關于一道向量復習題的思考

張桂騰

摘 要： 在新課程改革實施多年之后的今天，課堂教學逐步回歸到學生的學習上，如何通過課堂學習提高學生自身能力成為課堂的主題.數學課堂上，如何引入新課，設置什么樣的例題，如何講解，布置作業，以及教會學生如何做好課后反思小結這些環節中每個都是至關重要的，從細節入手，關注學生能力的提高.作為高三學生，我們更應該全方位思考，從一道題目中獲取多種求解的方法，盡可能地發展自己的思維能力.

關鍵詞： 向量 一題多解 高三復習教學

由于筆者今年擔任高三數學教學工作，在總復習階段，也接觸了比較多的題目，有參考書中的，也有各地交流卷中的.下面筆者就2013年廈門質檢卷中一道向量題提出自己的看法.

這個方法，用了向量比較好的一個工具——建立平面直角坐標系，但是用此方法時，學生往往沒辦法想到如何建立適當的坐標系，原點應該放在哪里？這道題由于BC是確定的長度，也就是理解BC可為定點，而我們建系往往取兩定點中點作為原點，定點所在直線作為坐標軸（此法定BC中點D為原點，BC方向為x軸），此時難點在于如何確認△ABC外接圓圓心O，其實我們發現三角形的外接圓圓心是各邊中垂線的交點.按之前的建系原則，圓心O應該落在y軸上，具體應該是y軸的什么位置呢？我們注意到，還有一個條件是∠A=45°，而∠A所對的是BC弧的圓周角，所以BC弧的圓心角為直角，也就是圓心O到BC的距離為1，所以圓心O位置也就確定了，而半徑也就隨之確定為，也就可以寫出外接圓的方程，題目也就轉換成直角坐標求解，而求解過程中又由于條件中要求的B為銳角而使得A的位置有所限制，而這個也是易錯點，學生往往會做錯.因此筆者認為此類方法并不適合數學基礎不是非常扎實的同學做，當然可以作為鍛煉思維的一種方法.

法二：由法一知R

法三雖然看似步驟較法一繁瑣，但是思路較趨于常規化，一開始利用了題目條件（外心O落在BC中垂線上，取BC中點D）把題目要求的轉換成，而與垂直，于是變為也就比較自然地轉換為漸漸變成學生平時常做的題型了，在書寫上也更有信心了，當然這種方法也涉及了較繁瑣的計算，而且需要對解三角形和三角函數恒等變換有比較扎實的運算功底.

法四：

由平面幾何知識可知，

（以下同法三）

此法是在法三下的改進，因為在學生接觸的向量題中經常遇到需要把不共起點向量化為共起點向量后再進行求解，而進行這樣的嘗試后，發現結合題目條件給出來的三角形的對邊和對角求出的外接圓半徑與向量數量積的公式，很快就可以轉成“法三”中需要的三角函數形式從而得解，在筆者講的這么多方法中，學生比較能接受的也正是法四.

所以，筆者認為，在日常教學中，特別是高三復習教學中，不一定要按計劃要講多少內容，有時講評題目時，可能這道題會有許多解法，每種解法都可能有學生提到，或者學生提出了自己的思考方向，覺得正確卻又不能寫完整，等等；此時，我們可以就這道題一起具體分析各種解法，并讓學生從中體會每種解法的要點，結合自己平時已經復習掌握的知識點和方法，消化一種自己比較能接受的方法，從而讓數學學習過程更充實，體會到學習的樂趣.