002-4956(2016)6-0103-05

虛擬仿真技術探索與實踐